2 考前诊断卷二-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件系统梳理了实数运算、整式运算、几何图形、统计概率等中考核心考点，严格对接中考说明，分析各模块考查权重，如几何与代数占比约6:4，并按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现备考针对性。 课件特色为“全真模拟+易错突破+一题多解”，通过8套模拟卷强化实战，如整式运算题对比幂的运算法则培养运算能力，统计题结合图表分析数据意识，助力学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升中考冲刺效果。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.-|-7|的倒数是(　　) A.-7 B.7 C.- D. 【考点】 倒数。 【解析】 ∵-|-7|=-7，-7的倒数是-， ∴-|-7|的倒数是-。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 2.下列计算结果是m8的是(　　) A.m4+m4 B.m16÷m2 C.m2·m6 D.(m6)2 【考点】 整式的运算。 【解析】 A.m4+m4=2m4≠m8，不符合题意； B.m16÷m2=m16-2=m14≠m8，不符合题意； C.m2·m6=m2+6=m8，符合题意； D.(m6)2=m6×2=m12≠m8，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 【授之以渔】 ——失分陷阱 混淆幂的运算法则 　　在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方的运算法则。在运用时，牢记以下公式：am·an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 3.如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的俯视图是中心对称图形，则只能取走(　　) A.① B.② C.③ D.④ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 【考点】 三视图的判别、中心对称图形的判别。 【解析】 分别移走标号为①②③④的小正方体后所得新几何体的俯视图如下，   其中只有 　　　　　　是中心对称图形。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 4.如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上。若∠FEC=125°，∠HFB=20°，则∠HFG的度数为(　　) A.15° B.20° C.25° D.35° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 【考点】 平行线的性质。 【解析】 ∵∠FEC=125°，∴∠FED=180°-125°=55°。 ∵AB∥CD，∴∠GFB=∠FED=55°。 ∵∠HFB=20°，∴∠HFG=55°-20°=35°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 5.小乐同学将一组数据准确地代入方差公式： s2=。下列对这组数据的描述正确的是(　　) A.样本容量是6 B.众数是7 C.平均数是6 D.中位数是4.5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 【考点】 方差、平均数、中位数、众数、样本容量。 【解析】 ∵方差的计算公式s2= ， ∴样本数据是9，4，4，2，4，7，按从小到大的顺序排列为2，4，4，4，7，9， ∴样本容量是6，众数是4， 平均数是×(2+4+4+4+7+9)=5， 中位数是4。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 6.某商场在“2026·马年新春”促销活动中，对一款儿童拜年服打折销售。如果每件拜年服按标价的六折出售将亏15元，而按标价的八折出售将赚25元，则每件拜年服的标价是(　　) A.180元 B.200元 C.220元 D.250元 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 【考点】 一元一次方程的实际应用。 【解析】 设每件拜年服的标价是x元。 由题意可得0.6x+15=0.8x-25， 解得x=200， ∴每件拜年服的标价是200元。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 7.下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线OP是∠AOB的平分线的为(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 【考点】 尺规作图。 【解析】 A.根据基本作图可判断射线OP为∠AOB的平分线，不符合题意。 B.由作图痕迹可知∠ACP=∠AOB，CO=CP， ∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，∴∠CPO=∠POB，∴∠POB=∠COP， 即射线OP为∠AOB的平分线，不符合题意。 C.射线OP为AB的垂线，不能判断射线OP是∠AOB的平分线，符合题意。 D.由作图痕迹可知OC=OD，OA=OB。 又∵∠AOD=∠BOC，∴△ADO≌△BCO(SAS)。 易得△ACP≌△BDP(AAS)，△APO≌△BPO(SSS)。 ∴∠AOP=∠BOP，∴射线OP为∠AOB的平分线，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 8.如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF。点P是EF的中点，连接CP，DP。若AE=AF，∠CEF=α，则∠CPD的度数为(　　) A.α+45° B.135°-α C.90°+α D.180°-α 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 【考点】 正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质。 【解析】 【一题多解】解法一：如图，连接AP。 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠BCD=∠ADC=∠ADF=90°， AB=AD=CD，AD∥BC。 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 ∴∠BAE=∠DAF。 ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°。 ∵点P为EF的中点，∴AP=EF。 ∵∠ECF=90°，点P为EF的中点， ∴CP=PE=EF，∴AP=CP，∠PCE=∠PEC=α。 在△APD和△CPD中， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 ∴△APD≌△CPD(SSS)， ∴∠ADP=∠CDP。 ∵∠ADC=90°，∴∠CDP=45°。 ∵∠PCD=∠ECD-∠PCE=90°-α， ∴∠CPD=180°-∠CDP-∠PCD=180°-45°-(90°-α)=α+45°. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 解法二： 如图，连接AP。 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠BCD=∠ADC=∠ADF=90°， AB=AD=CD，AD∥BC。 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)， ∴∠BAE=∠DAF。 ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 ∵点P为EF的中点，∴AP=EF，∠APE=90°。 ∵∠ECF=90°，点P为EF的中点， ∴CP=PE=EF，∴AP=CP，∠PEC=∠PCE=α， ∴∠CPE=180°-2α。 在△APD和△CPD中， ∴△APD≌△CPD(SSS)，∴∠CPD=∠APD。 ∴∠CPD=∠APD=(360°-∠APE-∠EPC)=α+45°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)与x轴交于点(4，0)，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②3a+c<0；③若点M(-3，y1)，N(3，y2)是抛物线上的点，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，则a>。其中所有正确结论的序号为(　　) A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 【考点】 二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系。 【解析】 ①由题图可知a>0，->0，∴b<0。 ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c<0，∴abc>0，故①正确，符合题意。 ②∵对称轴为直线x=1， ∴-=1，(4，0)的对称点为(-2，0)，∴b=-2a， 当x=-1时，y=a-b+c=3a+c<0，故②正确，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 ③∵抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大。 点M(-3，y1)到对称轴的距离为1-(-3)=4， 点N(3，y2)到对称轴的距离为3-1=2。 ∵4>2，∴y1>y2，故③正确，符合题意。 ④当x=4时，y=16a+4b+c=8a+c=0，∴c=-8a。 当x=1时，y=a+b+c=-9a， 当a-5<-9a时，一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根， ∴a<，∴0<a<，故④错误，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 10.如图，△ABC中，AD1=AB，D1D2=D1B，D2D3=D2B，…照这样继 续下去，D2 025D2 026=D2 025B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D3E3∥BC，…， D2 026E2 026∥BC，则 的值为(　　) A.1-()2 025 B.1-()2 026 C.()2 026 D.()2 027 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 【考点】 图形规律的探索、相似三角形的判定与性质。 【解析】 ∵AD1=AB，∴==1-。 ∵D1B =AB-AD1 = AB-AB=AB， D1D2=D1B， ∴D1D2= ×AB=AB， ∴AD2=AD1+D1D2=AB+AB=AB+AB=AB， ∴=1-()2，∴=1-()n。 ∵D2 026E2 026∥BC，∴△AD2 026E2 026∽△ABC，∴==1-()2 026。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.国家统计局 2026年1月19日发布官方数据，2025年全年全国出生人口 为792万人，将数据792万用科学记数法表示为__________。  7.92×106 【考点】 用科学记数法表示带单位的大数。 【解析】 792万=7 920 000=7.92×106。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 12.无理数的整数部分是___。  5 【考点】 无理数的估算。 【解析】 ∵5<<6，∴的整数部分是5。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 13.若关于x的不等式(2m-1)x<2m-1的解集为x>1，则m的取值范围是 _____。  m< 【考点】 解一元一次不等式。 【解析】 ∵不等式(2m-1)x<2m-1的解集为x>1， ∴2m-1<0，解得m<。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 14.如图，正五边形ABCDE的边长为2，以点B为圆心，以AB的长为半径 作。若用扇形ABC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 【考点】 正多边形与圆、与圆锥有关的计算。 【解析】 设该圆锥的底面半径为r。 由题意得∠B==108°， 则2πr=， ∴r=，∴该圆锥的底面半径为。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 15.如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，点E是AD边的中点，点F是射 线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A'EF，连接A'C， 则A'C的最小值为。  -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 【考点】 图形的折叠、勾股定理、矩形的性质。 【解析】 当点F在射线AB上移动时，点A'的运动路径为以点E为圆心，AE长为半径的半圆(点A'不与点D重合)。 如图所示，当点A'，C，E三点共线时，A'C的长度最小。 ∵在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，点E是AD边的中点， ∴DE=AE=1，CD=4， ∴Rt△CDE中，CE===。 又∵A'E=AE=AD=1，∴A'C=CE-A'E=-1， 即A'C的最小值为-1。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 16.如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以1 cm/s 的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以1 cm/s的速度沿 A→B匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。 图2是△BEF的面积S(cm2)随时间t(s)变化的函数图象(图中MN为线段)， 当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为______s。  1或 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 【考点】 动点问题的函数图象。 【解析】 当t=3时，点F与点C重合，当3<t≤5时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动， ∴CD=AB=1×5=5(cm)，BC=1×3=3(cm)。 ∵BC⊥BD，∴∠CBD=90°， ∴BD===4(cm)。 当0<t≤3时，如图，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G=∠CBD=90°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 ∵AB∥CD，∴∠GBF=∠C， ∴△BGF∽△CBD，∴=， ∴=，∴GF=t， ∴S=×t×(5-t)=-t2+2t， 当S=时，-t2+2t=， 解得t=1或t=4(舍去)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 当3<t≤5时，如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H。 ∵CD·CH=BC·BD， ∴×5CH=×3×4， ∴CH= cm，∴S=××(5-t)=-t+6， 当S=时，-t+6=，解得t=。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 【得分要点】 　　分段求出面积S与运动时间t的函数关系式之后，根据S的值求出t的值，注意判断自变量t是否在该段的取值范围内。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：(-m-1)÷，其中一组数据1，3，5，m的极差为6。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 【考点】 分式的化简求值。 解：原式=[-]· =· =·=。…………2分 由极差为6得m=-1或7。…………3分 ∵m≠-1，3，∴m=7。…………4分 当m=7时，原式==1。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 18.(本题满分7分) 2026年1月19日，长征十二号运载火箭在海南商业航天发射场成功将卫星互联网低轨19组卫星送入预定轨道，标志着我国商业航天发展再获突破。某校航天兴趣小组为调查学生对中国航天最新成果的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组(所有得分均大于等于50分)，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图。 (1)m=________，n=________，补全频数分布直方图；  (2)在扇形统计图中，“70～80”这组的扇形圆心角为________；  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 (3)测试结束后，九年级二班从本班获得优秀(测试成绩≥80分)的甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名宣讲中国航天最新成果的有关知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 【考点】 统计图表的分析、用列表法或画树状图法求概率。 解：(1)16　50…………2分 补全的频数分布直方图如图所示。   …………3分 (2)72°…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 (3)画树状图如下。   由图可知共有6种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为=。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 【命题特点】 烟台市中考数学统计与概率题常通过结合图表的信息求解问题 考查点： ①平均数、中位数、众数等的相关计算。 ②补全统计图。 ③用样本估计总体。 ④用列表法或画树状图法求概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 考查形式： 统计图的分析与数据分析、样本估计总体以及用列表法或画树状图法求概率等综合考查，近年常设立3问，分数为7分或8分，题位比较固定，难度中等。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 19.(本题满分7分) 烟台蓬莱阁是“全国重点文物保护单位”，其独特的丹崖山巅建筑风格享誉全国。某兴趣小组利用测角仪、无人机开展“测量蓬莱阁主体建筑的高度”的实践活动，报告如下： 课题 测量蓬莱阁主体建筑的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图   1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 (1)求无人机从点B到点C的飞行距离； (2)求蓬莱阁主体建筑DE的高度。 测量过程 如图，测量小组使无人机在点A处以6 m/s的速度竖直上升5 s至点B处，在点B处测得蓬莱阁主体建筑最高点D的俯角为26.6°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得蓬莱阁主体建筑最高点D的俯角为45°，点A的俯角为63.4° 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE。结果精确到1 m(参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 【考点】 解直角三角形的实际应用。 解：(1)由题意可知AB=6×5=30(m)。 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=63.4°， ∴BC=≈=15(m)。 答：无人机从点B到点C的飞行距离约为15 m。 …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 (2)如图，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形， ∴EF=AB=30 m。 设DE=x m， 则DF=(30-x)m。 在Rt△DFC中，∠FCD=45°， ∴FC=DF=(30-x)m，∴BF=CF+BC=(45-x)m。…………5分 ∵在Rt△BFD中，∠FBD=26.6°， tan∠FBD=，∴DF=BF·tan∠FBD，即30-x≈(45-x)×0.50，解得x=15， ∴DE=15 m。 答：蓬莱阁主体建筑DE的高度约为15 m。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 20.(本题满分8分) 烟台大樱桃享誉全国，本地某大樱桃专业合作社加工制作樱桃果干，投入市场销售。该樱桃果干的进价为60元/袋，经市场调研发现，在烟台本地及周边城市的销售中，其售价x(元/袋)与日销量y(袋)满足一次函数关系y=-3x+360。 (1)求日销售利润W(元)与售价x(元/袋)的函数关系式。(不要求写x的取值范围) (2)在确保盈利的前提下，日销售利润能否达到2 400元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 【考点】 二次函数的实际应用。 解：(1)∵进价为60元/袋，y=-3x+360， ∴W=(x-60)(-3x+360)=-3x2+540x-21 600， ∴日销售利润W(元)与售价x(元/袋)的函数关系式为W=-3x2+540x-21 600。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 (2)令W=2 400得-3x2+540x-21 600=2 400， 解得x1=100，x2=80。…………5分 当-3x+360>0时，x<120。 ∵60<100<120，60<80<120，均满足盈利条件， ∴日销售利润能达到2 400元，此时的售价为80元/袋或100元/袋。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 【得分要点】 　　在实际应用题中，解一元二次方程求得的根，需根据题意进行检验，不符合题意的根要舍去。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 21.(本题满分9分) 如图，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=(x>0) 的图象交于点A(6，2)，将直线OA向下平移3个单位长 度交y轴于点B，交x轴于点D，交反比例函数的图象于 点C，连接AC，AB。 (1)求正比例函数及反比例函数的表达式； (2)求△ABC的面积。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 【考点】 一次函数与反比例函数的综合。 解：(1)∵正比例函数y=k1x的图象过点A(6，2)， ∴6k1=2，解得k1=， ∴正比例函数的表达式为y=x。…………2分 ∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A(6，2)， ∴=2，解得k2=12， ∴反比例函数的表达式为y=。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 (2)如图，连接OC。 ∵将直线OA向下平移3个单位长度交y轴于点B， ∴OB=3，BC所在直线的表达式为y=x-3。…………5分 联立解得或(舍去) ∴C(12，1)。…………7分 ∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=OB·xC=×3×12=18。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 22.(本题满分10分) 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=α，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE。 (1)【探索发现】如图1，当点D在线段BC上，且α=90°时，试猜想： ①AF与BE之间的数量关系为________；  ②∠ABE=________。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 (2)【拓展探究】 如图2，当点D在线段BC上，且0°<α<90°时，判断AF与BE之间的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由。 (3)【解决问题】 如图3，在△ABC中，AC=BC，AB=4，∠ACB=α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE。当BD=3CD时，求BE的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 【考点】 三角形的综合。 解：(1)①AF=BE…………2分 ②90°…………4分 (2)AF=BE，∠ABE=α。理由如下： ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠ACB=α，∠DFB=∠CAB。 ∵AC=BC，∴∠ABC=∠CAB， ∴∠ABC=∠DFB，∴DB=DF。 ∵∠ADF=∠ADE-∠FDE，∠EDB=∠FDB-∠FDE， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 ∴∠ADF=∠EDB。…………5分 ∵AD=DE，∠ADF=∠EDB，DF=DB， ∴△ADF≌△EDB(SAS)， ∴AF=BE，∠AFD=∠EBD。 ∵∠AFD=∠ABC+∠FDB，∠DBE=∠ABD+∠ABE， ∴∠ABE=∠FDB=α。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 (3)①如图，当点D在BC上时。 由(2)可知BE=AF。 ∵BD=3CD，∴=。 ∵DF∥AC，∴==。 ∵AB=4，∴AF=1，∴BE=AF=1。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 ②如图，当点D在BC的延长线上时。 ∵BD=3CD，∴=。 ∵AC∥DF， ∴==。 ∵AB=4， ∴AF=2， ∴BE=AF=2。 综上所述，BE的长为1或2。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 23.(本题满分11分) 如图，☉O是△ABC的外接圆，BC为☉O的直径，点I为 △ABC的内心，连接AI并延长交☉O于点D，连接BD并 延长至点E，使点D为BE的中点，连接CE，BI。 (1)求证：∠DBI=∠DIB。 (2)求证：直线CE为☉O的切线。 (3)若tan∠ADB=，BC=10，求AD的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 【考点】 三角形的外接圆与内切圆、圆周角定理、切线的判定与性质、锐角三角函数。 (1)证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAI=∠CAI，∠IBA=∠IBC。 ∵∠DIB=∠BAI+∠IBA，∠DBI=∠IBC+∠DBC， ∠DBC=∠IAC， ∴∠DBI=∠DIB。…………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 (2)证明：如图，连接CD。 ∵∠CAI=∠BAI，∴CD=BD。 又∵BD=DE，∴CD=DB=DE，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE。 ∵BC为☉O的直径， ∴直线CE为☉O的切线。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 (3)解：∵BC为☉O的直径，∴∠BAC=90°。 在Rt△ABC中，BC=10，∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=， ∴tan∠ACB=tan∠ADB=， ∴AB=8，AC=6。…………7分 如图，过点I作IH⊥AC于点H。 易知Rt△ABC内切圆的半径IH=2， 在Rt△AIH中，∠CAD=∠BAC=45°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 ∴AI=IH=2。…………9分 易知△BDC为等腰直角三角形，BC=10，∴BD=5。 ∵∠DBI=∠DIB， ∴DI=BD=5，∴AD=DI+AI=7。…………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 【回归教材】 　　此题根据鲁教版九年级下册数学教材42页【数学理解】的习题改编而来。借助三角形的外接圆考查圆的基本性质。在复习过程中，必须重视教材，把教材中的知识点串联起来，融会贯通。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 24.(本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(2，0)，B(-4，0)两点，与y轴交于点C。 (1)求抛物线的表达式。 (2)若E为第二象限的抛物线上的点，连接BC，BE，CE，求出S△BCE的最大值及此时点E的坐标。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 (3)M为平面内一点，将抛物线绕点M旋转180°后得到新的抛物线，且新的抛物线经过点A，若新抛物线上有一点P，使△BCP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)将A(2，0)，B(-4，0)分别代入y=ax2+bx+2 得解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 (2)如图，过点E作EN⊥x轴交BC于点N。 易知点C的坐标为(0，2)。 设线段BC所在直线的表达式为 y=kx+t， 将B(-4，0)，C(0，2)分别代入 得解得 ∴线段BC所在直线的表达式为y=x+2。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 设E(m，-m2-m+2)，则N(m，m+2)， ∴EN=-m2-m+2-(m+2)=-m2-m+2-m-2=-m2-m， ∴S△BCE=EN·OB=×(-m2-m)×4=-m2-2m=-(m+2)2+2。…………7分 ∵-4<m<0，-<0， ∴当m=-2时，S△BCE最大，最大值为2，此时点E的坐标为(-2，2)。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 76 (3)点M的坐标为(-，-)或(-1，0)。…………14分 提示：①当点P在x轴的下方时，如图，过点P1作P1D⊥x轴于点D。 设原抛物线y=-x2-x+2的顶点为G，则点G的坐标为(-1，)。 ∵△P1BC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴BC=P1B，∠P1BC=90°， ∴∠CBO+∠OCB=∠OBC+∠P1BD=90°， ∴∠OCB=∠P1BD。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 77 ∵∠BOC=∠P1DB=90°， ∴△BOC≌△P1DB(AAS)， ∴P1D=OB=4，BD=OC=2， ∴OD=4-2=2， ∴点P1的坐标为(-2，-4)。 ∵新抛物线是由抛物线y=-x2-x+2绕点M旋转180°后得到的， ∴设新抛物线的表达式为y=x2+b1x+c1， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 78 将P1(-2，-4)和A(2，0)分别代入 得解得 ∴新抛物线的表达式为y=x2+x-3=(x+2)2-4， 此时点P1为新抛物线的顶点。 连接GP1，则点M是线段GP1的中点， ∴点M的坐标为(-，-)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 79 ②当点P在x轴的上方时，如图，过点P2作P2F⊥x轴于点F。 同理得△P2FB≌△BOC(AAS)， ∴P2F=OB=4，BF=OC=2， ∴点P2的坐标为(-6，4)。 同理可得新抛物线的表达式为y=x2+x-2=(x+1)2-， ∴新抛物线顶点H的坐标为(-1，-)。 连接GH，则点M是线段GH的中点， ∴点M的坐标为(-1，0)。 综上所述，点M的坐标为(-，-)或(-1，0)。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 80 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T14、T17、T18、T19 再接再厉鼓舞你 T8、T15、T20、T21、T23(1)、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T9、T22、T23(2) 学霸登顶恭喜你 T10、T16、T23(3)、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 81 82 $