5 模拟实战卷三-【智乐星中考】2026年山东省初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件系统覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率等中考核心领域，严格对接山东省中考说明，通过8套全真模拟试卷分析考点权重，如二次函数占12%、圆占10%，并按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件特色在于“真题精析+核心素养培养”，如以正多边形与圆的切线问题示范几何直观与推理能力，结合《九章算术》问题渗透模型意识。设置错题反思表按难度归类，如“伤筋动骨”类聚焦二次函数综合应用，助学生掌握解题技巧，教师可依此精准突破考点，提升复习效率。

2026山东 数学 1 2 2026年山东省初中学业水平考试 数学试题 3 　　本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 4 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.如图，数轴上点A表示的数可能是(　　)   A.-2.5 B.-1.6 C.0.8 D.1.2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 5 【考点】 数轴. 【解析】 由数轴可知点A在-2和-1之间， ∴点A表示的数可能是-1.6.故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 6 2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 7 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别. 【解析】 A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 8 3.截至2025年底，我国国内发明专利有效量达5 320 000件，创新实力持续增强.数据5 320 000用科学记数法表示为(　　) A.0.532×107 B.5.32×106 C.53.2×105 D.532×104 【考点】 用科学记数法表示较大的数. 【解析】 5 320 000=5.32×106.故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 9 4.公园的石凳如图所示，则该石凳的主视图是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 10 【考点】 简单几何体的三视图. 【解析】 该石凳的主视图为　　　　　　　　　.故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 11 5.下列运算正确的是(　　) A.(a-b)2=a2-2ab-b2 B.(a3b)2=a5b2 C.(a+b)(-a+b)=b2-a2 D.5a-a=4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 12 【考点】 整式的运算. 【解析】 (a-b)2=a2-2ab+b2，故选项A错误，不符合题意； (a3b)2=a6b2，故选项B错误，不符合题意； (a+b)(-a+b)=b2-a2，故选项C正确，符合题意； 5a-a=4a，故选项D错误，不符合题意.故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 13 6.每年的3月14日为国际数学日(简称IDM)，是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动.2026年国际数学日的主题为数学与希望.某中学在3月14日举办的第一届数学文化节中开展数学实践活动，设置了数学谜题、速算挑战、几何建模三个活动，如果小亮和小明每人随机选择参加其中一个活动，那么他们恰好选到同一个活动的概率是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 14 【考点】 用列表法或画树状图法求概率. 【解析】 将数学谜题、速算挑战、几何建模分别记为A，B，C， 列表如下. 小亮 小明 A B C A (A，A) (A，B) (A，C) B (B，A) (B，B) (B，C) C (C，A) (C，B) (C，C) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 15 由表可知共有9种等可能的结果，其中他们恰好选到同一个活动的结果有3种， ∴他们恰好选到同一个活动的概率为=. 故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 16 7.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺.问：几何日相逢？瓜、瓠各长几何？”大意是：已知墙高9尺，长在墙顶的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙根的葫芦蔓每天向上长1尺.问：经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少(注：1尺=10寸)？设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 17 【考点】 由实际问题抽象出二元一次方程组. 【解析】 由题意可得 故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 18 8.如图，☉O与正五边形ABCDE的两边AB，CD相切于A，D两点，则∠AOD的度数是(　　) A.108° B.135° C.120° D.144° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 19 【考点】 正多边形与圆、切线的性质. 【解析】 ∵☉O与正五边形ABCDE的两边AB，CD相切于A，D两点， ∴∠OAB=90°，∠ODC=90°， ∴正五边形ABCDE的每个内角度数为(5-2)×180°÷5=540÷5=108°， ∴∠AOD=540°-∠B-∠C-∠OAB-∠ODC=540°-108°-108°-90°-90°=144°. 故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 20 9.如图，点A1，A2，A3，…An，在反比例函数y=(x>0)的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴正半轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=…，一次函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…则点Bn(n为正整数)的坐标是(　　) A.(4，0) B.(0，) C.(0，) D.(0，4) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 21 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题、点的坐标规律的探索. 【解析】 由题意得△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形. ∵一次函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A1， ∴=x，解得x1=2，x2=-2(不符合题意，舍去)， ∴A1(2，2)，∴OB1=4，∴B1(0，4). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 22 设A2(m，4+m)，∴m(4+m)=4， 解得m=2-2(负值已舍去)，∴OB2=4，∴B2(0，4). 设A3(a，4+a)，则a(4+a)=4， 解得a=2-2(负值已舍去)，∴OB3=4，∴B3(0，4). 同理可得OB4=4，…，∴OBn=4，∴Bn(0，4).故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 23 10.把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况，由此科学家推测出植物每天高度增长量y(mm)是关于温度x(℃)的二次函数，其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是(　　) A.当x=0时，y取得最大值 B.当x≥-4时，y随x的增大而减小 C.当y≥49时，x≥-2 D.当y=25时，x=-6或4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 【考点】 二次函数的实际应用. 【解析】 由题图可得二次函数图象的对称轴为直线x=-1. 设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+k. 将和分别代入得 解得∴y=-(x+1)2+50. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 25 当x=-1时，y取最大值50，故选项A结论错误. 当x≥-4时，y随x的增大先增大、后减小，故选项B结论错误. 当y≥49时，-2≤x≤0，故选项C结论错误. 当y=25时，x=-6或4，故选项D结论正确. 故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 26 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.若二次根式有意义，实数x的值可以是______________.  2(答案不唯一) 【考点】 二次根式有意义的条件. 【解析】 根据题意得x-1≥0，解得x≥1， ∴实数x的值可以是2. 故答案为2(答案不唯一). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 27 12.如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上.若∠FEC=125°，∠HFB=20°，则∠HFG的 度数为______.  35° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 28 【考点】 平行线的性质. 【解析】 ∵∠FEC=125°，∴∠FED=180°-125°=55°. ∵AB∥CD，∴∠GFB=∠FED=55°. ∵∠HFB=20°，∴∠HFG=55°-20°=35°. 故答案为35°. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 29 13.已知a，b是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根.若a2-6a+2ab=6， 则k=___.  6 【考点】 一元二次方程根与系数的关系. 【解析】 ∵a，b是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根， ∴a2-6a+k=0，ab=k，∴a2-6a=-k. ∵a2-6a+2ab=6，∴-k+2k=6，∴k=6.故答案为6. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 30 14.如图，直线y=x-4与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角 三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当线段OB的中点落在直线y=x-4 上时，则△OAB平移的距离是____.  10 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 31 【考点】 一次函数的图象与性质. 【解析】 在y=x-4中，当y=0时，x-4=0， 解得x=8，即OA=8. 如图，过点B作BC⊥OA于点C. ∵△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形， ∴BC=OC=AC=4，∴点B的坐标是(4，4)， ∴线段OB的中点为(2，2). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 32 设平移的距离为a， 则线段OB的中点平移后的坐标为(a+2，2)， 代入y=x-4得2=(a+2)-4， 解得a=10，即△OAB平移的距离是10. 故答案为10. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 33 15.如图，在▱ABCD中，∠B=45°，AB=8，BC=3，点E为边AB上的动点， 以EC，ED为邻边构造▱CEDF，连接EF，则EF的最小值为_____.  3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 34 【考点】 平行四边形的性质、垂线段最短. 【解析】 如图，设EF与CD交于点O，过点C作CH⊥AB于点H. 在▱ABCD中，∠B=45°， ∴CH=BC=. ∵四边形ECFD是平行四边形， ∴EO=OF，∴EF=2EO. 当EO⊥AB时，EO有最小值，最小值为， ∴EF的最小值为2EO=3. 故答案为3. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 35 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(8分)(1)计算：-|-2|-(-2 026)0+()-1. (2)先化简，再求值：(-)÷，其中x=1. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 36 【考点】 (1)实数的运算；(2)分式的化简求值. 解：(1)原式=4-2-1+5 =2-1+5 =1+5=6. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 37 (2)原式=÷ =· =3(x+2) =3x+6. …………6分 当x=1时，原式=3×1+6=9. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 38 17.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，一名同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长，交AC的延长线于点D. 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题. (1)求线段BD与AB的数量关系； (2)过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，若AC=2， 求△BDE的面积. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 39 【考点】 尺规作图、直角三角形. 解：(1)在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，∴∠CBE=120°. 由作图可知BD是∠CBE的平分线， ∴∠CBD=∠DBE=∠CBE=60°， ∴∠ABC=∠CBD=60°. 又∵BC⊥AD，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 40 (2)在Rt△ACB中，AC=2，∠A=30°， ∴BC=AC·tan 30°=2×=2，AB==4， ∴BD=4. 又∵∠DEB=90°，∠DBE=60°，∴BE=2，DE=2， ∴S△BDE=BE·DE=2. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 41 18.(8分)【问题背景】 如图1所示的受水型“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，实践小组根据其原理做出了如图2所示的简易计时器. 【实验操作】 实践小组设计了如下实验：先在甲容器里装满水，开始放水后每隔 15 min观察一次乙容器中的水面高度，获得的数据如下表所示： 放水时长t/min 0 15 30 45 60 … 乙容器水面高度h/cm 4 7 10 13 16 … 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 42 【探究发现】 (1)观察乙容器水面高度值的变化规律可知，每隔15 min水面高度变化 量　　　　定值；(填“是”或“不是”)  (2)请利用表格中的数据，求乙容器水面高度h与放水时长t之间的关系 式； 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 43 【解决问题】 (3)求放水1.5 h后乙容器的水面高度(此时水还未溢出)； (4)若乙容器的高度(厚度忽略不计)为40 cm，且甲容器从上午7：00开始放水(此时乙容器中的水面高度为 4 cm)，则乙容器几点可以接满水？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 44 【考点】 一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用. 解：(1)是…………2分 (2)设乙容器水面高度h与放水时长t之间的关系式为h=kt+b. ∵当t=0时，h=4，当t=15时，h=7， ∴解得 ∴h=0.2t+4. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 45 (3)∵1.5 h=90 min， ∴将t=90代入h=0.2t+4得h=0.2×90+4=22. 答：乙容器的水面高度为22 cm. …………6分 (4)当h=40 cm时，得40=0.2t+4， 解得t=180. 180 min=3 h. ∵从上午7：00开始放水， ∴乙容器10：00可以接满水. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 46 19.(10分)综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析. 【收集数据】 随机抽取部分学生的竞赛成绩(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)组成一个样本. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 47 【整理数据】 将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理，如表. 组别 A B C D 成绩x/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 人数 8 m 12 n 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 48 【描述数据】 根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图.   其中C组的样本数据为81，81，83，83，84，85，85，85，86，86，88，89. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 49 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题. (1)填空：m=　　　　，n=　　　　，并补全条形统计图.  (2)C组成绩的众数是　　　　；所有被抽取学生成绩的中位数是　　　　.  (3)若竞赛成绩在85分以上(含85分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的1 200 名学生中成绩为优秀的人数. (4)请你结合本次防溺水安全知识竞赛，写出两条提高学生防溺水安全意识 的合理建议. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 50 【考点】 统计图表的分析. 解：(1)14　16…………2分 补全的条形统计图如下.   …………4分 (2)85　83…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 51 (3)1 200×=552(名). 答：估计该校参加竞赛的1 200名学生中成绩为优秀的人数为552. …………8分 (4)①学校定期开展防溺水主题班会、安全演练，提高学生安全意识. ②家长加强对孩子的监管和安全教育，提醒孩子远离危险水域.(言之 有理即可) …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 52 20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，连接BO，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠OAD=∠ABD. (1)求证：AB为☉O的切线. (2)若AB=10，tan∠BAC=，求AD的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 53 【考点】 切线的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质. (1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，则∠OEB=90°. ∵AD⊥BD，∴∠D=90°=∠ACB. ∵∠AOD=∠BOC，∴∠OBC=∠OAD. ∵∠OAD=∠ABD，∴∠OBC=∠OBE，…………2分 ∴OE=OC. ∵OE⊥AB，且OE是☉O的半径， ∴AB为☉O的切线. …………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 54 【得分要点】 　　 判定切线时，作出正确的辅助线，说明是“半径”或“点在圆上”. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 55 (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=， ∴设BC=3x，则AC=4x，∴AB==5x=10， ∴x=2，∴BC=6，AC=8. …………6分 ∵BE，BC均为☉O的切线，∴BE=BC=6， ∴AE=4. …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 56 在Rt△AEO中，∠AEO=90°，tan∠BAC=， ∴OE=3. 在Rt△BOE中，OB==3. ∵∠ABD=∠OBE，∠D=∠BEO=90°， ∴△ABD∽△OBE， ∴=，即=， ∴AD=2. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 57 21.(9分)阅读下列材料，回答问题. 任务 高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况.这不仅会影响行车的舒适性，还会存在安全隐患.为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 58 任务 高速公路路面形变探测 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测.如图1，探测仪P发出光线PQ，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线QC，其中光线PQ与路面的夹角等于反射光线QC与路面的夹角，均为α，且α始终保持恒定.水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端AB，负责捕捉反射光线QC，借此实现对路面情况的探测 素材2：基准参数 如图1，在基准位置下测得，点P和收集端AB与路面的垂直距离分别为4厘米和5厘米，点P与收集端端点A的水平距离是12厘米，且AC为6厘米，BC为5厘米 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 59 任务 高速公路路面形变探测 素材3：形变探测 如图2，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点C会发生移动，记移动后的反射光线为Q1C1，移动距离为CC1，若路面下沉，点C向右移动；若路面隆起，点C向左移动(向右记为正、向左记为负).通过CC1的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值   1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 60 (1)依据素材2所给的条件，求tan α的值. (2)如图2，设路面下沉了x厘米，CC1的长度为y厘米，请求出y与x的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围. (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点C会超出收集端测量范围，导致无法测量.已知信号收集端AB可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点Q和探测仪P位置不变的情况下，应如何调整收集端AB的长度？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 61 【考点】 解直角三角形的应用. 解：(1)如图1，过点C作CD垂直路面于点D，过点P作 MN⊥DQ交DQ的延长线于点N，交CA的延长线于点M. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 62 由题意得AM=12厘米，AC=6厘米，PN=4厘米，CD=5厘米，DN=12+6=18(厘米)， 设NQ=t厘米，则QD=(18-t)厘米， 由题意知∠PQN=∠CQD=α. ∵∠PNQ=∠CDQ=90°，∴△PQN∽△CQD， ∴=，∴=， 解得t=8， ∴在Rt△PNQ中，tan α===. …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 63 (2)如图2，过点Q1作Q1F⊥QE于点F， 由题意可得CC1∥QE，QC∥EC1， ∴四边形QEC1C为平行四边形， ∴CC1=QE=y. 由题意得∠Q1QE=∠Q1EQ=α，Q1F=x， ∴Q1Q=Q1E，∴QF=EF=y. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 64 由(1)知tan α=， ∴tan α===，∴y=4x. ∵AC=6厘米，BC=5厘米，∴-6≤y≤5， ∴-≤x≤， ∴该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为-≤x≤. …………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 65 (3)由(2)得该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为-≤x≤， ∴为满足道路养护部门需求，调整收集端AB的长度. 如图3.  设将信号收集端AB向右延伸m厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点C恰 好到延伸后的点B处，此时反射光线与地面的交点为E1，QE1的中点为F1. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 66 ∵由题意易证得四边形BCQE1为平行四边形， ∴QE1=BC=(5+m)厘米，∴QF1=QE1=(5+m)厘米. ∵由(1)得，tan α=， ∴tan α===， 解得m=7. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 67 同理，设将信号收集端AB向左延长n厘米，此时隆起3厘米时，反射光线落点C恰好在延长后的点A处. 易证得四边形CAQ2E2为平行四边形， ∴Q2E2=AC=(6+n)厘米， ∴Q2F2=Q2E2=(6+n)厘米， ∴tan α==，解得n=6， ∴需将信号收集端向右延伸7厘米，向左延伸6厘米即可满足道路养护部门需求. …………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 68 22.(11分)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0). (1)若a=2，函数图象经过点(0，-3)和(4，5)，求函数的表达式. (2)若a=1，函数图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<4<x2，求证：4b+c<-16. (3)若函数图象经过点(3，n)，当x≤2时，y≥n+1；当x>2时，y≥n.求a的值. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 69 【考点】 二次函数的性质探究. (1)解：∵a=2，∴y=2x2+bx+c. 将(0，-3)和(4，5)分别代入得 解得 ∴二次函数的表达式为y=2x2-6x-3. …………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 70 【授之以渔】 ——方法指导 用待定系数法求二次函数表达式 　　若已知任意三点坐标，则设一般式； 若已知顶点坐标，则设顶点式； 若已知与x轴交点坐标，则设交点式. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 71 (2)证明：∵a=1， ∴二次函数的图象开口向上. ∵函数图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<4<x2， ∴当x=4时，函数值小于0， 即16+4b+c<0，∴4b+c<-16. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 72 (3)解：∵当x≤2时，y≥n+1，当x>2时，y≥n， ∴抛物线开口向上，∴a>0. ①如图，若对称轴在直线x=2的左侧，即-<2. ∵当x≤2时，y≥n+1，当x>2时，y≥n， ∴当x=-时，y取最小值n+1. ∵n+1>n，∴此时不符合题意. …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 73 ②如图，若对称轴在直线x=2的右侧， ∴当x=2时，y=4a+2b+c=n+1；当x=-时，y取最小值n. ∴-=3，b=-6a. ∵函数图象经过点(3，n)，∴n=9a+3b+c， ∴4a+2b+c-1=9a+3b+c，即5a+b=-1， ∴5a-6a=-1，解得a=1，∴a的值为1. …………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 74 23.(11分)【问题提出】 (1)如图1，在矩形ABCD的边BC上找一点E，将矩形沿直线DE折叠，点C的对应点为C'，再在AB上找一点F，将矩形沿直线DF折叠，使点A的对应点A'落在DC'上，则∠EDF=　　　　.  【问题探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是矩形ABCD边AB上一点，连接PD，PC，将△ADP，△BCP分别沿PD，PC翻折得到△A'DP，△B'CP，当P，A'，B'三点共线时，则称点P为AB边上的“优叠点”，求此时AP的长度. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 75 【问题解决】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AD=4，AD<AB，点E和点F分别是CD和BC边上的动点，运动过程中始终保持DE+BF=4.当点P是AB边上唯一的“优叠点”时，连接PE交BD于点M，连接PF交BD于点N，请问：DM+BN是否能取得最大值？若能，请求出最大值；若不能，请说明理由. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 76 【考点】 四边形的综合. 解：(1)45°…………2分 (2)由题意得∠DPC=∠DPA'+∠CPB'=∠APA'+ ∠BPB'=×180°=90°， ∴∠DPA=90°-∠BPC=∠PCB. 又∵∠A=∠B=90°，∴△ADP∽△BPC， ∴=. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 77 设AP=x，则BP=10-x， ∴=， 解得x1=2，x2=8， ∴AP的长度为2或8. …………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 78 (3)DM+BN能取得最大值. 以CD为直径作☉O，当☉O与AB相切于点P时，点P是AB边上唯一的“优叠点”，连接OP，如图. ∵∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BPO=∠OPA=∠PAD=90°，OD=OC=OP， ∴四边形APOD和四边形BPOC是正方形， ∴DC=AB=2AD=8. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 79 ∵DE+OE=4，DE+BF=4，∴OE=BF. ∵PO=PB=4，∠POE=∠PBF=90°， ∴△POE≌△PBF(SAS)， ∴∠OPE=∠FPB，∴∠EPF=∠OPB=90°. 过点P作PT⊥MN于点T，取MN的中点J，连接PJ，则PJ=MN，∴MN=2PJ. ∵BD===4， ∴DM+BN=4-MN=4-2PJ， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 80 ∴当PJ的值最小时，DM+BN的值最大. ∵PJ≥PT，∴PJ与PT重合时，PJ的值最小，此时DM+BN的值最大为4-2PT. ∵∠PBT=∠DBA，∠PTB=∠DAB=90°， ∴△PTB∽△DAB， ∴==，即=， ∴PT=，∴PJ的最小值为， ∴DM+BN的最大值为4-2×=. …………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 81 【错题反思】   核对完答案后，将错题做重点反思.对应的考点如果还有不明白的地方，可回到《中考备战》《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍. 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T16、T17、T18 再接再厉鼓舞你 T8、T9、T14、T19、T20 伤筋动骨磨炼你 T10、T15、T21、T22 学霸登顶恭喜你 T23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 82 83 $