8 信息预测卷二-【智乐星中考】2026年山东省初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件系统覆盖中考核心考点，涵盖数与代数、图形与几何、统计与概率等领域，严格对接中考说明，通过分析近三年考点权重，归纳出实数运算、函数应用、几何证明等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+易错点突破+核心素养培养”模式，如通过解直角三角形应用题型，示范“构造直角三角形建模法”，培养数学思维中的推理能力和空间观念。包含8套全真模拟卷及“失分陷阱”分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此制定高效复习计划，助力中考冲刺。

2026山东 数学 1 2 2026年山东省初中学业水平考试 数学试题 3 　　本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 4 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.在数轴上有分别表示-7，0，2，4四个数的点，其中离原点最远的点表示的数是(　　) A.-7 B.0 C.2 D.4 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 5 【考点】 数轴和绝对值. 【解析】 ∵|-7|=7，0<2<4<7， ∴表示 -7的点离原点最远. 故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 6 2.据网络平台数据，截至3月1日18时54分，2026年年度电影总票房(含预售)突破100亿元大关，持续领跑全球单一市场票房榜！截至目前，2026年观影总人次已达2.25亿，放映总场次达2 610万场.其中数据2 610万用科学记数法表示为(　　) A.2.61×103 B.26.1×106 C.2.61×107 D.2.61×108 【考点】 用科学记数法表示带单位的大数. 【解析】 2 610万=26 100 000=2.61×107.故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 7 3.我国古代数学成就辉煌，留下了大量蕴含数学之美的经典图案.这些图案巧妙融合了对称、均衡与几何美感，体现了古人对图形规律的深刻认识.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 8 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别. 【解析】 A选项是轴对称图形，不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形； C选项是中心对称图形，不是轴对称图形； D选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形. 故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 9 4.下列计算正确的是(　　) A.5a+3a=8a2 B.a3·a4=a12 C.a6÷a2=a3 D.(-2a4b)2=4a8b2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 10 【考点】 整式的运算. 【解析】 A.5a+3a=8a，故A选项错误； B.a3·a4=a7，故B选项错误； C.a6÷a2=a4，故C选项错误； D.(-2a4b)2=4a8b2，故D选项正确. 故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 11 5.在《九章算术·商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”由图1经过如下操作得到图3“阳马”，则图3“阳马”的俯视图是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 12 【考点】 简单几何体的三视图. 【解析】 由题图可得俯视图是 　　　　　. 故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 13 【回归教材】 　　此题根据鲁教版九年级上册数学教材第147页【数学理解】的第18题改编而来.通过判断截去一部分后的立体图形的三视图，来考查学生的直观想象能力. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 14 6.生活中处处存在物理变化与化学变化，现有4种包含生活现象的无差别的卡片：①铁杵磨成针，②用白醋除水垢，③铁栅栏生锈，④酒精挥发.将卡片背面朝上，某同学从中随机抽取两张卡片，则所抽取的两张卡片刚好都是物理变化的概率是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 15 【考点】 用列表法或画树状图法求概率. 【解析】 ①铁杵磨成针是物理变化，②用白醋除水垢是化学变化，③铁栅栏生锈是化学变化，④酒精挥发是物理变化. 画树状图如下.   由图可知一共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片刚好都是物理变化的结果有2种，∴P(所抽取的两张卡片刚好都是物理变化)==.故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 16 7.如图，正六边形ABCDEF中，直线m，n分别经过边BC，CD上一点，且m∥n.若∠1=40°，则∠2的度数是(　　) A.95° B.100° C.105° D.110° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 17 【考点】 平行线的性质、多边形的外角和、三角形的外角. 【解析】 如图. ∵m∥n， ∴∠NHC=∠1=40°. 在△NHC中，∠NCH=×360°=60°， ∴∠2=∠NCH+∠NHC=60°+40°=100°. 故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 18 8.随着快递行业规模的持续增长，无人配送车正走进千家万户.某快递公司将某区域配送人员全部替换成了无人配送车后，该区域投递快件的能力由每周4 200件提高到5 600件，平均每车每周比原来每人多投递80件.若快递公司的原快递员人数和替换后的车辆数相等，则原来平均每人每周投递快件为(　　) A.60件 B.120件 C.180件 D.240件 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 19 【考点】 分式方程的实际应用. 【解析】 设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每车每周投递快件(x+80)件. 依题意得=， 解得x=240. 经检验，x=240是原方程的解，且符合题意， ∴原来平均每人每周投递快件为240件. 故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 20 9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF与BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM交CD于点N，连接ON.则下列结论不正确的是(　　) A.AD=BD B.∠DAM=∠CAN C.AM垂直平分CD D.ON=(AB-AC) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 21 【考点】 尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、中位线定理. 【解析】 由作图可知AD=AC，而AD与BD不一定相等，故选项A错误. 由作图可知AM平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAN，故选项B正确. 由作图可知AD=AC，∠DAM=∠CAN. ∵AN=AN， ∴△ADN≌△ACN(SAS)， ∴DN=CN，∴AN⊥CD， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 22 ∴AM垂直平分线段CD，故选项C正确. ∵EF垂直平分线段BC，∴OB=OC. ∵点N为CD的中点， ∴ON=BD=(AB-AD)=(AB-AC)，故选项D正确. 故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 23 10.2026年中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务.某班为了解学生对航空航天知识的了解程度，举办了“逐梦苍穹·航天强国”的知识问答竞赛.一共有20道题，答对一题加1分，不答或答错一题减1分.以下是两位同学的对话： 甲同学：“我一共答题20道，但得分是10分.” 乙同学：“我一共答题15道，得分是8分.” 那么两位同学答对题目与答错题目的差是(　　) A.10 B.15 C.20 D.23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 【考点】 二元一次方程组的实际应用、推理与论证. 【解析】 甲同学对20道题目都进行了作答，且得分为10分，∴设答对题目为x道，答错题目为y道，可列方程组得解得 乙同学只作答了15道题，得分为8分，∴未作答的试题是5道.设答对题目为m道，答错题目为n道，根据题意得解得 ∴两位同学答对的题目数量是15+14=29(道)，答错的题目数量是5+1=6(道)，∴29-6=23(道).故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 25 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.因式分解：ab2-4a=___________.  a(b+2)(b-2) 【考点】 因式分解. 【解析】 ab2-4a=a(b2-4)=a(b+2)(b-2). 故答案为a(b+2)(b-2). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 26 12.关于x的不等式组的整数解的和是___.  -5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 27 【考点】 解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解. 【解析】 解不等式①得x≥-3，解不等式②得x<2， ∴不等式组的解集为-3≤x<2，∴不等式组的整数解为-3，-2，-1，0，1， ∴-3-2-1+0+1=-5.故答案为-5. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 28 【授之以渔】 ——失分陷阱 解一元一次不等式(组)的易错点 　　解一元一次不等式(组)时，最易出错的地方有以下三点： ①去分母时，常数项漏乘； ②两边同乘负数时，不等号方向忘记改变； ③需用数轴表示解集时，忽略“实心圆点”与“空心圆圈”的区别. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 29 13.关于x的一元二次方程x2-3x+4+m=0有实数根，则m的最大值为 ___.  - 【考点】 一元二次方程根的判别式. 【解析】 ∵x2-3x+4+m=0有实数根，∴b2-4ac=9-4(4+m)≥0，解得m≤-，∴m的最大值是-.故答案为-. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 30 14.如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E. 若BC=8，∠A=60°，则 的长为.  π 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 31 【考点】 圆周角定理、弧长的计算. 【解析】 如图，令半圆的圆心为点O，连接BE，OD，OE. ∵BC是半圆O的直径，∴∠BEC=90°. 又∵∠A=60°，∴∠ABE=30°， ∴∠DOE=2∠ABE=60°. ∵BC=8，∴半圆O的半径为4， ∴的长==π.故答案为π. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 32 15.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，分别在OD和CB上取点 M，N，使得OM=CN.若AC=2AB=6，则MN的最小值为.  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 33 【考点】 矩形的性质、平行四边形的判定与性质. 【解析】 如图，过点O作OE∥MN，且OE=MN，连接EN， 则四边形OENM是平行四边形， ∴EN∥BD，EN=OM， ∴∠BNE=∠CBD. ∵AC=2AB=6，∴∠ACB=30°=∠CBD， ∴∠BNE=30°. ∵OM=CN，∴EN=CN， ∴∠NCE=15°， ∴∠OCE=∠OCB+∠NCE=45°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 34 则点E的轨迹在射线CE上，且∠OCE=45°， 当OE⊥CE时，OE有最小值，此时MN也最小， △OCE是等腰直角三角形， ∴OE=OC=×AC=，即MN的最小值为. 故答案为. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 35 16.如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么 点P与点Q关于点M对称，定点M叫作对称中心，此时， 点M是线段PQ的中点.如图，在平面直角坐标系中， △ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)， (0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称， 点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O 对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7 关于点O对称……且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1，1)， 则点P2 026的坐标为________.  (1，-3) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 36 【考点】 中心对称的性质、点的坐标规律的探索. 【解析】 由题意可得P2(1，-1)，P3(-1，3)，P4(1，-3)，P5(1，3)， P6(-1，-1)，P7(1，1)，… ∴可知6个点为一组循环，∴2 026÷6=337……4， ∴点P2 026的坐标与点P4的坐标相同，为(1，-3). 故答案为(1，-3). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 37 【得分要点】 　　在规律探索题中，找到变化的规律是解题关键，在循环规律中，找到循环周期及循环值是得分要点.此题切入点是通过依次计算前几个点的坐标，找到循环周期. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 38 三、解答题：本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(8分)(1)计算：+20-2cos 45°+|-2|+(-)-2. (2)先化简，再求值：(-1)÷，其中x=. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 39 【考点】 (1)实数的运算；(2)分式的化简求值. 解：(1)原式=2+1-2×+2-+4 =2+1-+2-+4=7. …………4分 (2)原式=·=·=. …………6分 当x=时，原式=. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 40 18.(10分)【素材1】 图1是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它由一段斜坡与一段水平地面构成.斜坡用AB表示，水平地面用BC表示.有两个监测点分别在斜坡的端点A处与水平地面上的点C处.根据选址时勘测日志中的记载，点A的地面海拔高度为671米，点B的地面海拔高度为621米，A，B两点垂直方向上的高度差即为海拔差. 【素材2】 图2为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔，以及山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔PQ就建在山上的点Q处.根据施工日志资料显示，信号塔底点Q的海拔高度为881米. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 41 【测量对象】 核验山区5G信号塔高度. 【测量工具】 测角仪、激光测距仪等. 【测量活动】 检测员李老师从点A到点B共走了130米，从点B到点C共走了60米；李老师在检测基地的点A处利用测角仪测得塔顶点P的仰角α为37°，在点C处利用测角仪测得塔顶点P的仰角β为63.5°.(测角仪高度忽略不计) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 42 【问题解决】 任务一：如图1，求斜坡AB的坡比. 任务二：如图2，根据李老师记录下的测量数据，求这个5G信号塔PQ的高度. (参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，sin 63.5°≈0.9，cos 63.5°≈0.45，tan 63.5°≈2.0) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 43 【考点】 解直角三角形的实际应用. 解：任务一：如图，过点A作AH⊥BC交CB的延长线于点H.   在Rt△ABH中，AH=671-621=50(米)，AB=130米， ∴BH==120米， ∴斜坡AB的坡比为 ==1∶2.4. …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 44 任务二：如图，过点A作AE⊥PQ，交PQ的延长线于点E，PQ的延长线交BC的延长线于点M.  易得QM=881-621=260(米)，EM=50米. …………5分 设CM=x米， ∴PM=CM·tan 63.5°≈2x米， AE=120+60+x=(180+x)米， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 45 ∴PE=AE·tan 37°≈(180+x)×0.75=(0.75x+135)米. …………7分 ∵PM-PE=EM，即2x-(0.75x+135)=50， 解得x=148， ∴PQ=PM-QM=148×2-260=36(米). 答：这个5G信号塔PQ的高度约为36米. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 46 19.(10分)2026年“电影+非遗”跨界融合深化，电影票根成为联动文旅消费的枢纽.为了解甲、乙两校九年级学生对非遗与文创融合模式的认知情况，每校随机抽取20名学生进行测试，测试后对学生成绩进行了整理和分析. 信息一：绘制成了如下两幅统计图.(数据分组为A组：60≤x<70，B组：70≤x<80，C组：80≤x<90，D组：90≤x≤100) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 47 信息二：甲校学生的测试成绩在C组的是80，82.5，82.5，85，85.5， 89，89，82.5，87. 信息三：甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲校 83.2 a 82.5 乙校 80.6 81 80 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 48 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图. (2)扇形统计图中D组所在的圆心角度数为　　　　　°，表格中 a=　　　　　　.  (3)在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？请说明理由. (4)若甲校学生共有600人参加此次测试，估计甲校成绩超过89分的人数. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 49 【考点】 统计图表的分析、中位数、用样本估计总体. 解：(1)补全的频数分布直方图如下.   …………2分 (2)72　86.25…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 50 (3)乙校小华的成绩排名在前.理由如下： 小明的成绩为82分，比甲校中位数86.25分低，而小华的成绩82分，比乙校中位数81分高，因此乙校小华的成绩排名靠前. …………7分 (4)600×=210(人). 答：估计甲校成绩超过89分的人数为210. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 51 20.(10分)如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示.   (1)根据表中数据，求桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式及a的值. 受力面积S(m2) 2 1.6 1 0.8 a 桌面所受压强p(Pa) 200 250 400 500 800 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 52 (2)现想将另一长、宽、高分别为0.4 m，0.3 m，0.1 m，且与图1中长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式(即A面向上)放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为5 000 Pa，请你判断这种摆放方式是否安全，并说明理由.若将此长方体B面向下摆放，请直接判断是否安全. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 53 【考点】 反比例函数的实际应用. 解：(1)由表格可知压强p与受力面积S的乘积不变，故压强p是受力面积S的反比例函数. 设p=，将(1，400)代入得400=，解得k=400， ∴桌面所受压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式为p=. 将(a，800)代入p=得a=0.5. …………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 54 (2)A面向上的摆放方式安全. …………6分 理由如下： S=0.3×0.4=0.12(m2)， ∴p==(Pa). ∵<5 000，∴这种摆放方式安全. …………7分 B面向下的摆放方式不安全. …………10分 提示：S=0.4×0.1=0.04(m2)，p==10 000(Pa). ∵10 000>5 000，∴这种摆放方式不安全. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 55 【回归教材】 　　此题根据人教版九年级下册数学教材第21页【综合运用】第6题改编而来.融合物理学科压强与面积之间的关系，考查反比例函数的实际应用. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 56 21.(10分)如图，AB是☉O的直径，点D在☉O上，点C是 的中点，过点C作AD的垂线，垂足为E，连接AC与BD相交于点F. (1)求证：直线CE是☉O的切线. (2)若AB=10，AC=8，求sin∠ABD的值. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 57 【考点】 切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、平行线的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理. (1)证明：如图，连接OC. ∵点C是 的中点，∴OC⊥BD. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB =90°，即AD⊥BD， ∴OC∥AD. …………2分 ∵CE⊥AD，∴OC⊥CE. ∵OC是☉O的半径， ∴直线CE是☉O的切线. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 58 (2)解：如图，连接BC. 设OC与BD相交于点H，则点H是BD的中点，令OH=x.　…………5分 ∵AB=10， ∴OB=5，OC=5，∴CH=5-x， ∴BH2=25-x2. …………7分 ∵AB=10，AC=8，∴BC=6. …………8分 在Rt△BHC中，25-x2+(5-x)2=36，解得x=， ∴sin∠ABD===. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 59 22.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+a+2(a为常数，a≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，且抛物线经过点(1，2). (1)求a的值. (2)若点C(c，6)是抛物线上的点，且c<0，求证：A，B，C三点共线. (3)点P(t-1，m)，Q(t，n)是抛物线上的两点(t>)，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G(包含P，Q两点).若图象G上任意两点纵坐标之差的最大值是5，求t的值. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 60 【考点】 二次函数的性质探究. (1)解：∵抛物线y=ax2-2x+a+2(a为常数，a≠0)经过点(1，2)， ∴a-2+a+2=2，解得a=1. …………2分 (2)证明：由(1)知a=1， ∴y=x2-2x+3. ∵抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B， ∴A(0，3)，B(1，0). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 61 设经过点A(0，3)，B(1，0)的直线的解析式为y=kx+b. 将点A，B的坐标代入得解得 ∴直线AB的解析式为y=-3x+3. ∵点C(c，6)在抛物线上， ∴c2-2c+3=6，解得c1=3，c2=-1. ∵c<0，∴c=-1，即C(-1，6). 将x=-1代入直线y=-3x+3得y=-3×(-1)+3=6， ∴点C(-1，6)在直线AB上， ∴A，B，C三点共线. …………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 62 (3)解：∵点P(t-1，m)，Q(t，n)是抛物线y=x2-2x+3上的两点， ∴m=(t-1)2-2(t-1)+3=t2-4t+6，n=t2-2t+3. ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1. 分以下两种情况： ①当<t<2时，则t-1<1<t，点P，Q在对称轴两侧， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 63 此时图象G的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ∵1-(t-1)<<t-1， ∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，此时点Q的纵坐标最大， ∴n-2=t2-2t+3-2=5， 解得t1=1+(不符合题意，舍去)或t2=1-(不符合题意，舍去). …………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 64 ②当t≥2时，则t-1≥1，P，Q均在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴n-m=t2-2t+3-(t2-4t+6)=2t-3=5， 解得t=4. 综上所述，t的值为4. …………12分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 65 23.(12分)综合与实践课上，数学老师让同学们通过折纸进行探究活动. 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片ABCD沿过顶点A的直线折叠，使得点D落在BC边上的点G处，折痕交CD于点E，再沿着过点G的直线折叠，使得点B落在AG上的点H处，折痕交AB于点F.将纸片展平，画出对应点G，H及折痕AE，FG，连接FH，AG，EG. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 66 【初步探究】 (1)确定FG和AE的位置关系及线段AF和DE的数量关系. 求知小组经过一番思考和研讨交流后，发现FG∥AE，证明过程如下： 由折叠的性质可知∠DAE=∠GAE=∠DAG，∠FGH=∠FGB=∠BGA. 又由平行四边形的性质可知DA∥BC，∴∠DAG=∠BGA，∴　①　，∴FG∥EA  奋进小组经过一番思考和研讨交流后，发现在寻找AF和DE的数量关系时，方法不一： 先测量AF和DE的长度，猜想其关系为　②　.  方法一：证明△AHF≌△GCE，得到AF=GE，进而可证. 方法二：过点G作AB的平行线交AE于点N，构造平行四边形AFGN，然后证GN=GE可得结论 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 67 补充上述过程中横线上的内容：①　　　　　　；②　　　　　　.  【类比探究】 (2)如图2，将平行四边形纸片ABCD特殊化为矩形纸片ABCD，重复上述操作.请判断FG和AE的位置关系及AF和DE的数量关系是否发生变化，并说明理由. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 68 【拓展运用】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=2，按上述操作折叠并展开后，过点G作GM∥CD交AE于点M，连接HM.当∠HMG=90°时，求DE的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 69 【考点】 四边形的综合. 解：(1)①∠EAG=∠FGA…………2分 ②AF=DE…………4分 提示：由①可知∠EAG=∠FGA. 由折叠的性质可知∠B=∠FHG，∠HFG=∠BFG，∠AED=∠AEG， AG=AD，HG=BG，DE=GE. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B+∠C=180°. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 70 ∵∠FHG+∠FHA=180°， ∴∠FHA=∠C. 又∵∠EAG=∠FGA， ∴∠HFG=∠AEG=∠BFG=∠AED， ∴∠AFH=∠GEC. ∵CG=BC-BG=AD-BG，AH=AG-HG=AD-BG， ∴CG=AH， ∴△AHF≌△GCE(AAS)， ∴AF=GE，∴AF=DE. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 71 (2)不发生变化. …………5分 理由如下： 由折叠的性质可知∠DAE=∠GAE=∠DAG，∠FGH=∠FGB=∠BGA. ∵四边形ABCD为矩形，∴DA∥BC， ∴∠DAG=∠BGA，∴∠EAG=∠FGA， ∴FG∥EA. …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 72 由折叠的性质可知∠FHG=∠AGE=90°，∠HFG=∠BFG，∠AED=∠AEG，AG=AD，HG=BG，DE=GE. 又∵∠EAG=∠FGA， ∴∠HFG=∠AEG=∠BFG=∠AED， ∴∠AFH=∠GEC. ∵CG=BC-BG=AD-BG，AH=AG-HG=AD-BG， ∴CG=AH.又∵∠AHF=∠C=90°， ∴△AHF≌△GCE(AAS)， ∴AF=GE，∴AF=DE. …………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 73 (3)∵GM∥CD，AB∥CD，AD⊥CD， ∴GM∥AB，∴∠FAH=∠HGM. ∵∠HMG=90°，∴HM⊥GM. ∵AD⊥CD，GM∥CD，∴AD∥HM，∴∠DAE=∠HMA. ∵∠DAE=∠GAE=∠DAG，∴∠GAE=∠HMA， ∴AH=HM. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 74 ∵∠GEA+∠GAE=90°，∠HMA+∠GME=90°， ∴∠GEA=∠GME，∴GM=GE. 设DE=GE=AF=GM=x，则BF=HF=CE=2-x. ∵tan∠FAH==tan∠HGM=，∴=， ∴AH·HM=x(2-x)，即AH2=x(2-x). ∵AF2-HF2=AH2， ∴x2-(2-x)2=x(2-x)， 解得x=-1或x=--1(舍去)， ∴DE的长为-1. …………12分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 75 【错题反思】   核对完答案后，将错题做重点反思.对应的考点如果还有不明白的地方，可回到《中考备战》《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍. 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T11、T12、T13、T14 再接再厉鼓舞你 T9、T15、T17、T18、T19、T20 伤筋动骨磨炼你 T10、T16、T21 学霸登顶恭喜你 T22、T23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 76 77 $