7 信息预测卷一-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件全面覆盖代数、几何、统计与概率等中考核心考点，严格对接烟台市中考说明，通过分析选择、填空、解答题的分值分布（30分、18分、72分），系统归纳动点问题、二次函数综合题等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于8套全真模拟卷的真题训练与“错题反思+命题特点”的应试指导，如通过二次函数综合题示范相似三角形判定与方程思想结合，培养学生的数学思维和模型意识。教师可利用考点权重分析与典型题型解析，制定精准冲刺计划，帮助学生掌握答题技巧，提升中考得分率。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.有理数|-|的相反数是(　　) A. B.- C.3 D.-3 【考点】 绝对值、相反数。 【解析】 |-|=的相反数是-。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 2.古钱币是我国珍贵的历史文化遗产。一枚枚古钱币，不仅是流通的信物，更是串起历史的脉络，见证着岁月的更迭与文明的传承。下列选项是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别。 【解析】 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 3.下列计算正确的是(　　) A.a2+a4=a6 B.2a2b÷b=2a2 C.(2a2)3=6a6 D.(a+b)2=a2+b2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 【考点】 整式的运算。 【解析】 a2与a4不能合并，故选项A错误，不符合题意； 2a2b÷b=2a2，故选项B正确，符合题意； (2a2)3=8a6，故选项C错误，不符合题意； (a+b)2=a2+2ab+b2，故选项D错误，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 4.国家统计局2026年1月发布官方数据，2025年我国国内生产总值(GDP)达到1 401 879亿元，首次突破140万亿元大关，将140万亿用科学记数法表示为(　　) A.1.4×1014 B.14×1013 C.1.4×1015 D.0.14×1015 【考点】 用科学记数法表示较大的数。 【解析】 140万亿=140 000 000 000 000=1.4×1014。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 5.如图，图中几何体的左视图是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 【考点】 简单几何体的三视图。 【解析】 这个几何体的左视图如图。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=60°， OC=2，则点B的坐标为(　　) A.(，2) B.(3，2) C.(3，) D.(，3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 【考点】 菱形的性质。 【解析】 如图，过点C作CD⊥x轴于点D。 ∵四边形OABC是菱形，OC=2，∴OA=OC=2。 又∵∠AOC=60°，∠CDO=90°， ∴OD=OC·cos 60°=1， CD=OC·sin 60°=， ∴点C的坐标为(1，)。 又∵BC=OA=2，∴点B的横坐标为OD+BC=1+2=3。 ∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为(3，)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 7.如图，已知☉O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆。现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 【考点】 几何概率、正多边形与圆。 【解析】 如图。 设OA=a，则OB=OC=a。 由正方形的性质可知∠AOB=90°， AB==a。 由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a， S阴影=S☉O-S小正方形=πa2-(a)2=(π-2)a2，S大正方形=4a2， ∴这个点取在阴影部分的概率是=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 8.《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安。同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安。现乙先出发2日，甲才从长安出发。问：甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程为(　　) A.+=1 B.-=1 C.= D.+=1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 【考点】 一元一次方程的实际应用。 【解析】 ∵甲经过x日与乙相逢，∴相逢时乙已出发(x+2)日。 由题意得 =1。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 9.如图所示，已知△ABC是腰长为 的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，……以此类推，则第2 026个等腰直角三角形的斜边长是(　　) A. B. C. D.()2 026 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 【考点】 图形规律的探索、勾股定理。 【解析】 ∵△ABC是腰长为的等腰直角三角形， ∴AC==。 在第二个等腰直角三角形ACD中，由勾股定理得AD====×()2， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 在第三个等腰直角三角形ADE中，由勾股定理得AE====×()3， …… 以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为， ∴第2 026个等腰直角三角形的斜边长为。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 10.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按A→B→C→D的路线在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S与t之间的关系如图2所示，当点P运动到BC的中点时，S的值为(　　) A.87 B.84 C.81 D.78 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 【考点】 动点问题的函数图象。 【解析】 由题图可知AB+BC=14.5×2=29，CD=(20-14.5)×2=11。 当点P运动到点C时，△PAD的面积为66， ∴AD·DC=66，∴AD=12。 又∵当点P运动到点B时，△PAD的面积为96， ∴AD·AB=96，∴AB=16。 当点P运动到BC的中点时，如图，过点P作AD的垂线，垂足为E；过点P作AB的垂线，垂足为F；过点C作AB的垂线，垂足为G。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 易得四边形ADCG为矩形， ∴CG=AD=12，AG=CD=11，∴BG=16-11=5。 ∵AB+BC=29，AB=16，∴BC=13。 ∵点P是BC的中点，∴PB=， ∴cos B==，即=，∴BF=，∴AF=16-=。 易证四边形AEPF为矩形，∴PE=AF=， ∴S△PAD=AD·PE=×12×=81。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.分解因式：2a3-18a= ____________。  2a(a+3)(a-3) 【考点】 因式分解。 【解析】 2a3-18a=2a(a2-9)=2a(a+3)(a-3)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 12.相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源。 如图所示的风筝骨架中，AB∥CD。若∠1=137°，则∠2=______。  43° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 【考点】 平行线的性质。 【解析】 如图。 ∵AB∥CD，∠1=137°， ∴∠3=∠1=137°， ∴∠2=180°-137°=43°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 13.已知x1，x2是方程2x2-4x-3=0的两根，则+=___。  7 【考点】 一元二次方程根与系数的关系。 【解析】 ∵x1，x2是方程2x2-4x-3=0的两根， ∴x1+x2=2，x1x2=-，∴=(x1+x2)2-2x1x2=4+3=7。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 14.如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为 30 cm，底面 直径为 50 cm，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______。  300° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 【考点】 与圆锥有关的计算。 【解析】 设斗笠的侧面展开图的圆心角为n°。 由题意得=50π， 解得n=300。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 15.如图，点P在矩形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP折叠，点B的 对应点落在矩形ABCD内的点E处，且EA=ED。若AB=10，AD=16，那 么BP的长为___。  5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 【考点】 图形的折叠、矩形的性质。 【解析】 如图，过点E作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴∠AMN=∠BNM=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 ∵将△ABP沿直线AP折叠，点B的对应点落在矩形ABCD内的点E处， ∴AE=AB=10，BP=PE，∠AEP=∠B=90°。 ∵AE=DE=10，∴AM=DM=AD=8， ∴EM==6，∴EN=10-6=4，BN=AM=8。 ∵PE2=EN2+PN2，∴BP2=42+(8-BP)2，∴BP=5。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 16.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)中的x与y的部分对应值 如表：   当m<0时，下列四个结论：①abc>0；②当x<时，y随x的增大而增大； ③m>4a；④对于任意实数x0，式子a+bx0≤()2a+b恒成立。其中正 确的是________。(填序号)  x … -1 0 3 … y … m 4 4 … ②③④ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 【考点】 二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征。 【解析】 由表格数据可知函数的对称轴为直线x=-==， ∴b=-3a。 ∵m<0，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，∴a<0，∴b>0。 ∵当x=0时，y=4，∴c=4>0，∴abc<0，故①错误。 ∵图象的对称轴为直线x=，a<0， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 ∴当x<时，y随x的增大而增大， ∴当x<时，y随x的增大而增大，故②正确。 当x=-1时，m=a-b+c=a+3a+4=4a+4>4a，故③正确。 ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=， ∴当x=时，y取得最大值()2a+b+c， ∴对于任意实数x0，都有a+bx0+c≤()2a+b+c， ∴a+bx0≤()2a+b恒成立，故④正确。 综上所述，正确的结论为②③④。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：(-x+1)÷，其中x的值为计算器按键顺序 　　　　　　　　　的结果。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 【考点】 分式的化简求值、计算器的使用。 解：原式=· =·=。…………4分 ∵x==3，∴原式==。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 18.(本题满分7分) 某区域快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量。 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位：万件)如表所示。 分拣快递数量(万件) 3 4 5 6 7 机器人数量(台) 1 2 4 2 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量(单位：万件)条形统计图如图所示。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：   请你根据以上数据，解答下列问题。 (1)填空：表中a=________，b=________。  型号 众数 中位数 平均数 方差 A 5 b 5 1.2 B a 7 6.5 1.45 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议。 (3)若某快递公司新购进A型号智能机器人2台，B型号智能机器人2台，随机抽取2台分拣快递，请用画树状图法或列表法，求抽取的智能机器人恰是同一型号的概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 考点】 统计图表的分析、中位数、众数、用列表法或画树状图法求 概率。 解：(1)7　5…………2分 (2)建议如下： ∵B型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于A型号智能机器 人每天可分拣快递数量的平均数， ∴购买B型号智能机器人。(答案不唯一)…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 (3)令2台A型号智能机器人为A1，A2，2台B型号智能机器人为B1，B2。 画树状图如图。   …………6分 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号的结果有4种， ∴P(抽取的智能机器人恰是同一型号)==。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 19.(本题满分7分) 如图，已知AB=AC，BC=CD，∠ACB=∠BCD，CE⊥BD。 (1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点F。(保留作图痕迹， 不写作法，不写结论) (2)在(1)的条件下，证明：BF∥CE。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 【考点】 尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质。 (1)解：如图，射线BF即为所求。   …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 (2)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。 ∵∠ACB=∠BCD，∴∠ABC=∠BCD。 ∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠ABC。…………5分 ∵在△BCD中，BC=CD，CE⊥BD，∴∠BCE=∠BCD， ∴∠CBF=∠BCE，∴BF∥CE。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 20.(本题满分8分) 【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度。 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具。 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图所示的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东30°的方向上，AB=8千米，∠ABC=75°，∠ADE=90°，AD=4千米，∠ECB=98°，C在A的正东方向，D在A的正南方向。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 【问题解决】 (1)求BC的长度；(结果保留根号) (2)求DE的长度。(结果保留整数。参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈1.73) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 【考点】 解直角三角形的实际应用。 解：(1)如图，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F， ∴∠AFB=∠CFB=90°。…………1分 易知∠ABF=30°， ∴BF=AB·cos∠ABF=8×cos 30°=4(千米)。 ∵∠ABC=75°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=45°， ∴BC===4(千米)。 答：BC的长度约为4千米。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 (2)如图，过点E作EH⊥AC于点H，则四边形ADEH是矩形， ∴DE=AH，EH=AD=4千米。 AF=AB·sin∠ABF=8×sin 30°=4(千米)， CF=BF·tan∠CBF=4×tan 45°=4(千米)。…………5分 ∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°，∠ECB=98°， ∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=53°， ∴CH==≈3.01(千米)， ∴DE=AH=AF+CF-CH=4+4-3.01≈8(千米)。…………7分 答：DE的长度约为8千米。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 21.(本题满分9分) 根据烟台市政府2026年春节惠民政策，2月15日至2月23日，全市所有国有景区实行首道门票半价优惠，已知有A，B景区皆执行半价门票政策。A景区的门票价格是B景区门票价格的2.5倍，若执行半价门票政策后，用400元购进A景区门票的数量比用300元购进B景区门票的数量少7张。 (1)执行半价门票政策后，A，B景区的门票价格分别为多少？ (2)在此期间，某家庭计划购买A，B景区的门票共12张，且A景区门票的数量不少于B景区门票数量的3倍。请你设计一种购票方案，使总费用最低，并求出总费用。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 【考点】 分式方程的实际应用、一次函数的实际应用。 解：(1)设B景区的门票价格为x元，则A景区的门票价格为 2.5x元。 根据题意得+7=， 解得x=20。…………2分 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意， ∴2.5x=2.5×20=50。 答：A景区的门票价格为50元，B景区的门票价格为20元。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 【授之以渔】 ——失分陷阱 　　 在利用分式方程解决问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 (2)设购买A景区门票m张，则购买B景区门票(12-m)张。 由题意得m≥3(12-m)，解得m≥9。…………5分 设购买门票的总费用为W元。 由题意得W=50m+20(12-m)=30m+240。…………7分 ∵30>0，∴W随m的增大而增大， ∴当m=9时，W有最小值，最小值为30×9+240=510， 此时12-m=3。…………8分 答：购买A景区门票9张，B景区门票3张时总费用最低，最低总费用是510元。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 22.(本题满分10分) 如图，AB为☉O的直径，BC是☉O的一条弦，点D在☉O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA，BC的延长线于点E，F。 (1)求证：EF为☉O的切线。 (2)若BD=2，tan∠FDB=2，求AE的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 【考点】 切线的判定与性质、圆周角定理。 (1)证明：如图，连接OD。 ∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD。 ∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB， ∴∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC。…………2分 ∵EF⊥BC，∴EF⊥OD。 又∵OD是☉O的半径， ∴EF为☉O的切线。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 (2)解：如图，连接AD。 ∵AB为☉O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD+∠ABD=90°。 ∵EF⊥BC，∴∠F=90°，∴∠FDB+∠CBD=90°。…………6分 ∵∠ABD=∠CBD，∴∠BAD=∠FDB， ∴tan∠BAD=tan∠FDB=2， ∴=2，=2，∴AD=BD，BF=2DF。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 ∵BD=2，∴AD=， ∴AB===5， BD==DF=2， ∴OD=OA=OB=AB=，DF=2，BF=4。…………8分 由(1)得OD∥BC，∴△ODE∽△BFE， ∴=，即=， 解得AE=。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 23.(本题满分11分) 【实践探究】小佑同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O旋转，他发现通过探究可以得到一些结论。 【问题发现】(1)①图1中线段AE，BF之间的数量关系是________；  ②如图1，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是________。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 【类比迁移】(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O可绕点O旋转，判断线段AE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 【结论应用】(3)如图3，在菱形AGHC中，对角线AH，GC相交于点B，点O为AC的中点，直角∠EOF的两条边OE，OF分别与边AB，BC交于点E，F，∠EOF可绕点O旋转。已知CB=3，AB=4，当CF=2时，线段BE的长为________。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 【考点】 四边形的综合。 解：(1)①AE=BF…………2分 ②CF2+AE2=EF2…………4分 (2)AE2+CF2=EF2。…………5分 理由如下： ∵点O是矩形ABCD的中心，AC过中心O， ∴点O是AC的中点，即OA=OC。 如图，延长EO交CD于点G，连接FG。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 ∵在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠EAO=∠GCO，∠AEO=∠CGO。 在△AEO和△CGO中， ∴△AEO≌△CGO(AAS)， ∴AE=CG，OE=OG。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 易知PF垂直平分EG，∴EF=FG。 在Rt△FCG中，由勾股定理得CG2+CF2=FG2。 ∵AE=CG，EF=FG， ∴AE2+CF2=EF2。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 (3)…………11分 提示：如图，连接EF。 ∵四边形AGHC是菱形，∴AH⊥BC， ∴∠ABC为直角。 由(2)得EF2=AE2+CF2=(4-BE)2+22。 ∵CF=2，BC=3，∴BF=3-2=1。 在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2=BE2+BF2=BE2+12， ∴(4-BE)2+22=BE2+12，解得BE=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 24.(本题满分14分) 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的交点为A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C。直线y=kx+b与x轴交于点B，与y轴交于点C。 (1)如图1，求抛物线的表达式。 (2)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC，CD，AD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当 取最大值时，求点D的坐标。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 (3)如图3，点P，Q分别为抛物线上第一、四象限内的动点，连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两点。若在P，Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2，试探究直线PQ是否过某一定点。若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)将A(-1，0)，B(3，0)分别代入y=-x2+bx+c中 得解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3。…………3分 (2)∵y=-x2+2x+3，∴C(0，3)。 将B(3，0)，C(0，3)分别代入y=kx+b中得 解得∴y=-x+3。…………5分 设D(t，-t2+2t+3)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 如图，过点D作DG∥y轴交BC于点G，过点A作AH∥y轴交BC于点H， ∴G(t，-t+3)，H(-1，4)， ∴DG=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t，AH=4。 易知DG∥AH， ∴△DEG∽△AEH， ∴=。 ∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 ∴===-(t-)2+。…………7分 ∵点D为直线BC上方抛物线上一动点， ∴0<t<3， ∴当t=时，取最大值，此时D()。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 (3)是，直线PQ过定点(3，-2)。…………9分 设直线PQ的表达式为y=fx+e，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。 当fx+e=-x2+2x+3时，x1+x2=2-f，x1x2=e-3。…………11分 设直线PA的表达式为y=k1x+m，直线QA的表达式为y=k2x+n， 当k1x+m=-x2+2x+3时，x1-1=2-k1，-x1=m-3， 当k2x+n=-x2+2x+3时，x2-1=2-k2，-x2=n-3。 易知M(0，m)，N(0，n)。…………12分 ∵MO·NO=2，∴-mn=2， ∴-(3-x1)(3-x2)=2，整理得3f+e=-2， ∴直线PQ经过定点(3，-2)。…………14分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 【命题特点】 烟台市中考数学二次函数综合题常结合特殊三角形、四边形及锐角三角函数等考查 考查点： ①一次函数的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系。 ②特殊三角形、矩形、菱形、平行四边形等的性质。 ③解直角三角形。 ④分类讨论思想、推理能力、应用意识等。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 考查形式： ①以解答压轴题形式出现，结合特殊三角形或特殊四边形的存在性、角度存在性等进行考查。 ②一般设3小问，1小问一般考查二次函数的表达式。 ③2～3问一般考查线段的最大值或最小值，有时会考查相似三角形的存在性或角度问题。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T11、T12、T13、T14、T17、T18 再接再厉鼓舞你 T9、T15、T19、T20、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T10、T16、T21、T22 学霸登顶恭喜你 T23、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 76 $