21.3.2《菱形》同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2《菱形》同步练习 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5,若LABD=30°，则AC的长是() A.4 B.5 C.6 D.10 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC;②AC=BD;③ AC⊥BD;④AC平分∠BAD.若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为() D A.① B.② C.③ D.④ 3.按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧， 分别交AE、AF于点B、D:(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于 点C;(4)连接BC、DC、BD.若LA=40°，则LBDC的度数是() 4 B A.64 B.66° C.68 D.70° 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连接AE,CF.若 四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为() D H B B. 39 A.9 C. 5,如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠， 若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() B A.2 B.6-3√2 C.22 D.6√2-6 6.如图，ABCD的面积为12，AC=BD=6,AC与BD交于点O.分别过点C,D作BD,AC的 平行线相交于点F,点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是() D A.1 B.3 c. D.3 2 二、填空题 7.如图，在菱形ABCD中，AB=2,则菱形ABCD的周长为 A B 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使平 行四边形ABCD为菱形. A D B 9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,以点A为圆心，适当长为半径画弧， 分别交AB、4C于点M、N:再分别以M、N为图心，大于N的长为半径画弧，两颈在 ∠BAC内交于点G;作射线AG,交BD于点H.若AB=7,OH=2,则SABH= D N B 10.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点，过点E作 EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=I2,BD=16,则FG的长为 F 11.如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点，若△BEF的面积 为4，则图中阴影部分的面积为一· A 12.如图，在菱形ABCD中，AB=4,对角线BD=43,点P是边CD的中点，点M是对角线 BD上的一个动点，连接PM、CM.则PM+CM的最小值是 D B 三、解答题 13.如图，已知四边形ABCD,AD∥BC,请用尺规作图法，在边AD上求作一点E,在边BC上 求作一点F,使四边形BFDE为菱形.（保留作图痕迹，不写作法） 14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=2AD,点E是BC的中点，且AC平分∠DAE. D (1)求证：四边形ADCE是菱形； (2)已知AB=3,AE=2,求线段AC的长. 15.如图.在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O.点B,点D关于AC所 在直线对称. D B C E (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC长. 16.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC. D G 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上，连接EG交AC 于点F,若LFEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线 段CE除外). 参考答案 一、单选题 1.B 解：如图， A D ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,A0=C0, ∴.∠A0B=90°， ∠ABD=30°，AB=5, 5 .AC=2A0=5, 故选：B. 2.B 解：A、添加AB=BC,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形， 不符合题意； B、添加AC=BD,不能得出四边形ABCD是菱形，故符合题意； C、添加AC⊥BD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形， 不符合题意； D、四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD, ∴.∠BAC=LDCA, ,AC平分∠BAD, ∴.∠BAC=∠DAC, ∴.∠DCA=∠DAC, ∴.AD=CD, ∴.平行四边形ABCD是菱形， ∴.添加AC平分∠BAD,可以得出四边形ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：B. 3.D 解：根据作图可得AB=AD=BC=CD ∴.四边形ABCD是菱形，则AB∥CD,∠BDC=∠BDA=∠ADC 又.∠A=40°， ∠BDC=∠BDA=)∠ADC=180°-∠A=70 故选：D. 4.C 解：，四边形AECF为菱形， ∴AF=AE=EC=FC, ,四边形ABCD为矩形， .CD=AB=3,AD=BC=2,LD=90°， 设DF=x,则在RtACFD中，AF=AD+DF=2+x, .CF=AF=2+x, 'DC2+DF2=CF2, 即32+x2=(2+x2, 5 ..x= 4 即DF= 4 13 .AF=2+x= 4, 43s39 ∴菱形的面积为AP.CD=1 4 4, 故选：C 5.D 解：由折叠的性质可知，LAEB=∠AEF=90°，BE=EF, 在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6, ∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6, :AE BE AB=√AE2+BE2=V2BE=6, :BE =32, .BF =2BE =62, ..CF=BF-BC=62-6, 故选：D. 6.A 解：，ABCD,AC=BD=6, ∴ABCD是矩形， .0C=0D, .OC∥DF,D0∥CF, ∴.四边形OCFD是菱形， 如图，连接OF,GP,而点G是CD的中点， D ---->万 .G为菱形对角线的交点，OF⊥CD, ∴.当GP⊥CF时，GP最小， ,口ABCD即矩形ABCD的面积为12，AC=BD=6, 0C=0D=3,3n=x12=3, 4 ∴.S菱形0CrD=2S.0cD=6, 6-2' ∴.S.cr=4 3 由菱形的性质可得：CF=3, .GP=1,即GP的最小值为1. 故选A 二、填空题 7.8 解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8， 故答案为：8 8.AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一) 解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD; 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD; 故答案为：AB=AD(或AC⊥BD,答案不唯一). 9.7 如图，作HI⊥AB交AB于I, 菱形ABCD, .BD⊥AC,即HO⊥AC, 由作图可知AG平分∠BAC, ∴.HI=0H=2, ∴.SABm=2 ×AB×HⅢ=5×7×2=7， 故答案为：7 10.5 解：如图所示，连接OE, B D ,四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, 4C1Bnoc=方4C=60D-号8D=8, ∠C0D=90°， 在RtaC0D中，由勾股定理得CD=VOC2+OD2=V6+82=10, ,E是边CD的中点， ..OE=-CD=5, EF⊥BD,EG⊥AC, .∴.∠0GE=∠0FE=∠G0F=90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴FG=0E=5, 故答案为：5. 11.10 解：连接AF、BD, D F ,菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4， 1.5ne6 S.w25. 设菱形ABCD中BC边上的高为h, 则S4BF=2 5BF.h,即82， S菱形ABCD BC.h 24 BC .BF 2 …BC3' CE =2, .S.r .ABE= 1 BF.h BF CF.h CF =2, ∴.SACDF=4, .S阴影=S菱形ABCD-SADE-S.BEr-S.cDF=10, 故答案为：10. 12.25 解：如图，连接AC, 作点P关于直线BD的对称点P,则PM=P'M,点P是AD的中点， ∴.PM+CM=P'M+CM≥CP'. 根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为CP', ,四边形ABCD是菱形， AD=4B=-CD=44C1B0,D0BD-2540-4C, 根据勾股定理，得A0=√AD2-D02=2, .AC=AD=CD=4. ,点P是AD的中点， .CP'⊥AD,AP=AD=2. 2 在RtoACP'中，CP2=VAC2-AP2=2V5. 所以PM+CM的最小值为2√5. 故答案为：2√5. D B 三、解答题 13.解：如图，点E,F即为所求. E D B 理由：设EF,BD交于点O, 根据作法得：OB=OD,EF⊥BD, .DE =BE, ,AD∥BC, ∴.∠ODE=∠OBF,∠OED=∠BFO, ∴.△ODE≌△OBF, ∴.DE=BF, ∴四边形BFDE为平行四边形， '.DE =BE, ∴.四边形BFDE为菱形. 14.(1)证明：，点E是BC的中点， ∴.BC=2CE, .BC 2AD, ∴.CE=AD, ,AD∥BC, ∴.四边形AECD为平行四边形， AD∥BC, ∴LDAC=LACE, ,AC平分∠DAE, .∴.∠DAC=LEAC, .ZACE ZEAC, ∴.AE=CE, ∴.平行四边形AECD为菱形； (2)解：，AE=2, 根据(1)可得CE=BE=AE=2,BC=4, ∴.∠ACE=∠EAC,∠ABE=∠EAB, LACE+LABE+LEAC+LEAB=180°， .∴.∠BAC=LEAC+LEAB=90°， AB=3, .AC=VBC2-AB2=V42-32=√万. 15.(1)证明：，点B,点D关于AC所在直线对称， ∴.OD=OB,AC⊥BD, AB∥CD, ..Z0AB=Z0CD,Z0BA Z0DC, .△AOB≌△COD(AAS), ∴.AB=CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形； (2)解：，四边形ABCD是菱形， .'AD =CD=BC=5, 由题意得：DE⊥CE, ∴.DE=VCD2-CE2=V52-32=4, .BE=BC+CE=5+3=8, ∴.BD=VDE2+BE2=4V5, AC⊥BD, 8Dx0c-方acx0E, OC-BCxDE-5x4=5 BD 45 16.(1)证明：AD∥BC, .ZDAC ZACB, .OA=OC,ZAOD=ZBOC, .∴.△AOD≌aCOB(ASA, ∴.AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .AB BC, ∴.四边形ABCD是菱形； (2)解：，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, 点A和点C关于BD所在直线对称， ∴.AE=CE; AB AC,AB=BC, .∴.AB=BC=AC=AD=CD, ∴.△ABC,△ACD是等边三角形， .∴.LABC=∠ACB=LBAC=LACD=∠ADC=∠CAD=60°， ,CH⊥AD,OD⊥AC, L乙ACH=∠HCD=∠0DC=)x60°=30P ∴CE=DE; ,∠FEC=75°， .∴.LAFG=∠CFE=180°-∠FEC-∠FCE=75°， ∴.∠CFE=LFEC, ∴.CF=CE; .AE =CE, ∴.∠EAC=∠ECA=30°， .∴.∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°， .∴.∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°， ∠AGF=180°-∠BAC-LAFG=45°， .∠AGF=∠AEG, .AG=AE ∴.AG=CE; 综上所述，与线段CE相等的线段有AG，,AE,FC,DE.