5 模拟实战卷三-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件全面覆盖代数、几何、统计与概率核心考点，严格对接烟台中考说明，分析二次函数、圆的切线、解直角三角形等高频考点权重，按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于8套全真模拟试卷的真题训练，结合应试技巧指导，如二次函数题通过“对称轴分析+函数值比较”培养数学思维，统计图表题用“样本估计总体”发展数据意识。含错题反思表和典型题型解析，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.2 026-1的相反数为(　　) A.2 026 B.-2 026 C. D.- 【考点】 相反数。 【解析】 ∵2 026-1=，∴2 026-1的相反数为-。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 2.数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现。下列与数学相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别。 【解析】 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 3.鲁班锁起源于我国古代建筑中首创的榫卯结构，由六根木条组合而成，是我国先辈的智慧结晶，其中一根如下图，则其俯视图为(　　) 【考点】 简单几何体的三视图。 【解析】 观察图形可得，俯视图为 　　　　　　。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 4.将含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置到一组平行线中， 若∠1=∠2，则∠3的度数为(　　) A.20° B.30° C.40° D.50° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 【考点】 平行线的性质。 【解析】 如图。 由题意得∠1=∠2=60°。 ∵三条直线互相平行， ∴∠4=60°， ∴∠5=∠4-30°=60°-30°=30°， ∴∠3=∠5=30°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 5.对某班35名学生每月阅读课外书籍的数量进行统计并整理成如下表格：   其中阅读2本和3本的学生人数尚未统计完毕，无论该班阅读2本、3本的 学生人数为多少，下列关于阅读数量的统计量不会发生改变的是(　　) A.中位数、众数 B.平均数、方差 C.平均数、众数 D.众数、方差 阅读数量/本 0 1 2 3 人数 4 17 m n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 【考点】 众数、中位数、平均数、方差。 【解析】 由表格可知阅读1本书的人数为17，总人数为35， ∴35-4-17=14(人)， ∴无论m和n如何变化，17始终是最多的人数， ∴众数为1不会改变。 将所有数据按从小到大的顺序排列，第18个数据是中位数， 落在“阅读1本书” 这一组， ∴无论m和n如何变化，第18个数据始终是1， ∴中位数为1不会改变。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 平均数和方差的计算公式中直接包含m 和n的值，当m和n变化时，总阅读量会改变，从而导致平均数改变，数据的离散程度也会变化，导致方差改变， ∴平均数和方差会发生改变。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 6.估计-×(-)的值应在(　　) A.-2和-1之间 B.-3和-2之间 C.-4和-3之间 D.-5和-4之间 【考点】 估算无理数的大小。 【解析】 原式=-2=-。 ∵4<6<9，∴2<<3，∴-3<-<-2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 7.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转 75°至菱形OA'B'C'的位置。若OB=2，∠C=120°，则点B'的坐标为 (　　) A.(，-) B.(2，-2) C.(，-) D.(3，-3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 【考点】 菱形的性质、旋转的性质、锐角三角函数。 【解析】 如图，过点B'作B'F⊥x轴于点F，∴∠B'FO=90°。 ∵四边形OABC是菱形， ∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC+∠C=180°。 ∵∠C=120°， ∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 ∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至菱形OA'B'C'的位置， ∴∠BOB'=75°，OB'=OB=2，∴∠B'OF=45°，∴OF=B'F。 在Rt△B'OF中， OF=OB'·cos 45°=2=2， ∴B'F=2，∴点B'的坐标为(2，-2)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，某同学利用尺规在图中进行了作图。若DE=2，则AB的长为(　　) A.3+ B.3 C.3+2 D.5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 【考点】 等腰三角形的性质与判定、尺规作图、相似三角形的判定与性质。 【解析】 由作图痕迹可知BD=AD，AB=EB， ∴∠B=∠DAB，∠BAE=∠BEA。 又∵∠B=36°，∴∠BAE=∠BEA==72°。 ∵BD=AD，∴∠DAB=∠B=36°， ∴∠ADE=∠DAB+∠B=72°， ∴∠DAE=180°-∠ADE-∠BEA=36°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 ∵∠DAE=∠ABE，∠AED=∠BEA，∴△ADE∽△BAE。 ∵∠ADE=∠BEA=72°， ∴AD=AE，∴AD=AE=BD。 设BD=x，则AB=EB=x+2，AD=AE=BD=x。 ∵△ADE∽△BAE， ∴=，即=， 整理得x2-2x-4=0， 解得x1=1+，x2=1-(不符合题意，舍去)， ∴AB=x+2=1++2=3+。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 9.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：   且当x=-时，与其对应的函数值y>0。则以下结论：①>0；②m<n；③a>；④关于x的不等式ax2+bx+c<t的解集是-1<x<3。其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 x … -2 -1 0 2 3 … y=ax2+bx+c … m t -3 -3 n … 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 【考点】 二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与性质。 【解析】 由表格可知，当x=0时，y=-3；当x=2时，y=-3。 ∴对称轴为直线x=1。 ∵当x=-时，函数值y>0，当x=0时，y=-3， ∴在对称轴左边y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，即a>0。 ∵-=1， ∴b=-2a，∴b<0。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 当x=0时，y=c=-3<0，∴>0，故结论①正确。 ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大。 ∵|-2-1|>|3-1|，∴m>n，故结论②错误。 当x=-时，对应的函数值y>0， ∴a-b+c>0，即a+a-3>0， 解得a>，故结论③正确。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 当ax2+bx+c=t时，x的值为-1或3。 ∵抛物线开口向上，∴当ax2+bx+c<t时，-1<x<3， 故结论④正确。 综上所述，正确结论的序号为 ①③④，共3个。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 10.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是AB的中点，点E是BC边上一动点，设CE长为x，DE与AE的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，且图象右端点P的坐标为(2，3)，则图象最低点Q的坐标为(　　)   A.() B.() C.() D.() 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 【考点】 动点问题的函数图象。 【解析】 ∵图象右端点P的坐标为(2，3)， ∴此时点E与点B重合，即CB=2，y=DB+AB=3。 ∵点D是AB的中点，∴AB=2。 在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，CB=2， 易得∠ABC=30°。 如图，作点D关于BC的对称点D'，连接BD'，AD'。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 当 A，E，D' 三点共线时， y有最小值， 即DE+AE=D'E+AE=AD'， ∴AD'的值为图象最低点Q对应的y值。 由对称可得BD'=BD=1，∠D'BC=∠ABC=30°， ∴∠DBD'=60°，∴△DBD'为等边三角形，∴DD'=1=AD，∠BDD'=∠BD'D=60°， ∴∠DAD'=∠DD'A=30°， ∴∠AD'B=30°+60°=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 在Rt△ABD' 中，AB=2，BD'=1，∴AD'=。 ∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=30°，∠BAC=120°， ∴∠EAC=120°-30°=90°。 在Rt△AEC中，AC=2，∠C=30°， ∴CE=， ∴点Q的坐标为()。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.分解因式：3mn2-27m=_____________。  3m(n+3)(n-3) 【考点】 因式分解。 【解析】 原式=3m(n2-9)=3m(n+3)(n-3)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 12.“一渠清水润泽万家”，截至2025年7月，我国南水北调东中线一期工程 累计调水突破80 000 000 000立方米，为沿线各城市经济社会发展提供了 水资源支撑。其中数据80 000 000 000用科学记数法表示为________。  8×1010 【考点】 用科学记数法表示较大的数。 【解析】 80 000 000 000=8×1010。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 13.某款羽绒服每件标价为360元，若按标价打八折后，仍可获利20%， 则该款羽绒服每件的进价为_____元。  240 【考点】 一元一次方程的实际应用。 【解析】 设该款羽绒服每件的进价为x元。 由题意得360×80%-x=20%x，解得x=240。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 14.如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，与正六 边形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥 的底面积与侧面积之比为____。  1∶3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 【考点】 与圆锥有关的计算。 【解析】 设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r。 ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF=120°， ∴2πr=，∴a=3r。 ∵S底面=πr2，S侧面=，∴S底面∶S侧面=1∶3。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 15.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1；②当n 为偶数时，F(n)=，其中k是使F(n)为奇数的正整数，两种运算交替进行。 例如，取n=12，则　　　　　　　　　　　　　　…按此规律继续计算， 则第2 026次“F”运算的结果是___。  4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 【考点】 新定义运算、数字规律的探索。 【解析】 先从n=12开始，一步步计算“F”运算的结果，寻找规律： 第1次“F”运算结果为12÷22=3， 第2次“F”运算结果为3×3+1=10， 第3次“F”运算结果为10÷21=5， 第4次“F”运算结果为3×5+1=16， 第5次“F”运算结果为16÷24=1， 第6次“F”运算结果为3×1+1=4， 第7次“F”运算结果为4÷22=1， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 第8次“F”运算结果为3×1+1=4， …… 依此规律，从第5次运算开始，结果进入1→4→1→4…的周期循环，奇数次“F”运算结果为1，偶数次“F”运算结果为4， ∴第2 026次“F”运算的结果为4。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 16.如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=9，点E是线 段AD上的动点，连接BE，点A关于BE的对称点为F，连接DF，则DF的 最小值为_______。  3-6 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 【考点】 平行四边形的性质、轴对称的性质、三角形的三边关系。 【解析】 如图，连接BF，BD，作点A关于BD的对称点A'，过点B作 BG⊥AD于点G。 ∵∠BAD=60°，∴BG=AB·sin 60°=6×=3， AG=AB·cos 60°=6×=3，∴DG=9-3=6， ∴BD==3。 ∵BF=AB=6，∴点F在以点B为圆心，AB为半径的上。 ∵DF≥BD-BF，∴当B，F，D三点共线时，DF最小，最小值为BD-BF=3-6。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：(+x+1)÷，其中x是不等式组的整数解。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 【考点】 分式的化简求值、解一元一次不等式组。 解：原式=· =· =。…………4分 解不等式组可得解集为-<x<-2，∴x1=-4，x2=-3。 由题可知x≠0，-2，-3，∴x=-4。 当x=-4时，原式=。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 18.(本题满分7分) 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=-交于A(m，1)和B(-3，n)两点。 (1)求m，n的值和一次函数的表达式； (2)直接写出当kx+b>-时，x的取值范围； (3)连接OA，OB，求△AOB的面积。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 【考点】 反比例函数与一次函数的综合。 解：(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=-交于A(m，1)和B(-3，n)两点，∴1=-，n=-， ∴m=-1，n=，则A(-1，1)，B(-3，)。…………1分 将A(-1，1)，B(-3，)分别代入一次函数的表达式得　 解得∴一次函数的表达式为y=x+。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 (2)-3<x<-1或x>0。…………4分 (3)如图，设直线AB交x轴于点C。 在y=x+中，当y=0时，x=-4， ∴C(-4，0)，∴OC=4，…………6分 ∴S△AOB=S△AOC-S△BOC=×4×1-×4×=。 …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 19.(本题满分7分) 2026年春节期间，烟台“马”力全开，烟台文旅迎来马年“开门红”。浓浓的年味和爆棚的人气离不开热门活动的筹办，热门活动包括A.非遗火秀、B.国潮表演、C.鱼灯巡游、D.荟萃剪纸。小明同学想了解游客们最喜欢的活动，随机采访部分游客，开展了“我最喜欢的活动”专项调查，每位受访游客均从四个活动中选择了心仪的一项。根据调查数据绘制出如下两幅不完整的统计图。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 (1)本次共调查了________名游客，并将条形统计图补充完整。  (2)B活动所对应的扇形圆心角的度数为________。  (3)若某天游客为3万人次，则最喜欢鱼灯巡游的游客人数约为多少？ (4)活动中的国潮表演、鱼灯巡游、荟萃剪纸备受青睐，某游客从这三个活动中任选两个进行游玩体验，请用列表法或画树状图法求恰好选到国潮表演和鱼灯巡游的概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 【考点】 条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、用列表法或画树状图法求概率。 解：(1)40…………1分 补全的条形统计图如图。   …………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 (2)144°…………3分 (3)喜欢鱼灯巡游的游客人数约为30 000×=6 000。 …………4分 答：喜欢鱼灯巡游的游客人数约为6 000。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 (4)画树状图如下。   …………6分 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中恰好选到国潮表演和鱼灯巡游的结果有2种， ∴P(恰好选到国潮表演和鱼灯巡游)==。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 20.(本题满分8分) 某航天科技馆纪念品商店计划采购一批火箭模型徽章和空间站主题纪念册两类纪念品。采购2枚火箭模型徽章和3本空间站主题纪念册共需145元，采购18本空间站主题纪念册的费用比采购20枚火箭模型徽章的费用多230元。 (1)求火箭模型徽章和空间站主题纪念册的进货单价。 (2)商店每售出1枚火箭模型徽章可获利5元，每售出1本空间站主题纪念册可获利12元。根据游客预订情况，商店决定采购两类纪念品共200件，且采购总预算不超过6 700元。商店应如何采购才能使总利润最大，最大总利润是多少元？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 【考点】 二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用。 解：(1)设火箭模型徽章的进货单价为x元，空间站主题纪念册的进货单价为 y元。 根据题意得…………2分 解得 答：火箭模型徽章的进货单价为20元，空间站主题纪念册的进货单价为35元。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 (2)设购进火箭模型徽章m枚，则购进空间站主题纪念册(200-m)本。 根据题意得20m+35(200-m)≤6 700， 解得m≥20。…………5分 设总利润为w元， 则w=5m+12(200-m)=-7m+2 400。…………7分 ∵k=-7<0，∴w随m的增大而减小， ∴当m=20时，w有最大值， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 最大值为-7×20+2 400=2 260， ∴200-20=180(本)。 答：商店应采购20枚火箭模型徽章，180本空间站主题纪念册才能使总利润最大，最大总利润是2 260元。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 21.(本题满分9分) 如图，工人师傅在一座写字楼楼顶安装了避雷针AB， 为测量它的长度，数学实践小组的同学在离写字楼底 部点C处9米远的地面点D处，测得避雷针底部点B及 写字楼窗户点E处的仰角分别为60°，30°(点A，B， C，E在同一条直线上)，他们又沿坡度i=3∶4的斜坡从 点D处走到点F处，此时EF恰与地面CD平行，且在点F处测得避雷针顶 部A的仰角为40°。求避雷针AB的长度。(结果取整数。参考数据： ≈1.73，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 【考点】 解直角三角形的实际应用。 解：如图，过点F作FH⊥CD，垂足为H。 在Rt△ECD中，∠CDE=30°， CD=9米， ∴CE=CD·tan 30°=9×= 3(米)。…………3分 在Rt△BCD中，∠CDB=60°， CD=9米， ∴BC=CD·tan 60°=9×=9(米)， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 ∴BE=BC-CE=9-3=6(米)。…………4分 由题意得四边形ECHF为矩形， ∴FH=CE=3米，EF=CH。…………5分 在Rt△FHD中，=，∴DH=4米， ∴EF=CH=CD+DH=(9+4)米。…………6分 设避雷针AB的长度为x米，则AE=(x+6)米。 在Rt△AEF中，∠EFA=40°， ∴AE=EF·tan 40°，即x+6≈(9+4)×0.84， 解得x≈3。…………8分 答：避雷针AB的长度约为3米。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 22.(本题满分10分) 如图，AB是☉O的直径，点D在☉O上，点C是 的中点，过点C作AD的垂线，垂足为E，连接AC与BD相交于点F。 (1)求证：直线CE是☉O的切线。 (2)若AB=10，AC=8，求sin∠ABD的值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 【考点】 切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、平行线的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理。 (1)证明：如图，连接OC。 ∵点C是 的中点，∴OC⊥BD。 ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB =90°，即AD⊥BD，∴OC∥AD。…………2分 ∵CE⊥AD，∴OC⊥CE。 ∵OC是☉O的半径， ∴直线CE是☉O的切线。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 (2)解：如图，连接BC。 设OC与BD相交于点H，则点H是BD的中点，令OH=x。 …………5分 ∵AB=10，∴OB=5，OC=5，∴CH=5-x， ∴BH2=25-x2。…………7分 ∵AB=10，AC=8，∴BC=6。…………8分 在Rt△BHC中，25-x2+(5-x)2=36，解得x=， ∴sin∠ABD===。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 【得分要点】 　　 判定切线时，作出正确的辅助线，说明是“半径”或“点在圆上”。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 23.(本题满分11分) 如图1，在四边形ACBD中，AD=BD，∠ACB=∠ADB=90°。   【问题提出】 请说明线段AC，BC，CD之间的数量关系。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 【问题解决】 小亮的做法如下：如图2，将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE。在证明△CDE是等腰直角三角形后，即可得AC，BC，CD的数量关系。 (1)请按照小亮的做法，写出上述题目完整的解题过程。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 【拓展应用】 (2)如图1，若AC=，BC=2，则CD=________。  (3)如图3，在四边形PACB中，AC=CB，∠APC=∠BPC=30°，∠ACB=120°，PC=2，PB=2，求PA的长。  (4)如图4，∠ACB=90°，E是平面上的一点。若AC=BC=CE=6，AE=2，点P是AB的中点，点Q为AE的中点，求PQ的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 【考点】 四边形的综合。 解：(1)由题意得DC=DE，∠CDE=90°。 ∵∠ADB=90°， ∴∠CDE-∠ADC=∠ADB-∠ADC，即∠ADE=∠BDC。 ∵AD=BD，∴△ADE≌△BDC(SAS)， ∴AE=BC，∠DAE=∠DBC。…………2分 在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 ∴∠DBC+∠DAC=180°， ∴∠DAE+∠DAC=180°，即C，A，E三点共线， ∴△CDE为等腰直角三角形，∴CE=CD。 ∵CE=AC+AE=AC+BC， ∴AC+BC=CD。…………4分 (2)3…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 (3)如图，将△PCB绕点C逆时针旋转120°得到△QAC，过点C作CN⊥PA于点N。 ∵∠APC=∠BPC=30°，∠ACB=120°， ∴∠CAP+∠CBP=180°。…………6分 由旋转可得AQ=PB=2， QC=PC=2，∠AQC=∠BPC=30°，∠QAC=∠PBC， ∴∠CAP+∠CAQ=180°，∴Q，A，P三点共线。 ∵CQ=CP，CN⊥PA，∠AQC=30°， ∴CN=QC=，∴QN==3，…………7分 ∴PQ=2QN=6，∴PA=QP-QA=6-2=4。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 (4)当点E在直线AC左侧时，如图所示，连接CQ，PC。 ∵AC=BC，∠ACB=90°，点P是AB的中点， ∴AP=CP，∠APC=90°。 又∵CA=CE，点Q是AE的中点， ∴∠CQA=90°。…………9分 ∵AE=2，∴AQ=AE=1， 又∵AC=6，∴CQ==。 由小亮同学探究此问题的思路得到的结论得AQ+CQ=PQ， ∴PQ=1+，解得PQ=。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 当点E在直线AC的右侧时，如图所示，连接CQ，CP， 同理可知∠AQC=∠APC=90°。 由勾股定理可得CQ=， 同理可得PQ=(CQ-AQ)， ∴PQ=。 综上所述，PQ=或。…………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 24.(本题满分14分) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其中A(-1，0)，tan∠CAO=2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 (1)求抛物线的表达式； (2)线段OB上有一动点P，连接CP，求CP+PB的最小值； (3)如图2，D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD，交BC于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求 的最大值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)在Rt△CAO中，OA=1， 由tan∠CAO=2得 OC=2， ∴点C的坐标为(0，2)，∴c=2。 将A(-1，0)代入y=ax2+x+2，解得a=-， ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+2。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 (2)令y=0，即-x2+x+2=0，解得x1=-1，x2=4， ∴点B的坐标为(4，0)， ∴BC==2， ∴sin∠CBO===。…………5分 如图，作点C关于x轴的对称点C'，连接BC'， 过点C作CH⊥BC'于点H，CH与x轴交于点P， 则BC'=BC，∠BHC=90°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 sin∠C'BO==sin∠CBO=， ∴PH=PB， ∴CP+PB=CP+PH=CH， 即CP+PB的最小值为线段CH的长。…………6分 在△BCC'中，CC'·BO=BC'·CH，∴CH==， ∴CP+PB的最小值为。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 (3)如图，过点A作AM∥y轴交BC于点M，过点D作DN∥y轴交BC于点N， 则易知△DNE∽△AME， ∴=。…………8分 由题意得=，则=。 设直线BC的表达式为y=kx+b。 将C(0，2)，B(4，0)分别代入 y=kx+b 得解得 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 ∴直线BC的表达式为 y=-x+2，…………10分 ∴点M的坐标为(-1，)，即AM=。…………12分 设D(m，-m2+m+2)，则N(m，-m+2)， ∴DN=-m2+m+2-(-m+2)=-m2+2m， ∴===-(m-2)2+。 由题意得0<m<4，∴的最大值为。…………14分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T11、T12、T13、T17、T18、T19 再接再厉鼓舞你 T14、T15、T20、T21、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T9、T22、T23(1)(2) 学霸登顶恭喜你 T10、T16、T23(3)(4)、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 76 $