3 模拟实战卷一-【智乐星中考】2026年山东省初中学业水平考试数学试题

该初中数学中考复习课件系统覆盖实数运算、图形变换、函数应用等核心考点，依据中考说明分析二次函数（12分）、圆综合题（10分）等权重，按选择、填空、解答题归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+技巧指导”，如二次函数题通过建模思想培养数学思维，几何概率题结合实验数据发展数据观念，“授之以渔”模块剖析幂运算混淆等易错点，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定系统复习计划，提升中考冲刺效率。

2026山东 数学 1 2 2026年山东省初中学业水平考试 数学试题 3 　　本试卷共4页，满分120分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 4 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.下列实数中，最小的是(　　) A.|-π| B. C.3 D.22 【考点】 实数的大小比较、绝对值、平方. 【解析】 |-π|=π，22=4.∵<3<π<4，∴最小的是.故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 5 2.剪纸艺术是我国非物质文化遗产之一，它是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的民间艺术，主要用于装点生活或配合其他民俗活动.下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 6 【考点】 轴对称图形与中心对称图形的判别. 【解析】 A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意. 故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 7 3.当前，全球AI算力建设进入爆发期，高功率、高稳定的供电成为算力集群的“生命线”，电力设备变压器正升级为算力基础设施的核心.我国已经成为世界第一大变压器生产国，建成了全球最完备的变压器生产体系.2025年，我国变压器出口总值达646亿元，比2024年增长近36%.数据“646亿”用科学记数法表示为(　　) A.6.46×108 B.6.46×1010 C.64.6×109 D.646×1010 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 8 【考点】 用科学记数法表示带单位的大数. 【解析】 646亿=646×108=6.46×1010 .故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 9 4.下列运算正确的是(　　) A.a6÷a2=a3 B.(-2a2)3=-6a5 C.2a2+3a3=5a5 D.a2·a3=a5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 10 【考点】 整式的运算. 【解析】 A.a6÷a2=a4≠a3，运算错误，不符合题意； B.(-2a2)3=-8a6 ≠-6a5，运算错误，不符合题意； C.2a2与3a3不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； D.a2·a3=a5，运算正确，符合题意.故选D. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 11 【授之以渔】 ——失分陷阱 　　混淆幂的运算法则 　　在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数幂的乘法与乘方的运算法则.在应用时，牢记以下公式：am·an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 12 5.如图1所示，有一块不规则形状的彩纸(阴影部分)，同学们想估算它的面积，将它粘在一张长为20 cm、宽为 8 cm 的长方形纸上，随机向长方形内抛小豆子，记录落在彩纸上的次数(边界与区域外不计)，并将试验结果绘制成图2的折线统计图.由此估计不规则彩纸的面积为(　　)   A.46 cm2 B.48 cm2 C.56 cm2 D.62 cm2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 13 【考点】 几何概率、由频率估计概率. 【解析】 假设不规则彩纸面积为x cm2. 由题意得长方形面积为20×8=160(cm2). 由折线图可知小豆子落在彩纸上的概率大约为0.35， 则=0.35，解得x=56， ∴不规则彩纸的面积大约为56 cm2.故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 14 6.春节期间，文具店的一种自动笔八折优惠出售.某同学发现，同样花24元钱购买这种自动笔，春节期间买比春节前买多2支.这种自动笔春节期间每支的售价是(　　) A.2元 B.3元 C.2.4元 D.1.6元 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 15 【考点】 分式方程的实际应用. 【解析】 设这种自动笔春节前每支的售价是x元. 根据题意得-=2，解得x=3， 经检验，x=3是原方程的解，且符合题意， ∴0.8x=0.8×3=2.4.故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 16 7.七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，过点C作直线AB∥DE.若∠1=25°，则∠2的度数是(　　) A.15° B.20° C.25° D.30° 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 17 【考点】 平行线的性质. 【解析】 标记字母如图. ∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形， ∴∠FDE=∠E=∠HCD=∠HDC=45°. ∵AB∥DE，∴∠ACD=∠CDE， ∴∠1+∠HCD=∠2+∠FDE. ∵∠1=25，∴25°+45°=∠2+45°， ∴∠2=25°.故选C. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 18 8.瓷板画是我国非物质文化遗产，最早可追溯到秦汉时期.桌面上有一个圆形瓷板画摆件，如图是其平面示意图.已知A，C为☉O上的两点，连接AC，AC∥l(桌面)，☉O的半径OA=15 cm，AB，CD分别与直线l垂直于B，D两点，AB=CD=6 cm，AC=18 cm，过点O作OE⊥l于点E，交AC于点F，则圆心到桌面l的距离OE的长为(　　) A.18 cm B.17 cm C.16 cm D.15 cm 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 19 【考点】 勾股定理、垂径定理. 【解析】 ∵AC∥l，OE⊥l，AB⊥l，CD⊥l， ∴OF⊥AC，EF=AB=CD=6 cm. ∵AC=18 cm， ∴AF=CF=AC=9 cm. 在Rt△AOF中，根据勾股定理得OF==12 cm， ∴OE=OF+EF=12+6=18(cm). 故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 20 9.如图是凸透镜成像光路图，与主光轴MN平行的光线AC经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线AO经凸透镜折射后传播方向不变，即点A'在AO的延长线上，且AB∥CO∥A'B'.一根长12 cm的蜡烛AB放在三倍焦距处，即OB=3f，已知焦距OF=f，则经过凸透镜成像得到的A'B'的长为(　　)   A.6 cm B.5 cm C.4 cm D. cm 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 21 【考点】 相似三角形的实际应用. 【解析】 根据题意知 AB∥CO∥B'A'， ∴△ABO∽△A'B'O，△COF∽△A'B'F， ∴==. 又∵AB=CO， ∴==， ∴=，∴OB'=3FB'，∴OF=2FB'，∴=2， ∴A'B'=AB=6 cm.故选A. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 22 10.老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培.通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率p低；洒水多了要烂根，也会影响发芽率p.通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v(单位：L)近似地满足二次函数关系p=av2+bv+c(a，b，c为常数，且a≠0)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据判断以下结论正确的是(　　) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 23 A.当洒水量为1.8 L时，发芽率为0 B.最佳的洒水量为3.75 L C.当洒水量在2～4.25 L时，发芽率随着洒水量的增大而增大 D.洒水量为4.25 L时的发芽率小于洒水量为5 L时的发芽率 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 24 【考点】 二次函数的实际应用. 【解析】 把(2，0.2)，(5，0.5)，(2.5，0.5)分别代入p=av2+bv+c得解得 ∴p=-0.2v2+1.5v-2. 当v=1.8时，p=0.052，∴当洒水量为1.8 L时，发芽率为 0.052，故选项A结论错误，不符合题意； 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 25 ∵p=-0.2v2+1.5v-2=-0.2(v-3.75)2+， 且-0.2<0， ∴当v=3.75时，p有最大值， ∴最佳的洒水量为3.75 L，故选项B结论正确，符合题意； ∵p=-0.2(v-3.75)2+， ∴当2≤v<3.75时，发芽率p随着洒水量v的增大而增大， 当3.75<v≤4.25时，发芽率p随着洒水量v的增大而减小，故选项C结论错误，不符合题意； 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 26 由p=-0.2(v-3.75)2+可知，当v>3.75时，发芽率p随着洒水量v的增大而减小，∴洒水量为4.25 L时的发芽率大于洒水量为5 L时的发芽率，故选项D错误，不符合题意.故选B. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 27 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.请写出一个使代数式有意义的x的值：______________.  1(答案不唯一) 【考点】 二次根式有意义的条件、分式有意义的条件. 【解析】 由题意得2x+1>0，解得x>-，∴x可以为1. 故答案为1(答案不唯一). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 28 12.因式分解：3x2y-6xy+3y=________.  3y(x-1)2 【考点】 因式分解. 【解析】 3x2y-6xy+3y=3y(x2-2x+1)=3y(x-1)2. 故答案为3y(x-1)2. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 29 13.若x1，x2是方程x2+2x-2 030=0的两个实数根，则代数式+4x1+2x2 的值为______.  2 026 【考点】 一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系. 【解析】 ∵x1，x2是方程x2+2x-2 030=0的根， ∴+2x1-2 030=0，x1+x2=-2，则+2x1=2 030， ∴+4x1+2x2=+2x1+2(x1+x2)=2 030+2×(-2)=2 026. 故答案为2 026. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 30 【授之以渔】 ——方法指导 　　 牢记一元二次方程根与系数的关系公式：x1+x2=-，x1x2=，有时会结合这两个公式求代数式的值，有时会利用整体思想进行整体代入，可根据具体的数量关系选择不同的解法. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 31 14.如图，已知∠A1B1O=90°，∠A1OB1=45°，点A1在双曲线y=(x>0)上，点B1的坐标为(1，0)，延长A1B1至点C1，使B1C1=A1B1，过点C1作C1A2∥OA1交双曲线于点A2，过点A2作A2C2⊥x轴于点B2，且B2C2=A2B2， 过点C2作C2A3∥C1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3C3⊥x轴于点B3， 且B3C3=A3B3，……以此类推，则点B6的坐标为____________.  (+，0) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 32 【考点】 点的坐标规律探索、反比例函数的性质. 【解析】 如图，记A2C1，C2A3与x轴的交点分别为点M，N. ∵B1(1，0)，∴OB1=1. 在Rt△A1OB1中，∠A1OB1=45°， ∴A1B1=OB1=1. ∵C1A2∥OA1， ∴∠OA1B1=∠MC1B1，∠A1OB1=∠C1MB1. ∵A1B1=C1B1， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 33 ∴△OA1B1≌△MC1B1(AAS)， ∴B1M=OB1=1. 设MB2=b，则A2B2=b，∴A2(2+b，b)， ∴(2+b)b=1，解得 b=-1(负值已舍去)， ∴B2(+1，0). 同理可证△MA2B2≌△NC2B2， ∴B2N=MB2=-1. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 34 设NB3=c，则A3B3=c， ∴A3(2+c，c)， ∴(2+c)c=1，解得c=-(负值已舍去)， ∴B3(+，0). … ∴B6(+，0). 故答案为(+，0). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 35 15.如图，点N在等边三角形ABC的边BC上，CN=8，射线BD⊥BC，垂足 为B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值 最小时，CM=6，则BN的长为___.  2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 36 【考点】 直角三角形的性质、等边三角形的性质、最短路径. 【解析】 如图，作点N关于BD的对称点N'，连接N'P，N'M， 则N'P=NP，N'B=NB， ∴MP+NP=MP+N'P≥N'M， ∴当N'M⊥AC时，MP+NP取得最小值. 作N'M⊥AC于点M'.当点M运动到M'处时， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 37 N'M'取得最小值，即MP+NP最小. ∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°， ∴∠CN'M'=30°. ∵CM'=6，∴CN'=2CM'=12. ∵CN=8， ∴BN=NN'=(CN'-CN)=×(12-8)=2. 故答案为2. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 38 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(8分)(1)计算：(π-3.14)0+2sin 45°--()-1. (2)先化简，再求值：÷(a+1-)，其中a是使不等式≤-1成立的整数. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 39 【考点】 (1)实数的混合运算；(2)分式的化简求值、解不等式. 解：(1)原式=1+2×-(-3)-4…………2分 =1++3-4 =.…………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 40 (2)原式=÷…………5分 =÷ =· =· =.…………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 41 ∵a是使不等式≤-1成立的整数， ∴a≤2，且a为整数. 又∵a-1≠0，(a+2)(a-2)≠0， ∴a≠1，2，-2，…………7分 ∴a可以取0. 当a=0时，原式==-1.(答案不唯一)…………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 42 【授之以渔】 ——失分陷阱 　　分式化简求值时，需要注意分式有意义的条件，分式化简过程中出现的分母都不为0，可以先排除一些不能代入的数值，再代入符合题意的数值进行计算即可避免丢分. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 43 17.(10分)为传承中华优秀传统文化，弘扬传统美德，某校在“世界读书 日”采取自愿报名的方式组织了国学经典诵读竞赛. 【数据的收集】 竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩(单位：分，满分100分)中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行统计，数据如下. 七年级10名学生的成绩：95，96，98，88，95，87，90，95，90，98. 八年级10名学生的成绩：96，89，98，82，98，100，84，97，83，99. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 44 【数据的整理】 将七、八年级的数据进行整理，绘制了如下统计图表(将数据划分为以下四组：80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100). 七、八年级抽取学生成绩的频数分布直方图 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 45 【分析数据】   根据以上信息，解决下列问题. (1)请补全频数分布直方图. (2)表格中的a=　　　　，b=　　　　.  年级 平均数 中位数 方差 七年级 a 95 14.96 八年级 92.6 b 47.64 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 46 【合理估计】 (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生国学经典诵读成绩较好？请说明理由. (4)该校100名七年级学生和80名八年级学生参加了国学经典诵读竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 47 【解决概率问题】 (5)从七、八年级抽取的这20名学生中，各选取年级成绩前两名的学生.从这4名学生中任选两名代表学校参加比赛.请用画树状图或列表的方法求所选取的两名学生恰好来自同一个年级的概率. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 48 【考点】 统计图表的分析、平均数、中位数、方差、用样本估计总体、用列表法或画树状图法求概率. 解：(1)补全的频数分布直方图如下.   …………2分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 49 (2)93.2　96.5…………4分 (3)我认为该校七年级学生国学经典诵读成绩较好.理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小.(答案不唯一，言之有理即可) …………6分 (4)100×+80×=128(名). 答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为128. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 50 (5)设七年级的两名学生为a，b，八年级的两名学生为A，B.根据题意列表如下. 第2名学生 第1名学生 a b A B a — (b，a) (A，a) (B，a) b (a，b) — (A，b) (B，b) A (a，A) (b，A) — (B，A) B (a，B) (b，B) (A，B) — …………9分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 51 由表格可知共有12种等可能的结果，其中所选取的两名学生恰好来自同一个年级的结果有4种，∴P(所选取的两名学生恰好来自同一个年级) ==.…………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 52 18.(8分)在数学活动课上，同学们探究了角平分线的多种作图方法.以下是三位同学的作法.   甲同学：用尺规作图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；作射线OP，则OP平分∠AOB. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 53 乙同学：用圆规和直角三角板，先在OA上取一点C，用圆规量取OC的长度，然后在OB上截取OD=OC；再用直角三角板过点C作OA的垂线，过点D作OB的垂线，两垂线交于点P；作射线OP，则OP平分∠AOB. 丙同学：用尺规作图，在OA上截取OC，在OB上截取OD，使OC=OD；连接CD，分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点E，F；作直线EF，则EF即为∠AOB的平分线. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 54 (1)甲同学通过证明△COP≌△DOP，得到∠COP=∠DOP，判定三角形全等的方法是　　　　　.  (2)对于乙同学的作法，同学们进行了讨论.有的同学认为其依据是三角形全等，请指出其中全等的三角形，并写出判定方法；还有的同学认为利用了角平分线的判定定理，请写出这个定理. (3)请你证明丙同学的作法是正确的. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 55 【考点】 全等三角形的性质与判定、角平分线的性质. (1)解：SSS …………2分 (2)解：乙同学的作法中，全等的三角形为△PCO和△PDO，判定方法是HL(斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等).…………3分 角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. …………4分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 56 (3)证明：如图，设EF与CD交于点G. 由作图可知OC=OD，∴点O在线段CD的垂直平分线上. 由作图知直线EF是线段CD的垂直平分线， ∴EF经过点O，…………6分 ∴CG=GD，∠CGO=∠DGO=90°， ∴Rt△COG≌Rt△DOG(HL)， ∴∠COG=∠DOG， ∴OF平分∠AOB. …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 57 19.(7分)某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试.测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如表所示： 行驶时间x(h) 0 1 2 3 4 … 剩余电量y(kW·h) 90 75 60 45 30 … 行驶路程s(km) 0 90 180 270 360 … 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 58 这辆新能源汽车电池的剩余电量y(kW·h)与行驶时间x(h)，行驶路程s(km)与行驶时间x(h)之间满足不同的一次函数关系. (1)①直接写出s与x之间的函数关系式：　　　　　　.  ②求y与x之间的函数关系式.(①②不要求写出自变量x的取值范围) (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的15%时，必须停止测试开始充电.求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 59 【考点】 一次函数的实际应用. 解：(1)①s=90x…………2分 ②设y=kx+90，当x=1时，y=75，即k+90=75， 解得k=-15， ∴y=-15x+90. …………4分 (2)当y=90×0.15=13.5时，-15x+90=13.5， 解得x=5.1， ∴s=90×5.1=459(km). …………6分 答：行驶的最远路程为459 km. …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 60 20.(10分)如图，E为正方形ABCD的边BC上的一点，☉O是△ABE的外接圆，与AD交于点F，G是CD上一点，且∠DGF=∠AEB. (1)求证：FG是☉O的切线. (2)若AB=8，DG=2，求☉O的半径. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 61 【考点】 正方形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质. (1)证明：如图，连接OF. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABE=90°， ∴∠DGF+∠DFG=∠AEB+∠BAE. ∵∠DGF=∠AEB，∴∠DFG=∠BAE. …………2分 ∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA. ∵∠BAE+∠OAF=90°，∴∠DFG+∠OFA=90°， ∴∠OFG=90°，即OF⊥FG. …………4分 ∵OF是☉O的半径，∴FG是☉O的切线. …………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 62 (2)解：如图，连接EF. ∵AE为☉O的直径，∴∠AFE=90°. ∵∠FAB=∠ABE=90°，∴四边形ABEF为矩形，∴AF=BE. ∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=8， 设BE=x，则AF=x，∴DF=AD-AF=8-x. ∵∠DGF=∠AEB，∠D=∠ABE=90°， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 63 ∴△FDG∽△ABE，…………8分 ∴=，即=，解得x=4. 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE==4， ∴☉O的半径为2. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 64 【命题特点】 山东中考数学圆的综合题 考查点： ①圆周角定理、垂径定理、切线的判定与性质等与圆有关的基本性质； ②不规则阴影部分面积的计算； ③逻辑推理思维、数形结合思维等. 考查形式： ①以解答题形式出现，结合特殊三角形或特殊四边形进行考查； ②一般设2小问，第1小问一般考查切线的判定，第2小问一般求线段的长度或阴影部分的面积. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 65 21.(10分)【问题情境】 某餐厅在门外走廊安装了遮阳篷，到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量.为了加强遮阳效果，要在遮阳篷前端加装一块挡板. 【问题提出】 遮阳篷的示意图如图1所示.在遮阳篷前端加装一块挡板BC(竖直方向)，示意图如图2所示.现需要根据当地正午太阳高度角计算挡板的长度，请你帮忙完成以下探究任务. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 66 【测量数据】 用卷尺测量出遮阳篷AB长为3.9 m，靠墙端离地面高AD为5 m.已知遮阳篷与墙面的夹角为α(cos α=)，旺季当地正午的太阳高度角(太阳光线与地面的夹角)为70°，为使走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6 m. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 67 【问题解决】 (1)求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离； (2)根据以上信息，请你计算挡板BC至少要多长才能确保遮阳效果.(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 70°≈0.940，cos 70°≈0.342，tan 70°≈ 2.747) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 68 【考点】 解直角三角形的应用、矩形的性质. 解：(1)如图，过点B作BN⊥AD于点N. ∵cos α=，cos α=，AB=3.9 m， ∴=， ∴AN=1.5 m，…………3分 ∴BN===3.6(m). 答：遮阳篷前端B到墙面AD的距离约为3.6 m. …………5分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 69 (2)如图，延长BC交DE于点M，则BM⊥DE， ∴∠BMD=90°. 又∵BN⊥AD，AD⊥DE， ∴∠ADE=∠BND=90°， ∴∠BMD=∠ADE=∠BND=90°， ∴四边形BNDM是矩形， ∴MD=BN=3.6 m，BM=ND. …………7分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 70 由(1)得AN=1.5 m， ∴ND=AD-AN=5-1.5=3.5(m). 当走廊的遮阳宽度DF为2.6 m时， MF=MD-FD=3.6-2.6=1(m). …………8分 ∵tan∠CFM=，∴tan 70°=， ∴CM≈2.747 m， ∴BC=BM-CM=ND-CM=3.5-2.747≈0.8(m). 答：挡板BC至少要0.8 m才能确保遮阳效果. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 71 【回归教材】 　　此题根据鲁教版九年级上册数学教材第58页综合与实践改编而来.通过设计遮阳篷的实践活动，探究光线角度与遮阳篷相关的数量和角度关系. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 72 22.(10分)在综合实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题. 操作探究 (1)将三角形纸片ABC(∠BAC=90°)进行如下操作. ①第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平，则∠DEC=　　　　度，BD与CD的数量关系为　　　　　.  1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 73 ②第二步：如图2，将△DEC绕点D顺时针旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N，试写出MF与ME的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸 (2)在(1)的条件下，将△DEC绕点D顺时针旋转的过程中，当直线GF经过点B时，如图3所示，若AB=6，AC=8，求AM的长. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 74 【考点】 三角形的综合. 解：(1)①90　BD=CD…………2分 ②ME=MF. …………3分 证明如下：∵折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE， ∴DE⊥AC，∴∠DEM=90°. 如图，连接DM. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 75 根据旋转性质可知DE=DF，∠DFM=∠DEC=90°， ∴∠DEM=∠DFM. 又∵DM=DM，∴Rt△DEM≌Rt△DFM(HL)， ∴ME=MF. …………6分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 76 (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC===10. 由(1)知点D是BC的中点，点E是AC的中点， ∴BD=BC=5，DE=AB=3，AE=CE=AC=4. 由旋转得∠DFM=∠DEC=90°，DF=DE=3， ∴∠DFB=90°. …………7分 在Rt△DFB中， 由勾股定理得BF===4， 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 77 由(1)知ME=MF. 设ME=MF=x，则AM=4-x，BM=4+x. 在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2+AM2=BM2，…………8分 即62+(4-x)2=(4+x)2， 解得x=， ∴AM=4-x=4-=. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 78 23.(12分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，对称轴为直线x=1. (1)若抛物线经过点(1，-4)，(2，-3). ①求抛物线的解析式. ②若点A是抛物线的顶点，P是对称轴右侧抛物线上的一点，B是y轴上一点，C是坐标平面内一点，是否存在以PA为一边的正方形APBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (2)若抛物线上存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m-1<x1<m，m+2<x2<m+4，且y1=y2，求m的取值范围. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 79 【考点】 二次函数的性质探究、正方形的性质. 解：(1)①∵对称轴为直线x=1， ∴-=1，∴b=-2a， ∴y=ax2-2ax+c. …………1分 将(1，-4)，(2，-3)分别代入得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3. …………3分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 80 ②存在. …………4分 ∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴A(1，-4). …………5分 如图，过点P作MN∥y轴，过点A作 AM⊥MN于点M， 过点B作BN⊥MN于点N，则∠M=∠N=90°. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 81 设P(m，m2-2m-3)， 则PM=m2-2m-3+4=m2-2m+1，AM=m-1. 在正方形APBC中，PA=PB，∠APB=90°， ∴∠APM=90°-∠BPN=∠PBN， ∴△APM≌△PBN(AAS)， ∴PN=AM=m-1，BN=PM=m2-2m+1. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 82 ∵BN=xP=m， ∴m2-2m+1=m，即m2-3m+1=0， ∴m=(舍去小于1的值)，…………7分 ∴P(). …………8分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 83 (2)【一题多解】 解法一：设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k(a>0). ∵二次函数的图象上存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴y1=a(x1-1)2+k，y2=a(x2-1)2+k，…………9分 ∴y1-y2=[a(x1-1)2+k]-[a(x2-1)2+k] =a(x1-1)2-a(x2-1)2 =a(x1-x2)(x1+x2-2). …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 84 ∵m-1<x1<m，m+2<x2<m+4， ∴x1-x2<0，2m+1<x1+x2<2m+4. ∵y1=y2，a>0， ∴x1+x2-2=0，∴x1+x2=2， ∴2m+1<2<2m+4， ∴-1<m<. …………12分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 85 解法二：∵m-1<x1<m，m+2<x2<m+4，∴x1<x2. ∵y1=y2， ∴点M(x1，y1)在对称轴直线x=1的左侧，点N(x2，y2)在对称轴直线x=1的右侧. 设点M(x1，y1)关于直线x=1的对称点为M'(x0，y1)， 则x0-1=1-x1，∴x0=2-x1. ∵m-1<x1<m， ∴2-m<2-x1<3-m，即2-m<x0<3-m. …………10分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 86 ①当3-m≤m+2时，不存在y1=y2； ②当2-m<m+2<3-m时，存在y1=y2， ∴0<m<； ③当m+2≤2-m<3-m≤m+4时，存在y1=y2， ∴-≤m≤0； 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 87 ④当2-m<m+4<3-m时，存在y1=y2， ∴-1<m<-； ⑤当m+4≤2-m时，不存在y1=y2. 综上所述，m的取值范围是-1<m<. …………12分 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 88 【错题反思】   核对完答案后，将错题做重点反思.对应的考点如果还有不明白的地方，可回到《中考备战》《学考传奇》(或者手上的其他一轮资料)中再深入复习一遍. 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T11、T12、T13、T16、T17 再接再厉鼓舞你 T8、T9、T18、T19、T20 伤筋动骨磨炼你 T10、T14、T15、T21 学霸登顶恭喜你 T22、T23 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 题序 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 22 23 89 90 $