8 信息预测卷二-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件全面覆盖实数、图形性质、整式运算、统计与概率、函数、几何证明等核心考点，严格对接中考说明，分析各考点权重，如几何与函数占比超60%，并按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题模拟+方法指导+错题反思”模式，如动点函数图象问题通过找起点、特殊点、判断趋势等步骤，培养学生的几何直观和推理意识。提供“授之以渔”解题策略，分难度整理错题，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.-2的相反数是(　　) A.2 B. C.- D.-2 【考点】 相反数。 【解析】 -2的相反数是2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 2.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“清明”“谷雨”“大雪”，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别。 【解析】 A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 3.下列运算中不正确的是(　　) A.-a2·6a3=-6a5 B.(-5a3b)2=25a6b2 C.3a-(-a)=4a D.(-2a)3÷2a=a2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 【考点】 整式的运算。 【解析】 A.-a2·6a3=-6a5，此选项正确，不符合题意； B.(-5a3b)2=25a6b2，此选项正确，不符合题意； C.3a-(-a)=4a，此选项正确，不符合题意； D.(-2a)3÷2a=-8a3÷2a=-4a2，此选项错误，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 4.将图1的长方体经过如下操作得到图3，则图3的俯视图是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 【考点】 简单几何体的三视图。 【解析】 由题图可得俯视图是　　　　　　 。 【回归教材】 　　此题根据鲁教版九年级上册数学教材147页【数学理解】的习题改编而来。通过判断长方体截去部分后剩余立体图形的三视图，考查学生的空间想象能力。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 5.春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到36微米，而某些热带植物的花粉粒径则小于 10微米。医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高发季节，外出时佩戴口罩可以减少花粉吸入。若水稻花粉粒直径为42微米，将42微米用科学记数法表示应为(注：1微米=1米)(　　) A.4.2×106米 B.42×1米 C.4.2×1米 D.4.2×1米 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 【考点】 科学记数法——表示较小的数。 【解析】 ∵1微米=1米， ∴42微米=42×1米=4.2×1米。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 【考点】 解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集。 【解析】 解不等式4x-1≤1得x≤， 解不等式x+3>0得x>-3， ∴不等式组的解集为-3<x≤， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 7.如图是甲、乙两名同学的5次单杠训练中练习拉单杠成绩的折线统计 图，下列判断正确的是(　　) A.甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数小 B.甲的成绩的极差比乙的成绩的极差大 C.甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D.甲的成绩的方差比乙的成绩的方差小 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 【考点】 折线统计图、平均数、中位数、方差、极差。 【解析】 A.由统计图可知甲的成绩的中位数为8，乙的成绩的中位数为8， 故甲的成绩的中位数与乙的成绩的中位数相同，原说法错误，不符合题意。 B.由统计图可知甲的成绩的最大值为9，最小值为7，极差为2；乙的成绩的 最大值为10，最小值为6，极差为4。原说法错误，不符合题意。 C.甲的成绩的平均数为=8，乙的成绩的平均数为=8， 故甲的成绩的平均数与乙的成绩的平均数相同，原说法错误，不符合题意。 D.甲的成绩的方差为×[(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2]=，乙的成绩的方差为 ×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2，<2，原说法正确，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 8.如图是一个正六边形镖盘，由6个全等的含30°角的直角三角形和一个小的正六边形组成。向镖盘内部投掷飞镖，飞镖落在空白区域中奖，则中奖的概率为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 【考点】 几何概率、全等三角形的性质。 【解析】 设直角三角形中30°所对的直角边均为1，则斜边为2， ∴另一条直角边为=， ∴小正六边形的边长为2-1=1， ∴小正六边形的面积=6××12=， ∴大正六边形的面积=6××1×=， ∴中奖的概率==。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 9.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到点A2，使A1A2=A1D，连接A2D得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到点A3，使A2A3=A2E，连接A3E得到第3个△A2A3E，……按此做法继续下去，则第2 027个三角形中以A2 027为顶点的底角度数是(　　) A.180°- B.180°- C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 【考点】 等腰三角形的性质、规律的探索。 【解析】 ∵∠B=30°，A1B=CB， ∴∠BA1C=×(180°-30°)=×150°。 ∵A1 A2=A1D，∴∠DA2 A1=∠A1DA2， ∴∠BA1C=∠DA2 A1+∠A2DA1=2∠DA2 A1， ∴∠DA2 A1=∠BA1C=×150°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 同理可得∠EA3 A2=∠DA2 A1=×150°， …… 以此类推，以An为顶点的底角度数为()n×150°=()n-1×75°， ∴第2 027个三角形中以A2 027为顶点的底角度数是()2 026×75°=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 10.如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(6，0)，B(0，8)，C(-6，0)，动点E，F同时从点A出发，点E沿A→C运动，点F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF.当点E，F移动时，记△ABC在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图象为(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 【考点】 动点函数图象问题。 【解析】 由条件可知OA=6，OB=8，OC=6， ∴AB===10，AC=12。 ∵BO⊥AC，∴AB=BC=10。由条件可知0<t≤12。 当0<t≤10时，点F在AB上运动。 如图，△ABC在直线EF右侧部分为△AEF，过点F作FH⊥x轴， ∴∠FHA=∠AOB=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 ∵∠BAO=∠FAH，∴△ABO∽△AFH，∴=。 ∵点E，F同时从点A出发，点E沿 A→C运动，点F沿折线A→B→C运动，均以每秒1个单位长度的速度移动， ∴AF=t，AE=t，∴=，∴FH=t， ∴S=S△AEF=AE·FH=×t×t=t2， ∴S是关于t的二次函数，图象为抛物线。 ∵>0，∴图象开口向上。 当10<t≤12时，此时点F在BC上运动。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 如图，△ABC在直线EF右侧部分为四边形ABFE， ∴点F运动的距离为t，AE=t， ∴CE=AC-AE=12-t，CF=20-t。 过点F作FH⊥x轴， ∴∠FHC=∠BOC=90°。 ∵∠BCO=∠FCH，∴△BOC∽△FHC， ∴=，∴=，∴FH=(20-t)， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 ∴S=AC·OB-CE·FH= ×12×8-×(12-t)×(20-t) =-t2+t-48， ∴S是关于t的二次函数，图象为抛物线。 ∵-<0，∴图象开口向下。 综上所述，选项D符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 【授之以渔】 ——方法指导 根据实际问题判断函数图象 ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应函数图象中找出对应点。 ②找特殊点：找交点或转折点，说明图象将在此处发生变化。 ③判断图象变化趋势：即判断函数图象的增减性。 ④看图象与坐标轴交点：即此时另外一个量为0。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.要使二次根式有意义，则a的值可以是______________。(写出一个即可)  2(答案不唯一) 【考点】 二次根式有意义的条件。 【解析】 ∵二次根式有意义，∴3a-6≥0， 解得a≥2，∴a的值可以是2。(答案不唯一) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 12.因式分解：xy2-4xy+4x=_______。  x(y-2)2 【考点】 因式分解。 【解析】 原式=x(y2-4y+4)=x(y-2)2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 13.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开 门，出东门一十五步有木，问：出南门几何步而见木？”其大意如下： 如图，点M，N分别是正方形ABCD边BC和DC的中点，正方形的边长为 200步，出东门M继续往东走15步有一树木(点E处)，问：出南门N继续 往南走多少步，恰好能看到位于点E处的树木(即点C在直线EF上)？ 根据以上信息，算出FN的长是步。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 【考点】 相似三角形的应用、正方形的性质。 【解析】 由题意可知CM=100步，CN=100步，EM=15步。 ∵EM∥CD，∴∠FCN=∠E。 又∵∠CNF=∠EMC=90°，∴△CNF∽△EMC， ∴=，∴=，∴FN=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 14.如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放， 量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合。如果点D在量角器上对应 的刻度为110°，连接CD，那么∠ACD=______。  35° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 【考点】 圆周角定理。 【解析】 如图，连接OD。 易知∠BOD=110°， ∴∠AOD=180°-110°=70°。 ∵∠ACB=90°， ∴点C在☉O上， ∴∠ACD=∠AOD=35°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 15.如图，A，B两点分别为☉P与x轴、y轴的切点，AB=，点C为 的中点，反比例函数y=(x>0)的图象经过点C，则k的值为。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征、切线的性质。 【解析】 如图，连接PA，PB，PC，作CD⊥x轴，延长BP交CD于点E。 ∵A，B两点分别为☉P与x轴、y轴的切点，∴AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP。 又∵∠AOB=90°， ∴四边形AOBP是正方形。 ∵AB=，∴AP=BP=PC=1。 ∵点C为 的中点， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 ∴点P，C在第一象限角平分线上， ∴PE=CE=，∴C(1+，1+)。 ∵点C在反比例函数图象上， ∴k=(1+)×(1+)=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a<0)过(-1，0)和(m，0) 两点，且2<m<3，下列四个结论：①abc<0；②<-<1；③若关于x的 方程a(x+1)(x-m)=3有实数根，则4ac-b2≥12a；④若抛物线过点(1，4)， 则-2<a<-1。其中正确的结论序号有________.  ①②④ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 【考点】 二次函数图象与系数a，b，c的关系。 【解析】 ∵抛物线y=ax2+bx+c过(-1，0)和(m，0)两点，且2<m<3， ∴<-<，即<-<1，故②正确。 ∵a<0，<-<1，抛物线过(-1，0)和(m，0)， ∴b>0，c>0，∴abc<0，故①正确。 ∵关于x的方程a(x+1)(x-m)=3有实数根， ∴抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数且a<0)与直线y=3有交点， ∴≥3，∴4ac-b2≤12a，故③错误。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 ∵抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，0)，(1，4)， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y=ax2+2x+2-a。 ∵抛物线y=ax2+bx+c过(-1，0)和(m，0)两点， ∴y=a(x+1)(x-m)=ax2+a(1-m)x-am，∴-am=2-a， ∴m==1-。 ∵2<m<3，∴2<1-<3。 ∵a<0，∴-2<a<-1，故④正确。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：(a+3+)÷，其中a满足方程a2-a=2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 【考点】 分式的化简求值。 解：原式=· =a2-2a。…………4分 又∵a2-a=2，∴a2-2a=4，∴原式=4。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 18.(本题满分7分) “一字一世界，一书一天堂。”读书能丰富人的精神世界，启智润心，要让读书成为一种习惯。某中学为丰富学生课余生活，计划开展“共享阅读·向上人生”主题活动，要求学生全员参与。为了解学生对四类书籍(A.科技类，B.体育类，C.艺术类，D.历史类)的喜爱程度，随机对部分学生进行了调查(每名学生只能选择一个类别)，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次参加抽样调查的学生有______人，扇形统计图中A部分圆心角的度数为________；  (2)将条形统计图补充完整； (3)甲、乙两名学生对B，C，D三类书籍的喜爱程度都差不多，这两名学生分别在这三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两名学生选到同一类书籍的概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 【考点】 用列表法或画树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图。 解：(1)600　108° …………2分 (2)补全的条形统计图如图所示。   …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 (3)列表如下。 …………6分 由表可知，共有9种等可能的结果，其中这两名学生选到同一类书籍的 结果有3种， ∴这两名学生选到同一类书籍的概率为=。…………7分 甲 乙 B C D B (B，B) (B，C) (B，D) C (C，B) (C，C) (C，D) D (D，B) (D，C) (D，D) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 19.(本题满分7分) 如图1，在正方形ABCD中，进行如下两步操作。第1步：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE。第2步：以点C为圆心，CE长为半径作弧，交线段BC的延长线于点F，连接DF。 根据以上尺规作图步骤，解答以下问题： (1)证明：四边形AEFD是平行四边形。 (2)如图2，连接BD，交AE于点G， 求 的值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 【考点】 尺规作图、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的 性质、平行四边形的判定与性质。 (1)证明：由作图过程可知直线MN为线段BC的垂直平分线，CF=CE， ∴CF=CE=BC，∴EF=BC。…………2分 ∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AD=EF， ∴四边形AEFD是平行四边形。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 (2)解：∵直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE=BC。…………5分 ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=BC，AD∥BC， ∴BE=AD，∠ADG=∠EBG，∠DAG=∠BEG， ∴△ADG∽△EBG，∴==2。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 20.(本题满分8分) 根据下列素材，完成探索任务。 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图1是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它由一段斜坡与一段水平地面构成。斜坡用AB表示，水平地面用BC表示。有两个监测点分别在斜坡的端点A处与水平地面上的点C处。根据选址时勘测日志中的记载，点A的地面海拔高度为671米，点B的地面海拔高度为621米，A，B两点垂直方向上的高度差即为海拔差。在整个检测过程中，检测员李老师从点A到点B共走了130米，从点B到点C共走了60米   1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 核验山区5G信号塔高度项目 素材2 图2为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔PQ就建在山上的点Q处。根据施工日志资料显示，信号塔底点Q的海拔高度为881米。 检测员李老师在检测基地的点A处利用测角仪测得塔顶点P的仰角α为37°，在点C处利用测角仪测得塔顶点P的仰角β为63.5°，测角仪的高度忽略不计 问题 解决 任务一 求斜坡AB的坡比 任务二 根据李老师记录下的测量数据，求这个5G信号塔PQ的高度 (参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75， sin 63.5°≈0.9，cos 63.5°≈0.45，tan 63.5°≈2.0) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 【考点】 解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，坡度、坡角问题。 解：任务一：如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H。 在Rt△ABH中，AH=671-621=50(米)，AB=130米， ∴BH==120米， ∴斜坡AB的坡比为 ==1∶2.4。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 任务二：如图，过点A作AE⊥PQ，交PQ的延长线于点E，PQ的延长线交BC的延长线于点M， 则QM=881-621=260(米)，EM=AH=50米，AE=HM。 …………5分 设CM=x米，∴PM=CM·tan 63.5°≈2x米， AE=HM=120+60+x=(180+x)米， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 ∴PE=AE·tan 37°≈(180+x)×0.75=(0.75x+135)米。…………6分 ∵PM-PE=EM，即2x-(0.75x+135)=50， 解得x=148， ∴PQ=PM-QM=148×2-260=36(米)。 答：这个5G信号塔PQ的高度约为36米。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 21.(本题满分9分) 农历的正月十五是我国传统节日——元宵节，在北方人们有吃元宵的习俗。今年元宵节来临之际，某商场预测某款元宵能够畅销。根据预测，每袋此款元宵在节前的进价比节后多2元，节前用560元购进此款元宵的数量是节后用240元购进的数量的2倍。根据以上信息，解答下列问题： (1)节后每袋此款元宵的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进此款元宵400袋，且总费用不超过5 400元。设节前购进此款元宵m袋，节前购进的元宵均按每袋22元出售，节后购进的元宵均按每袋18元出售，最终所有元宵全部售出，那么该商场节前购进多少袋此款元宵获得利润最大？最大利润是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 【考点】 分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用。 解：(1)设节后每袋此款元宵的进价是x元，则节前每袋此款元宵的进价是(x+2)元。 根据题意得=×2， 解得x=12。…………2分 经检验，x=12是所列方程的解，且符合题意。 答：节后每袋此款元宵的进价是12元。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 (2)∵该商场在节前和节后共购进此款元宵400袋，且节前购进此款元宵m袋， ∴节后购进此款元宵(400-m)袋。 根据题意得(12+2)m+12(400-m)≤5 400， 解得m≤300。 又∵m>0，∴0<m≤300。…………6分 设购进的此款元宵全部售出后可获得的利润为w元， 则w=[22-(12+2)]m+(18-12)(400-m)=2m+2 400。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 ∵2>0，∴w随m的增大而增大， ∴当m=300时，w取得最大值，最大值为2×300+2 400=3 000。 …………8分 答：该商场节前购进300袋此款元宵获得利润最大，最大利润是3 000元。 …………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 22.(本题满分10分) 如图，已知四边形ABCD为菱形，点A，B，C在☉O上。AO的延长线与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，且AF⊥BC。 (1)求证：CD为☉O的切线。 (2)连接OC，若tan B=，CE=4，求OC的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 【考点】 切线的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定 与性质、菱形的性质。 (1)证明：如图，连接OC，OD， 则OC=OA。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AD，AD∥BC。 又∵AF⊥BC， ∴AF⊥AD，∴∠OAD=90°。…………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 在△OCD和△OAD中， ∴△OCD≌△OAD(SSS)， ∴∠OCD=∠OAD=90°。…………4分 ∵OC是☉O的半径， ∴CD为☉O的切线。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 (2)解：∵∠COE+∠AOC=180°， ∠ADC+∠AOC=360°-∠OCD-∠OAD=180°， ∴∠COE=∠ADC。…………7分 ∵∠B=∠ADC，∴∠COE=∠B。…………8分 ∵∠OCE=90°，CE=4， ∴=tan∠COE=tan B=， ∴OC=CE=×4=3， ∴OC的长为3。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 23.(本题满分11分) 【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究。 (1)【问题背景】 如图1，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是中线，则AD的取值范围是________。  (2)【变式思考】 如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰在△ABC外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，连接EF。求证：EF=2AD。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 (3)【探究延伸】 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD=180°，点F是BC的中点，∠CEF=∠ADB，当EF=6时，求BD的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 【考点】 几何综合。 (1)解：<AD<…………2分 提示：如图1，延长AD至点P， 使DP=AD，连接BP。 ∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD。 ∵∠ADC=∠PDB， ∴△ADC≌△PDB(SAS)， ∴BP=AC=3。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 ∵AB-BP<AP<AB+BP，AB=4， ∴4-3<AP<4+3，∴1<AP<7。 ∵DP=AD，∴AP=2AD， ∴1<2AD<7，解得<AD<， 即AD的取值范围为<AD<。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 (2)证明：如图2，延长AD至点G，使DG=AD，连接BG，则AG=2AD。 ∵点D为BC的中点，∴CD=BD。 ∵∠ADC=∠GDB， ∴△ADC≌△GDB(SAS)， ∴∠ACD=∠GBD，AC=BG， ∴AC∥BG， ∴∠ABG+∠BAC=180°。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 ∵AC=AF，∴BG=AF。 ∵∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠EAF+∠BAC=180°， ∴∠ABG=∠EAF。 在△EAF和△ABG中， ∴△EAF≌△ABG(SAS)， ∴EF=AG，∴EF=2AD。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 (3)解：如图3，延长EF至点Q，使得FQ=EF，连接CQ，延长CA至点H，使得AH=AD，连接BH。 ∵点F是BC的中点， ∴BF=CF。 ∵∠EFB=∠QFC， ∴△BEF≌△CQF(SAS)， ∴BE=CQ，∠BEF=∠Q， ∴CQ∥BE， ∴∠BEH=∠QCE。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 ∵∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°，∴∠BAH=∠BAD。 在△BAH和△BAD中， ∴△BAH≌△BAD(SAS)， ∴BH=BD，∠H=∠ADB。…………10分 ∵∠ADB=∠CEF，∴∠H=∠CEF， ∴△HBE≌△EQC(AAS)， ∴EQ=HB=BD=2EF=2×6=12， 即BD=12。…………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 24.(本题满分14分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1，-3)，与y轴交于点C(0，-3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，连接AC，OC=BO。 (1)求抛物线的表达式。 (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥AC，垂足为E，过点P作PF⊥AB，垂足为F。当PE+BF最大时，求点F的坐标。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 (3)将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)绕点(1，0)旋转180°，得到新抛物线y'，G是x轴下方新抛物线y'对称轴左侧上的一点，Q是直线AC上的一点，是否存在点Q，使得AG=GQ，且满足∠AGQ=2∠ACB？若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，-3)，则OC=3，y=ax2+bx-3。 ∵OC=BO，∴OB=2，∴B(2，0)。…………2分 将(-1，-3)，B(2，0)，分别代入抛物线y=ax2+bx-3 得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+x-3。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 【授之以渔】 ——方法指导 待定系数法求二次函数表达式 　　若已知任意三点坐标，则设一般式； 若已知顶点坐标，则设顶点式； 若已知与x轴交点坐标，则设交点式。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 (2)当y=0时，x2+x-3=0，解得x1=-3，x2=2。 ∵B(2，0)，∴A(-3，0)。 ∵C(0，-3)，∴设直线AC的表达式为y=kx-3， 将A(-3，0)代入得-3k-3=0， 解得k=-1， ∴直线AC的表达式为y=-x-3。…………5分 如图，设PF交AC于点D。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 设P(t，t2+t-3)， 则F(t，0)，D(t，-t-3)。 ∵A(-3，0)，C(0，-3)，∴OA=OC， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠OAC=45°。 ∵PF⊥AO，∴∠EDP=∠ADF=45°。…………7分 又∵PE⊥AC， ∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD=PE， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 76 ∴PE+BF=PD+BF =-t-3-t2-t+3+2-t =-t2-t+2 =-(t+)2+。 由题意得-3<t<0。 又∵-<0，∴当t=-时，PE+BF最大，最大值为， 此时点F的坐标为(-，0)。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 77 (3)点G的横坐标为或-1。…………14分 提示：∵y=x2+x-3=(x+)2-， ∴顶点坐标为(-，-)， ∴(-，-)关于(1，0)的对称点为()。 ∵绕点(1，0)旋转180°得到新抛物线y'， ∴新抛物线y'的表达式为y'=-(x-)2+。 如图，过点B作BM⊥AC于点M，交AG于点T。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 78 由题意可知∠BAC=45°，则MA=MB。 设M(xM，yM)， 则xM=(xA+xB)=×(-3+2)=-。 又∵点M在直线y=-x-3上， 当x=-时，y=-3=-， ∴M(-，-)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 79 设∠MBC=α，则∠ACB=90°-α， ∴∠AGQ=2∠ACB=180°-2α。 ∵AG=GQ，∴∠QAG=∠AQG=α。 ∵M(-，-)，C(0，-3)， ∴MC==，MB=AB=， ∴tan α==。 ∵∠QAG=∠AQG=α，∴tan∠MAT=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 80 又∵AM=BM=，∴MT=。 ∵M(-，-)，B(2，0)， 同理可得BM的表达式为y=x-2。 设T(q，q-2)。 ∵MT=，∴(q+)2+(q-2+)2=()2， 解得q=0或q=-1， ∴T(0，-2)或T(-1，-3)， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 81 ∴直线AT的表达式为y=-x-2或y=-x-。 联立或 解得x=或x=或x=-1或x=9。 ∵点G是x轴下方新抛物线y'对称轴左侧上的一点， ∴x=或x=-1。综上所述，点G的横坐标为或-1。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 82 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T17、T18 再接再厉鼓舞你 T8、T14、T15、T19、T20、T21、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T9、T22、T23(1) 学霸登顶恭喜你 T10、T16、T23(2)(3)、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 83 84 $