6 模拟实战卷四-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件全面覆盖代数、几何、统计与概率等中考核心考点，严格对接烟台中考说明，按120分分值设置10道选择、6道填空、8道解答题，分析二次函数、几何变换等高频考点权重，归纳综合题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于8套全真模拟卷实战训练与“授之以渔”方法指导，如几何综合题通过构造全等培养推理意识，二次函数结合相似求最值渗透模型意识，错题按难度分类助学生突破易错点，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.的倒数是(　　) A. B.- C. D.- 【考点】 倒数。 【解析】 的倒数为 。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 2.如图为某家具厂生产的一种配件，其俯视图为(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 【考点】 简单几何体的三视图。 【解析】 该几何体的俯视图如图。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 3.下列计算正确的是(　　) A.a5·a=2a6 B.a6+a2=a8 C.(ab)4=a4b D.(-a2)2=a4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 【考点】 整式的运算。 【解析】 A.a5·a=a6≠2a6，故此选项错误，不符合题意； B.a6与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； C.(ab)4=a4b4≠a4b，故此选项错误，不符合题意； D.(-a2)2=a4，故此选项正确，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 4.如图是一把木椅及其侧面示意图，其中∠ABD=130°，CD∥EF，∠BDC=70°，则∠E的度数为(　　)   A.70° B.60° C.50° D.40° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 【考点】 平行线的性质、三角形外角的性质。 【解析】 ∵CD∥EF，∠BDC=70°， ∴∠F=∠BDC=70°。 ∵∠ABD=130°，∴∠E=∠ABD-∠F=130°-70°=60°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 5.装修房屋时，小明选中了一种漂亮的正八边形地砖，但是只用该种地砖不能将地面铺满(彼此之间不留空隙、不重叠)，但与另外一种形状的地砖混合使用就能将地面铺满，你认为他应选择的地砖形状是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 【考点】 正多边形的性质。 【解析】 A.正八边形与正三角形的内角分别为135°，60°，不能构成 周角，故不能铺满，不符合题意； B.正八边形与正方形的内角分别为135°，90°，且2×135°+90° =360°，故能铺满，符合题意； C.正八边形与正五边形的内角分别为135°，108°，不能构成周角， 故不能铺满，不符合题意； D.正八边形与正六边形的内角分别为135°，120°，不能构成周角， 故不能铺满，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 6.在一个化学实验室里，有五瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有氢氧化钠、稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠五种溶液。已知浸泡在酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)中可以除铁锈，从中随机抽取两瓶，则浸泡在这两瓶溶液中都可以除铁锈的概率是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 【考点】 用列表法或画树状图法求概率。 【解析】 设氢氧化钠、稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠分别为A，B，C，D，E，列表如下。 第一瓶 第二瓶 A B C D E A — (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) B (B，A) — (B，C) (B，D) (B，E) C (C，A) (C，B) — (C，D) (C，E) D (D，A) (D，B) (D，C) — (D，E) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) — 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 由表可知，共有20种等可能的结果，其中浸泡在这两瓶溶液中都可以除铁锈的结果有(B，D)，(D，B)，共2种， ∴浸泡在这两瓶溶液中都可以除铁锈的概率为=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 7.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问：甲、乙怀钱各几何？”译文：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等。问：甲、乙各带了多少两银子？设甲带了x两银子，乙带了y两银子，则可列方程组为(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 【考点】 二元一次方程组的实际应用。 【解析】 由题意可得 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 8.如图，将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则 的值为(　　)   A. B. C. B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 【考点】 解一元二次方程。 【解析】 由题图可得正方形边长为a+b，矩形宽为b，长为a+2b。 ∵剪拼前、后面积不变，∴(a+b)2=b(a+2b)，即a2+ab-b2=0， 解得a=b或a=b(不符合题意，舍去)， ∴=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 9.如图，在反比例函数y=的图象上有一动点A，连接AO并延长与图象的另一分支交于点B，C为第四象限内一点，且AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上。若sin∠BAC=，则k的值为(　　) A.3 B.-3 C.9 D.-9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 【考点】 反比例函数k的几何意义、锐角三角函数、相似三角形。 【解析】 如图，连接OC，过点A，C分别作AM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N， 由题意得A，B两点关于点O中心对称，则OA=OB。 ∵AC=BC，∴CO⊥AO。 ∵sin∠BAC=， ∴tan∠BAC=3=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 由题易知△AMO∽△ONC， ∴S△ONC∶S△AMO=32=9。 ∵S△AMO=，∴S△ONC=，∴=，∴|k|=9。 又∵点C在第四象限，∴k=-9。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 10.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个30°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，当i=2 026时，顶点C2 026的坐标为(　　) A.(2，0) B.(1，0) C.(-1，0) D.(-2，0) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 【考点】 正多边形的性质、点的坐标规律的探索。 【解析】 如图，过点A作AH⊥OB，则∠AHB=90°。 ∵AB=AO，∠BAO=120°， ∴∠BAH=60°，∴∠ABH=30°， ∴AH=AB=。 在Rt△ABH中， BH==， ∴BO=2BH=。 ∵∠ABH=30°，∠ABC=120°，∴∠CBO=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 在Rt△OBC中，CO==2。 ∵多边形OABCDE是正六边形， ∴每个内角的度数为120°，即∠ABC=∠BAO=120°。 360°÷30°=12，即旋转12次，正六边形OABCDE回到起始位置， 当i=2 026时，2 026÷12=168……10， ∴点C旋转2 026个30°后，正好落在x轴负半轴点C'位置处。 ∵OC'=OC=2，∴C2 026(-2，0)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 【授之以渔】 ——方法指导 点的坐标规律探索 ①记首次值：根据题意可记第一次变换前关键点的坐标。 ②计算变换值：通过计算得到第一次变换后的坐标，第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，…… ③找关系：观察、归纳出后一个坐标与前一个坐标之间存在的倍数关系(或点的坐标之间的循环情况)，列出关系式(或每一个循环内点的坐标)。 ④得结论：第n次变换后，根据点坐标的变化规律，得出结论，并验证。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为-1，则多项式 -2x2+mx-2可因式分解为________。  -2(x-1)2 【考点】 一元二次方程的解、因式分解。 【解析】 将x=-1代入x2+mx+3=0得m=4， ∴-2x2+mx-2=-2x2+4x-2=-2(x-1)2。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 12.北京大学电子学院成功研制出纳米栅超低功耗铁电晶体管，将铁电晶 体管工作电压降低至 0.6 V，能耗降低至0.45 fJ/μm，是目前国际上尺寸 最小、功耗最低的铁电晶体管。数据0.45 fJ/μm用科学记数法表示为 __________J/μm。(1 fJ/μm=10-15J/μm)  4.5×10-16 【考点】 用科学记数法表示较小的数。 【解析】 0.45 fJ/μm=4.5×10-1fJ/μm=4.5×10-16J/μm。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 13.如图，数轴上点A表示的数为a，化简a+=___。  1 【考点】 二次根式的性质、数轴。 【解析】 由数轴可知a<1，∴=|a-1|=1-a， ∴原式=a+1-a=1。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以点D为圆心，CD为半径画弧， 以点F为圆心，EF为半径画弧，则阴影部分的面积为__________。  16-π 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 【考点】 不规则阴影图形面积的计算。 【解析】 如图，设以点D和点F为圆心的弧的相交点为O，连接OA， OB，OC，OD，OE，OF，作OH⊥CD于点H。 由作图知点O为正六边形的中心。 由题意可得S扇形CDO==π。 ∵正六边形ABCDEF的边长为4， OH⊥CD， ∴CH=CD=2， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 ∴OH===2， ∴S△CDO=CD·OH=×4×2=4， ∴S扇形CDO-S△CDO=π-4， ∴S△OBC-(S扇形CDO-S△CDO)=4-(π-4)=8-π， ∴阴影部分的面积=2[S△OBC-(S扇形CDO-S△CDO)]=16-π。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 15.如图1，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点E是BC边上的一动 点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为 y，图2是y关于x的函数图象，其中H(a，b)是图象上的最低点，则a+b的 值为_____。  7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 【考点】 动点问题的函数图象。 【解析】 如图，在AB边上取点E1，使得BE和BE1关于BD对称，连接PE1， 连接CE1，作CE2⊥AB，垂足为E2，交BD于点P2，则PC+PE=PC+PE1。 由三角形三边关系和垂线段最短知 PE+PC=PE1+PC≥CE1≥CE2， 即PE+PC有最小值CE2。 ∵在菱形ABCD中， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 AB=6，∠ABC=60°， ∴在Rt△BE2C中，∠E2BC=60°，则CE2=3。 ∵H(a，b)是图象上的最低点， ∴b=PE+PC=CE2=3。 易知BE2=3，BD=6，∴在Rt△BP2E2中，BP2=2， ∴P2D=BD-BP2=4，∴a=P2D=4。 又∵b=3，∴a+b=7。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 16.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，2)，与x轴交点的横坐 标为x1，x2，其中-2<x1<-1，0<x2<1，顶点的纵坐标大于2。给出下列结 论：①>0；②b2+8a<4ac；③a+c<1；④当x<-1时，ax2+(b+2)x+c<0。 其中正确的是________。(填序号)  ①③④ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 【考点】 二次函数图象与系数 a，b，c的关系。 【解析】 由题图得a<0，c>0，-<0， ∴b<0，∴>0，故结论①正确； 由顶点的纵坐标大于2得>2，∴b2+8a>4ac，故结论②错误； 当x=-1时，a-b+c=2， 当x=1时，a+b+c<0， ∴a-b+c+a+b+c<2，即a+c<1，故结论③正确； 如图，画出直线y=-2x，易知直线y=-2x经过点(-1，2)。 由图可知当x<-1时，ax2+bx+c<-2x， ∴ax2+(b+2)x+c<0，故结论④正确。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：·，其中m=(-1)2 026。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 【考点】 分式的化简求值。 解：原式=· =2(m+2)(m-2)=2m2-8。…………4分 当m=(-1)2 026=1时， 原式=2×12-8=-6。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 18.(本题满分7分) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB。 (1)作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)连接BF交AE于点O，若AE=6，AB=5，求BF的长。(未完成作图的，可用草图作解答) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 【考点】 尺规作图、角平分线的性质、平行四边形的性质。 解：(1)如图即为所求。   …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 (2)如图。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠AEB。 ∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE。…………5分 ∵AB=BE，∴AF=BE。 ∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形。 又∵AB=AF，∴平行四边形ABEF为菱形， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 ∴AO⊥BF，BO=OF，OA=OE。 ∵AE=6，∴AO=AE=3。 在Rt△ABO中，BO===4， ∴BF=2BO=8。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 19.(本题满分7分) 快递业为人们的日常生活提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势。网店店主小王打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作。为此，他收集了10家网店店主对这两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分(满分10分)： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9。 乙的平均成绩为=7.9。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 ②服务质量得分统计图(满分10分)：   ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 m 7 乙 7.9 n 8 7 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中，m=__________，n=__________。  (2)求表格中的值。 (3)综合上表中的统计量，你认为小王应选择哪家公司？请说明理由。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 【考点】 统计图表的分析、中位数、众数、方差。 解：(1)9　8…………2分 (2)==1； = =4.2。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 (3)小王应选择甲公司。…………5分 理由如下： 配送速度方面，甲、乙两公司的平均数相同，中位数相同，但甲公司的众数高于乙公司的，这说明甲公司在配送速度方面可能比乙公司表现得更好。 服务质量方面，二者的平均数相同，但甲公司的方差小于乙公司，说明甲公司的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司。 …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 20.(本题满分8分) 教育部在2026年度全国基础教育重点工作部署会上明确要求：推动人工智能进入中小学课程标准、日常教学、考试评价。为加快推进智慧校园建设，落实教育部相关要求，某校计划购进一批AI智能教学终端与AI错题打印机，用于提升课堂教学质量与学生自主学习效率。用6 000元采购AI智能教学终端的数量，与用4 500元采购AI错题打印机的数量相同，且每台AI智能教学终端比每台AI错题打印机贵300元。 (1)求每台AI智能教学终端、每台AI错题打印机的价格； (2)该校计划购进这两种设备共30台，要求总费用不低于33 000元，求最多购进多少台AI错题打印机。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 【考点】 分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用。 解：(1)设每台AI错题打印机的价格为x元，则每台AI智能教学终端的价格为(x+300)元。 由题意得=，解得x=900。…………2分 经检验，x=900是原方程的解，且符合题意，则x+300=1 200。 答：每台AI智能教学终端的价格为1 200元，每台AI错题打印机的价格为900元。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 (2)设购进AI错题打印机的数量为m台，则购进AI智能教学终端的数量为(30-m)台。 由题意得1 200(30-m)+900m≥33 000，解得m≤10。 …………6分 答：最多购进10台AI错题打印机。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 21.(本题满分9分) 项目主题 设计遮阳篷 测量过程 如图1，数学小组在窗户上安装了一个遮阳篷，其固定端点A位于墙面，遮阳篷的长度AB=1.5米，前端下摆BC与地面垂直且BC=0.19米，窗户高度AD=1.7米，AB与AD的夹角∠BAD=70°，室外窗台与地面平行，窗台宽DE=0.3米   1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 项目主题 设计遮阳篷 问题解决 任务一：如图2，求遮阳篷上的点B到AD的距离 任务二：如图2，当太阳光与窗台所在平面的夹角α=50°时，请通过计算说明太阳光能否照射到窗台 参考数据 sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75；sin 50°≈0.77， cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 【考点】 解直角三角形的实际应用。 解：任务一：如图，过点B作BH⊥AD于点H。 在Rt△AHB中， BH=AB·sin∠BAD=1.5·sin 70°≈1.5×0.94=1.41(米)。 …………3分 答：遮阳篷上的点B到AD的距离约为1.41米。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 任务二：如图，设光线与窗台所在平面交于点F，延长BC交DF于点G。 在Rt△AHB中， AH=AB·cos∠BAD=1.5·cos 70°≈1.5×0.34=0.51(米)。…………6分 由题意得四边形BHDG为矩形， ∴DG=BH=1.41米，BG=DH， ∴CG=AD-AH-BC=1.7-0.51-0.19=1(米)。…………7分 在Rt△CGF中，FG==≈≈0.84(米)， ∴DF=DG-FG=1.41-0.84=0.57(米)>0.3米。 答：太阳光不能照射到窗台。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 【回归教材】 　　此题由鲁教版九年级上册数学教材58页综合与实践改编而来。通过设计遮阳篷的实践活动，探究光线角度与遮阳篷相关的数量和角度关系。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 22.(本题满分10分) 如图，已知☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD，AE，且AD=AE，CA=CE。 (1)求证：直线AE是☉O的切线。 (2)若sin E=，☉O的半径为9，求AD的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 【考点】 切线的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理。 (1)证明：∵∠ACB=90°， ∴AB是☉O的直径。…………1分 ∵AD=AE，∴∠E=∠D。 ∵∠B=∠D，∴∠E=∠B。…………3分 ∵CA=CE，∴∠E=∠CAE，∴∠CAE=∠B， ∴∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，∴OA⊥AE。 ∵OA是☉O的半径，∴直线AE是☉O的切线。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 (2)解：如图，过点C作CF⊥AE于点F， 则∠CFE=90°。 ∵∠E=∠CAE=∠B， ∴=sin B=sin E==。…………7分 ∵OA=OB=9，∴AB=18， ∴CE=CA=AB=×18=12， ∴CF=CE=×12=8。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 ∵CF⊥AE，CA=CE， ∴AF=EF===4， ∴AD=AE=2AF=2×4=8， ∴AD的长为8。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 23.(本题满分11分) 【问题初探】 (1)如图1，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF。 请写出完整的证明过程，以下解题思路仅供参考。 思路1：延长FD至点G，使DG=DF，连接CG，构造△DGC≌△DFB…… 思路2：过点B作BH∥AC交AD延长线于点H，构造△BDH≌△CDA…… 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 【迁移应用】 (2)如图2，已知等边三角形ABC中，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转120°得到DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF，猜想CD与DF的数量关系，并证明你的猜想。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 【能力提升】 (3)如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是斜边BC上的一点，且BD<CD，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连接线段BE，点F为线段BE的中点，连接DF。若∠CDE=15°，DF=，求线段CD的长度。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 【考点】 几何变换的综合。 (1)证明：如图，延长FD至点G，使GD=FD，连接GC。 ∵AD是△ABC 的中线，∴BD=CD。…………1分 在△BDF和△CDG中， ∴△BDF≌△CDG(SAS)， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 ∴BF=CG，∠BFD=∠G。 ∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA。 ∵∠EFA=∠BFD，∴∠G=∠GAC， ∴AC=GC，∴AC=BF。…………3分 (证明方法不唯一) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 (2)解：CD=2DF。…………4分 理由如下：如图，延长ED至点K，使DK=DE，连接AK，BK。 ∵点F是BE的中点，点D是EK的中点， ∴DF是△EBK的中位线， ∴BK=2DF。…………5分 由旋转得∠ADE=120°，DE=DA， ∴∠ADK=180°-∠ADE=60°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 DK=DE=DA， ∴△AKD是等边三角形， ∴AK=AD，∠KAD=60°。 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴∠KAB=60°-∠BAD=∠DAC，∴△AKB≌△ADC(SAS)， ∴BK=CD，∴CD=2DF。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 (3)解：如图，延长ED至点P，使 DP=DE，连接BP，AP，作AQ⊥BC，垂足为Q。 ∵点F是BE中点，点D是PE中点， ∴DF是△EBP 的中位线，∴BP=2DF。…………7分 ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴BQ=CQ=AQ，∠BAQ=45°， ∴AB==AQ。 由旋转得∠ADE=90°，DE=DA， ∴∠ADP=180°-∠ADE=90°，DP=DE=DA， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 ∴△APD 是等腰直角三角形， ∴∠PAD=45°，AP=AD， ∴==，∠PAB=45°-∠BAD=∠DAQ， ∴△APB∽△ADQ，∴==，∴PB=DQ。 ∵PB=2DF，∴2DF=DQ， ∴DQ=DF==2。…………9分 ∵∠CDE=15°，∠ADE=∠AQD=90°， ∴∠DAQ=∠CDE=15°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 在AQ上取点M，使∠QDM=60°， 则∠DMQ=90°-∠QDM=30°， ∴∠MAD=∠MDA=15°，∴MA=MD。 ∵在Rt△MDQ中，∠DMQ=30°， ∴MA=MD=2DQ=2×2=4，MQ=DQ=×2=6， ∴QC=AQ=MA+MQ=4+6， ∴CD=DQ+QC=2+4+6=6+6。…………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 【命题特点】 烟台市中考数学几何综合题常考查三角形或四边形的图形变化 考查点： ①全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质。 ②矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质。 ③图形的旋转或平移。 ④推理能力、应用意识等。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 考查形式： ①以解答题形式出现，结合图形的旋转或平移进行考查。 ②一般设2～3小问，2，3问一般是类比探究或拓展延伸。 ③3小问一般考查变化过程中某一特殊点时的线段长度或线段的长度关系或角度，考查方式多样。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 24.(本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)， OA=2，OB=8，与y轴交于点C，连接AC，BC。 (1)求抛物线的表达式。 (2)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标。 (3)D是线段OB上一点，且△BCD的面积是12。将线段OD绕点O逆时针旋转得 到OD'，旋转角为α(0°<α<90°)，连接D'C，D'B，求D'B+D'C的最小值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)∵OA=2，OB=8，∴A(-2，0)，B(8，0)， ∴解得…………2分 ∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 (2)∵y=-x2+x+4=-(x-3)2+， ∴抛物线的对称轴为直线x=3。 ∵当x=0时，y=4，∴C(0，4)。 当点P在直线BC的上方时，如图。 ∵∠PCB=∠ABC，∴CP∥x轴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线x=3对称， ∴P(6，4)。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 76 当点P在直线BC的下方时，如图，设CP交x轴于点E(m，0)， 则OE=m，BE=8-m。 ∵∠PCB=∠ABC， ∴CE=BE， ∴在Rt△CEO中， OE2+OC2=CE2， 即m2+42=(8-m)2，解得m=3， ∴E(3，0)。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 77 设直线CP的表达式为y=kx+c， 则解得 ∴直线CP的表达式为y=-x+4。 联立解得(舍去)或 ∴P(，-)。…………8分 综上所述，点P的坐标为(6，4)或(，-)。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 78 (3)设D(n，0)，且0<n<8，则BD=8-n。 ∵△BCD的面积是12， ∴BD·OC=12，即×(8-n)×4=12， 解得n=2，∴D(2，0)。…………10分 由题意得点D'在以点O为圆心，2为半径，且位于第一象限的圆弧上运动。 如图，在y轴上取一点M'使得OM'=1，连接BM'交☉O于点D'，连接CD'， OD'。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 79 ∵OD'=2，OM'·OC=1×4=4， ∴OD'2=OM'·OC， ∴=。…………12分 ∵∠D'OM'=∠COD'， ∴△M'OD'∽△D'OC， ∴==， ∴M'D'=CD'， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 80 ∴D'B+D'C=D'B+M'D'。 ∵D'B+M'D'≥BM'，∴当M'，D'，B三点共线， 即点D'为BM'与圆弧的交点时，D'B+D'C的 值最小，最小值为BM'的长， ∴D'B+D'C的最小值=BM'==。…………14分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 81 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T17、T18 再接再厉鼓舞你 T8、T14、T15、T19、T20、T21、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T9、T22、T23(1)(2) 学霸登顶恭喜你 T10、T16、T23(3)、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 82 83 $