1 考前诊断卷一-【智乐星中考】2026年烟台市初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件系统梳理中考核心考点，涵盖数与式、函数、几何、统计等模块，严格对接中考说明，通过真题解析分析各考点权重，归纳选择、填空、解答题常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点是“真题训练+技巧点拨”模式，如动点函数图象题用“特殊点分析法”培养数学思维，阴影面积计算总结割补法提升几何直观，助力学生掌握解题策略，教师可依此制定冲刺计划，确保复习效果最大化。

2026烟台 数学 1 2 2026年烟台市初中学业水平考试 数　学　试　题 3 　　注意事项： 　　1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 　　2.答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 　　3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 　　4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 　　5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 　　6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 4 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的) 1.下列各数中，是无理数的是(　　) A. B. C. D.3. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 5 【考点】 无理数。 【解析】 A.是分数，不是无理数，不符合题意； B.=2是整数，不是无理数，不符合题意； C.是无理数，符合题意； D.3.是无限循环小数，不是无理数，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 6 2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 7 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别。 【解析】 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 8 【授之以渔】 ——解题关键 　　轴对称图形的特征是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形的特征是绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形完全重合。同时符合这两个特征即可。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 9 3.下列整式运算正确的是(　　) A.4a+2b=6ab B.a3·a4=a12 C.(-a2b)3=a6b3 D.-2a3÷a2=-2a 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 10 【考点】 整式的运算。 【解析】 A.4a与2b不是同类项，无法合并，不符合题意； B.a3·a4=a7，不符合题意； C.(-a2b)3=-a6b3，不符合题意； D.-2a3÷a2=-2a，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 11 4.如图是一个正六角螺母，其主视图轮廓是一个正六边形，中间是一个圆，那么它的俯视图为(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 12 【考点】 简单几何体的三视图。 【解析】 该几何体的俯视图为 　　　　　　。 【授之以渔】 ——失分陷阱 ①分不清主视图、左视图与俯视图的区别。 ②忽略看得见的线用实线，看不见的线用虚线。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 13 5.数轴上表示数a，b，c的点如图所示，下列结论中正确的是(　　)   A.|a|<|b| B.-3a<-3b C.b>c D.a+c<0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 14 【考点】 数轴。 【解析】 观察数轴可知-4<a<-3<0<b<1，2<c<3， ∴|a|>|c|>|b|，故A选项结论错误，不符合题意。 ∵a<0<b，即a<b，∴-3a>-3b，故B选项结论错误，不符合题意。 ∵0<b<1，2<c<3，∴b<c，故C选项结论错误，不符合题意。 ∵a<0<c，且|a|>|c|，∴a+c<0，故D选项结论正确，符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 15 6.已知甲、乙两人10次投掷实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差的描述正确的是(　　)   A.> B.= C.< D.无法确定 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 16 【考点】 方差。 【解析】 根据题图得乙的成绩更集中，∴>。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 17 7.《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱。三年共得100钱。问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为(　　) A.++=1 B.3x+4x+5x=1 C.++=100 D.3x+4x+5x=100 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 18 【考点】 由实际问题抽象出一元一次方程。 【解析】 根据题意得++=100。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 19 8.如图，菱形ABCO中，BC=10，点B(m，8)，对角线AC与BO交于点D，反比例函数y=(x<0)的图象经过点D，则k的值为(　　) A.-4 B.-2 C.-8 D.4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 20 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质。 【解析】 如图，过点B作BE⊥OA于点E。 由条件可知BC=OA=10，BE=8，OE=-m， ∴AE=OA-OE=10-(-m)=10+m。 ∵四边形ABCO为菱形，∴AB=BC=10。 ∵∠AEB=90°，∴AE=6，∴10+m=6， 解得m=-4，∴B(-4，8)。 ∵对角线AC与BO交于点D， ∴点D为BO的中点，∴D(-2，4)。 ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点D，∴k=-8。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 21 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-1)。已知点A在(-4，0)与(-3，0)之间(不包含这两点)，抛物线的顶点为D，对称轴是直线x=-2，有以下结论：①abc<0；②4c<；③对于任意实数n，都有an2+bn-4a+2b≥0；④若a=-1，则△ABD是等边三角形。其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 22 【考点】 二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等边三角形的判定与性质。 【解析】 ∵二次函数图象的开口向下，∴a<0。 ∵二次函数图象与y轴的交点为C(0，-1)，∴c=-1。 ∵抛物线的对称轴为直线x=-2， ∴-=-2，∴b=4a<0，∴abc<0，∴①符合题意。 由题图可知抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0。 ∵a<0，∴4c>，∴②不符合题意。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 23 ∵当x=-2时，y=4a-2b+c最大；当x=n时，y=an2+bn+c， ∴4a-2b+c≥an2+bn+c，∴an2+bn-4a+2b≤0，∴③不符合题意。 当a=-1时，抛物线的表达式为y=-(x+2)2+3，∴D(-2，3)。 当y=0时，有-(x+2)2+3=0， 解得x1=--2，x2=-2， ∴A(--2，0)，B(-2，0)，∴AB=2。 又∵D(-2，3)，∴AD=2，BD=2， ∴AD=BD=AB，∴△ABD是等边三角形， ∴④符合题意，∴符合题意的有①④，共2个结论。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 24 10.如图1，在△ABC中，∠C=60°，BD=DC，点P从△ABC的顶点A出发，沿路线A→C→D以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则AB的长为(　　)   A.3 B. C.6 D.3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 25 【考点】 动点函数图象的分析。 【解析】 由函数图象可知，当x=0时，y=3；当x=时，y最小； 当x=6时，y=0。∴AD=3，AC+CD=6。 如图，过点D作DP⊥AC，则∠APD=∠CPD=90°， 此时，DP的长度最短， ∴AP=，∴AD=2AP， DP===， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 26 ∴∠ADP=30°，∠DAP=60°。 ∵∠C=60°，∴△ADC是等边三角形， ∴点P是AC的中点。 ∵BD=DC，∴DP是△ABC的中位线， ∴AB=2DP=2×=3。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 27 【授之以渔】 ——方法指导 　　解函数图象分析题重点关注特殊点，即与坐标轴的交点或拐点。特殊点处说明图象中具体的对象在此处的某一数据相同或在此处将发生变化，常为解题的突破口。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 28 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 11.若有意义，则x的取值范围为__________。  x≥4且x≠6 【考点】 分式、二次根式有意义的条件。 【解析】 根据已知得x-4≥0且x-6≠0， 解得x≥4且x≠6。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 29 12.如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管 路中传递力和能量。图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座 CD平行，等长的支架AD，BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC。若 ∠GFD=74°，则∠BAE的度数为______。  53° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 30 【考点】 平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质。 【解析】 ∵FG∥BC，∠GFD=74°，∴∠CED=∠GFD=74°， ∴∠AEB=∠CED=74°。 又∵AD=BC，且点E为AD，BC的中点， ∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE=(180°-∠AEB)=53°。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 31 13.若m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则2m2-3m+n+2 026的值为 ______。  2 030 【考点】 一元二次方程根与系数的关系。 【解析】 由条件可知m2-2m-1=0，m+n=2，∴m2=2m+1， ∴2m2-3m+n+2 026=2(2m+1)-3m+n+2 026=m+n+2+2 026=2 030。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 32 14.如图，点O是边长为2的正六边形的中心，以OA为半径的扇形的圆心 角∠AOB=60°，OA=，则阴影部分的面积为。  - 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 33 【考点】 正多边形与圆、扇形面积的计算。 【解析】 如图，记图中正六边形的边为CD，连接OC，OD，过点O作OE⊥CD于点E， 易得∠COD=60°，OC=OD=CD=2，OE=。 ∵∠AOB=60°=∠COM+∠CON， ∠COD=60°=∠DON+∠CON， ∴∠COM=∠DON。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 34 ∵∠OCM=∠ODN，OC=OD， ∴△COM≌△DON(ASA)， ∴=S△COD， ∴S阴影=-=-S△COD= -×2×=-。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 35 【授之以渔】 ——方法指导 求不规则图形面积的方法 ①割补法：把阴影图形的一部分割下来，放到其他位置，使整个阴影图形组成规则的图形。 ②和差法：求不规则阴影面积时，可利用n个规则图形面积的和差关系来计算。 　　在计算不规则图形的面积中，易出错的是不会利用割补法把不规则的图形转化为规则的图形。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 36 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以 原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延 长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4；延长A4C3交射 线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5；…若OA1=2，则正方形 A2 026B2 026C2 026A2 027的面积是______。  24 052 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 37 【考点】 位似变换、点的坐标规律的探索。 【解析】 ∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=。 ∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2， ∴△OA1B1∽△OA2B2，∴==。 ∵OA1=2，∴OA2=4，∴A1B1=OA1=2。 ∵四边形A2B2C2A3是正方形， ∴OA3=OA2+A2 A3=OA2+A2B2=8。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 38 同理可得△OA2B2∽△OA3B3， ∴===， ∴A3B3=8。 易得正方形A1B1C1A2的面积为22， 正方形A2B2C2A3的面积为42=(22)2=24， 正方形A3B3C3A4的面积为82=(23)2=26， …… ∴正方形A2 026B2 026C2 026A2 027的面积是(22 026)2=24 052。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 39 16.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是AB边上的动点， 过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的 运动路径长为。  π 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 40 【考点】 弧长的计算、菱形的性质。 【解析】 如图，取BC的中点O，连接AC，BD交于点M，连接OM。 ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴AC⊥BD，AM=CM，∠ABC=60°。 当点E与点A重合时，点F与AC的中点M重合。 ∵∠CFB=90°，∴点F的运动轨迹是以BC为直径的圆弧BM。 ∵点O是BC的中点，AM=CM， ∴BO=OM=1，OM∥AB，∴∠BOM=120°， ∴的长==π。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 41 三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：(-x-1)÷，然后再从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 42 【考点】 分式的化简求值。 解：原式=(-x-1)· =[-]· =· =·=。…………4分 ∵-2<x<2，∴整数 x 的值为-1，0，1。 又∵x≠-1且x≠1，∴x=0，∴原式==-1。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 43 【授之以渔】 ——失分陷阱 　　对于分式的化简求值，在给定范围内随便选择一个整数代入求值时，需要注意分式有意义的条件。先根据分式化简过程中出现的分母都不为0，排除一些不能代入的数值，再代入符合题意的数值进行计算即可避免丢分。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 44 18.(本题满分7分) 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质。现对七、八年级学生进行体育测试，从中随机抽取了部分学生的成绩(成绩用x表示，单位：分)，并对抽取的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①七年级的平均成绩为=8.3(分)； ②测试成绩为7分的人数在此次调查抽取的学生中的占比为20%； ③将两个年级的测试成绩绘制成如下不完整的统计图。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 45 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)若该校八年级共500名学生，请估计八年级体育测试成绩达到9分及以上的学生人数； (3)若七年级和八年级的测试成绩为10分的学生中 各有2名学生报名市区的运动比赛，学校打算从这 4名学生中挑选2名参赛，请用列表法或画树状图 法求所抽取的2名学生恰好一人来自七年级、另 一人来自八年级的概率。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 46 【考点】 条形统计图、用列表法或画树状图法求概率、用样本估计总体。 解：(1)补全的条形统计图如图所示。   …………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 47 (2)500×=175(人)。 答：估计八年级体育测试成绩达到9分及以上的学生人数为175。 …………4分 (3)将七年级的2名学生分别记为a，b，将八年级的2名学生分别记为c， d，列表如下。 第1名学生 第2名学生 a b c d a — (a，b) (a，c) (a，d) b (b，a) — (b，c) (b，d) c (c，a) (c，b) — (c，d) d (d，a) (d，b) (d，c) — 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 48 由表可知共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好一人来自七年级，另一人来自八年级的结果有8种， ∴所抽取的2名学生恰好一人来自七年级，另一人来自八年级的概率为=。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 49 19.(本题满分7分) 如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE=AD。 (1)在线段CD上求作一点F，使∠CFE=∠AEB(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若AB=8，AD=10，求线段DF的长。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 50 【考点】 尺规作图、矩形的性质。 解：(1)点F即为所求。   …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 51 (2)如图，连接AF。 ∵∠BAE=∠FEC，∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠FEC+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°。…………4分 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠AEF=90°。 ∵AE=AD，AF=AF， ∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)，∴EF=DF。…………6分 ∵AB=8，AD=10， ∴在Rt△ABE中，BE===6， ∴EC=BC-BE=10-6=4。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 52 设CF=x，则EF=DF=CD-CF=8-x。 ∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2， ∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，∴DF=8-x=8-3=5， ∴线段DF的长为5。…………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 53 20.(本题满分8分) 2月4日上午，2026山东省“海洋大集”新春季暨“我们的中国梦——文化进万家”活动在烟台国际博览中心开幕，现场的非遗手作展区，吸引了不少市民朋友的围观驻足。某莱州状元毛笔展位推出A，B两种毛笔，已知该展位老板购进3支A种毛笔和1支B种毛笔一共需要225元；购进1支A种毛笔和2支B种毛笔一共需要150元。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 54 (1)求A，B两种毛笔的进货单价。 (2)该展位老板购进两种毛笔共200支，且A种毛笔的数量不少于B种毛笔数量的一半。若每支A种毛笔的售价为80元，每支B种毛笔的售价为68元，则购进多少支A种毛笔时，销售这批毛笔的利润最大？最大利润是多少元？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 55 【考点】 二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用。 解：(1)设A种毛笔的进货单价为x元，B种毛笔的进货单价为y元。 由题意得解得…………2分 答：A种毛笔的进货单价为60元，B种毛笔的进货单价为45元。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 56 (2)设购进m支A种毛笔，则购进(200-m)支B种毛笔。 由题意得m≥(200-m)，解得m≥。…………6分 设利润为w元。由题意得 w=(80-60)m+(68-45)(200-m)=-3m+4 600。 ∵-3<0，∴w随m的增大而减小， ∴当m=67时，利润w最大，最大值为-3×67+4 600=4 399。 答：当购进67支A种毛笔时，销售这批毛笔的利润最大，最大利润是 4 399元。…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 57 21.(本题满分9分) 【综合与实践】 在学习了解直角三角形的知识后，某活动小组开展利用锐角三角函数解决实际问题的综合实践活动，活动的课题是“测量和计算校园内M，N，P，Q四栋楼之间相关距离及方位角”，从而将课堂理论知识与测量思路相结合，实现学以致用。活动小组成员携带经纬仪、测距仪等专业测量工具，开展测量工作并记录相关数据。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 58 【实践操作】 第一步：利用测距仪测量可以直达的两栋楼之间的距离。 第二步：利用经纬仪测量相关的方位角。 【测量数据】 N楼在M楼的正东方向，Q楼在M楼的正北方向且在P楼的北偏西60°方向，P楼在M楼的北偏东30°方向且在N楼的北偏西15°方向，MN=200米。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 59 【问题解决】 根据以上实践操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求N，P两栋楼之间的距离；(结果保留根号) (2)求Q，M两栋楼之间的距离。(结果精确到0.1米。参考数据： ≈1.414，≈1.732，≈2.449) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 60 【考点】 解直角三角形的实际应用——方向角问题。 解：(1)如图，过点N作NE⊥MP于点E。 ∵∠PMN=90°-30°=60°，∠MNP=90°-15°=75°， ∴∠MPN=180°-∠PMN-∠MNP=45°。…………2分 ∵在Rt△MNE中，∠MEN=90°，MN=200米，∠EMN=60°， ∴NE=MN·sin∠EMN=200×=100(米)， ∴在Rt△NPE中，NP===100(米)。 答：N，P两栋楼之间的距离为100米。…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 61 (2)如图。 ∵在Rt△MNE中，∠NME=60°， ∴ME=MN·cos∠NME=200×cos 60°=100(米)。 由(1)易得△PEN为等腰直角三角形， ∴PE=NE=100米， ∴MP=ME+PE=(100+100)米。…………6分 由题意得∠Q=60°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 62 ∴∠QPM=180°-30°-60°=90°，即△QPM为直角三角形， ∴QM===+200≈315.5(米)。 …………8分 答：Q，M两栋楼之间的距离约为315.5米。…………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 63 22.(本题满分10分) 如图，E为正方形ABCD的边BC上的一点，☉O是△ABE的外接圆，与AD交于点F，G是CD上一点，且∠DGF=∠AEB。 (1)求证：FG是☉O的切线。 (2)若AB=8，DG=2，求☉O的半径。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 64 【考点】 正方形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理。 (1)证明：如图，连接OF。 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABE=90°， ∴∠DGF+∠DFG=∠AEB+∠BAE。 ∵∠DGF=∠AEB，∴∠DFG=∠BAE。…………2分 ∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA。 ∵∠BAE+∠OAF=90°，∴∠DFG+∠OFA=90°， ∴∠OFG=90°，即OF⊥FG。…………4分 ∵OF是☉O的半径，∴FG是☉O的切线。…………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 65 (2)解：如图，连接EF。 ∵AE为☉O的直径，∴∠AFE=90°。 ∵∠FAB=∠ABE=90°，∴四边形ABEF为矩形，∴AF=BE。 ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=8， 设BE=x，则AF=x，∴DF=AD-AF=8-x。 ∵∠DGF=∠AEB，∠D=∠ABE=90°， ∴△FDG∽△ABE，…………8分 ∴=，即=，解得x=4。 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE==4， ∴☉O的半径为2。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 66 23.(本题满分11分) 【问题情境】 烟台某中学数学社团结合本地海洋牧场研学活动和园艺博览会布景设计，开展几何实践探究，以下是三个任务： (1)渔具卡槽测量探究 如图1，将一种等腰直角三角板状的渔具配件(AB=BC，∠ABC=90°)放入一个“U”形卡槽中固定，三角板的三个顶点A，C，B分别在槽的两壁及底边上，已知卡槽两壁与底边垂直(∠D=∠E=90°)。在滑动配件的过程中，线段AD与BE的数量关系为________。  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 67 【类比探究】 (2)船舶零件结构探究 如图2，烟台某船舶制造厂生产的零件截面示意图为四边形ABCD，点M是线段BC上的焊接点，经测量满足∠B=∠AMD，MA=MD，BC=BA+BM，试说明该零件截面图中线段BM与CD的数量关系，并证明。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 68 【拓展延伸】 (3)园博园花圃设计探究 如图3，烟台园艺博览会有一块等腰三角形花圃ABC，其中BA=BC，∠B=45°，园艺师计划在边BC，AB上分别设置动点D，F，且满足BF+BD=CD。现以DF为腰向右作等腰三角形DEF，使得DE=DF，∠EDF=45°，连接CE，求∠ACE的度数。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 69 【考点】 三角形的综合。 解：(1)AD=BE …………2分 (2)BM=CD。 证明如下：∵∠AMC=∠B+∠BAM=∠AMD+∠DMC， 且∠B=∠AMD，∴∠BAM=∠DMC。 又∵BC=BM+CM=BA+BM，∴BA=CM。…………4分 在△ABM和△MCD中， ∴△ABM≌△MCD(SAS)，∴BM=CD。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 70 (3)如图，在BC上取点G，使DG=BF，连接EG。 ∵∠EDF=45°，∠B=45°， ∴∠B=∠EDF。 ∵∠CDF=∠EDG+∠EDF=∠B+∠BFD， ∴∠EDG=∠BFD。 ∵DE=FD，DG=FB， ∴△GED≌△BDF(SAS)， ∴EG=DB，∠EGD=∠B=45°。…………8分 ∵BF+BD=CD=DG+CG，∴BD=CG， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 71 ∴EG=CG，∴∠CEG=∠ECG。 ∵∠CEG+∠ECG=∠DGE=45°， ∴∠CEG=∠ECG=×45°=22.5°。 ∵AB=BC，∠B=45°， ∴∠ACB=∠BAC= ×(180°-45°)=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECG=67.5°-22.5°=45°。…………11分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 72 24.(本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2-ax-10a(a≠0)分别与x轴、y轴交于A，B(0，-4)两点，点M为OA的中点。 (1)求抛物线的表达式。 (2)如图1，连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，OC，求四边形OBDC的面积。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 73 (3)点E为线段AB上一动点(点A除外)，将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF。 ①如图2，当AE=时，判断点F是否在抛物线上，并说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA=90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 74 【考点】 二次函数的综合。 解：(1)将点B(0，-4)代入y=ax2-ax-10a得-10a=-4， 解得a=，∴y=x2-x-4。…………3分 (2)当y=x2-x-4=0时， 解得x1=-，x2=4，∴A(4，0)。 ∵点M是OA的中点，∴M(2，0)， ∴OM=2。…………4分 ∵B(0，-4)，∴设直线AB的表达式为y=kx-4。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 75 将A(4，0)代入得k=1， ∴y=x-4。 ∵DM垂直平分OA， ∴C(2，-2)，D(2，-)，∴CD=-2+=， ∴S四边形OBDC=S△OCB+S△BCD=×4×2+ ××2=。…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 76 (3)①点F在抛物线上。 理由如下： 如图，连接BF，过点F作FQ⊥OB于点Q。 由(2)可知OA=OB=4， ∴∠OAB=∠OBA=45°。 ∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF， ∴OE=OF，∠EOF=90°=∠BOA， ∴∠AOE=∠BOF。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 77 又∵OA=OB，OE=OF， ∴△AOE≌△BOF(SAS)， ∴∠OBF=∠OAE=45°，BF=AE=。…………8分 ∵FQ⊥OB，∴△FQB为等腰直角三角形， ∴FQ=BQ=BF=1，∴OQ=OB-BQ=3，∴F(-1，-3)。 对于y=x2-x-4， 当x=-1时，y=+-4=-3， ∴点F在抛物线上。…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 78 ②如图，连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，过点M作MH⊥BG于点H。 ∵∠OPA=90°，点M为OA的中点， ∴PM=OA=2。 ∵PF≥MF-PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小。 …………12分 同①可得∠OBF=∠OAE=45°， ∴点F在线段BG上运动， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 79 ∴当MF⊥BG时，即点F与点H重合时，MF的值最小，此时PF的值最小，最小值为MH-PM。 ∵∠OBG=45°，∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG=OB=4，∠BGO=45°， ∴MG=OG+OM=6，△MHG为等腰直角三角形， ∴MH=MG=3， ∴PF的最小值为MH-PM=3-2。…………14分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 80 【错题反思】 核对完答案后，将错题做重点反思。对应的考点如果还有不明白的地方，可回到五四《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍。 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T17、T18、T19 再接再厉鼓舞你 T8、T14、T15、T20、T21、T24(1) 伤筋动骨磨炼你 T9、T22、T23(1) 学霸登顶恭喜你 T10、T16、T23(2)(3)、T24(2)(3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 81 82 $