21.2.2 平行四边形的判定 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

21.2.2 平行四边形的判定 数学　八年级下册 平行四边形的判定(1)——对角线、角 数学　八年级下册 探究平行四边形的判定 1.(新教材P60引例改编)如图, 在四边形ABCD中, AC, BD相 交于点O, 且OA＝OC, OB＝OD.求证：四边形ABCD是平 行四边形. 证明：∵OA＝OC, OB＝OD, , ∴ . ∴ . ∴AB∥CD.同理, . ∴四边形ABCD是平行四边形. ∠AOB＝∠COD △AOB≌△COD(SAS) ∠OAB＝∠OCD AD∥BC 数学　八年级下册 2.如图所示的四边形ABCD (填“是”或“不是”)平行四边 形. 是 数学　八年级下册 总结： 图形 平行四边形的判定(有关对角线、角) 几何语言 判定1：对角线 的四边形是平行四边形 ∵ , ∴四边形ABCD是平行四边形 判定2：两组对角分别 1 的四边形是平行四边形 ∵　 1 , ∴四边形ABCD是平行四边形 互相平分 OA＝OC, OB＝OD 相等 ∠BAD＝∠BCD ∠ABC＝∠ADC 数学　八年级下册 利用有关对角线、角的判定证明平行四边形 3. (判定1)(新教材P60例4)如图, ▱ABCD的对角线AC, BD 相交于点O, 点E, F在AC上, 并且AE＝CF. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BO＝OD, AO＝CO. ∵AE＝CF, ∴OA－AE＝OC－CF. ∴EO＝OF. 又∵OB＝OD, ∴四边形BFDE是平行四边形. 数学　八年级下册 4.(新教材P61 T3)如图, ▱ABCD的对角线AC, BD相交于点 O, 且E, F分别是OA, OC的中点. 连接DE, DF, BE, BF. 求证：四边形DEBF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA＝OC, OB＝OD. ∵E, F分别是OA, OC的中点, ∴OE＝ OA, OF＝ OC. ∴OE＝OF.又∵OB＝OD, ∴四边形DEBF是平行四边形. 数学　八年级下册 5. (判定2)如图, 在四边形ABCD中, 已知∠A＝∠C, AD∥BC.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵AD∥BC, ∴∠A＋∠B＝180°,∠C＋∠D＝180°. ∵∠A＝∠C, ∴∠B＝∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 6.如图, 在四边形ABCD中, ∠B＝∠D, ∠DCA＝∠CAB.求 证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠B＝∠D, ∠DCA＝∠CAB, ∴∠DAC＝∠ACB. ∴∠DAC＋∠CAB＝∠ACB＋∠DCA, 即∠DAB＝∠DCB. 又∵∠B＝∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 7.如图, 在四边形ABCD中, AC, BD相交于点O.若AC＝8 cm, BD＝10 cm, 则当AO＝ cm, DO＝ cm时, 四边形ABCD 为平行四边形. 4 5 数学　八年级下册 8.下面给出了四边形ABCD中∠A, ∠B, ∠C, ∠D的度数之 比, 其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A. 1∶2∶3∶4 B. 2∶2∶3∶3 C. 2∶3∶2∶3 D. 2∶3∶3∶2 C 数学　八年级下册 9.如图, 四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, ∠1＝ ∠2, OA＝OC.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△COD和△AOB中, ∴△COD≌△AOB(AAS). ∴OD＝OB.又∵OA＝OC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 10.如图, O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点, EF经过 点O, 且与AB交于点E, 与CD交于点F.求证：四边形 AECF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CF∥AE. ∴∠OCF＝∠OAE. 数学　八年级下册 ∵O为AC的中点, ∴AO＝CO. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF. 又∵AO＝CO, ∴四边形AECF是平行四边形. 数学　八年级下册 11.如图, 在▱ABCD中, AE, CF分别是∠DAB, ∠BCD的平 分线. 求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：在▱ABCD中, ∠BAD＝∠BCD, AD∥BC. ∵AE, CF分别平分∠DAB, ∠BCD, ∴∠EAF＝ ∠BAD, ∠FCE＝ ∠BCD. 数学　八年级下册 ∴∠EAF＝∠FCE. ∵AD∥BC, ∴∠EAF＝∠AEB. ∴∠FCE＝∠AEB.∴AE∥CF. 又∵AF∥EC, ∴四边形AFCE是平行四边形. 数学　八年级下册 12.如图, 已知在平行四边形ABCD中, ∠BAD的平分线AE交 CD于点F, 交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)若BF恰好平分∠ABE, 连接AC, DE.求证：四边形 ACED是平行四边形. 数学　八年级下册 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, AB＝CD. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB. ∴BE＝CD. 数学　八年级下册 (2)∵BE＝AB, BF平分∠ABE, ∴AF＝EF. 在△ADF和△ECF中, ∴△ADF≌△ECF(ASA).∴DF＝CF. 又∵AF＝EF, ∴四边形ACED是平行四边形. 数学　八年级下册 平行四边形的判定(2)——边 数学　八年级下册 图形 平行四边形的判定(有关边) 几何语言 判定3：两组对边分别 5的四边形是平行四边形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是平行四边形 判定4： 两组对边分别 5 的四边形是平行四边形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是平行四边形 判定5： 5组对边 5 且 5 的四边形是平行四边形 ∵ 5 , ∴四边形ABCD是平行四边形 平行 AB∥CD, AD∥BC 相等 AB＝CD, AD＝BC 一 平行 相等 AB CD(或AD BC) 数学　八年级下册 1. (判定3)如图, 在四边形ABCD中, ∠1＝∠2, AD∥BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠1＝∠2, ∴AB∥CD. 又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 2.如图, 在四边形ABCD中, ∠1＝∠2, ∠3＝∠4.求证：四边 形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠1＝∠2, ∴AD∥BC. ∵∠3＝∠4, ∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 3. (判定4)如图, 在四边形ABCD中, ∠A＝∠C, ∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△ABD和△CDB中, ∴△ABD≌△CDB(AAS). ∴AB＝CD, AD＝BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 4.如图, 在▱ABCD中, 点E, F分别在AB, DC上, 且AE＝CF. 求证：四边形DEBF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB＝CD, AB∥CD. ∵AE＝CF, ∴AB－AE＝CD－CF, 即BE＝DF. 易证△ADE≌△CBF(SAS). ∴DE＝BF.∴四边形DEBF是平行四边形. 数学　八年级下册 5. (判定5)如图, 在四边形ABCD中, AB＝CD, ∠1＝∠2.求 证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠1＝∠2, ∴AB∥CD. 又∵AB＝CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 6.如图, 在四边形ABCD中, AD＝BC, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂 足分别为E, F, AE＝CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵AE⊥BD, CF⊥BD, ∴∠AED＝∠CFB＝90°. 在Rt△AED和Rt△CFB中, ∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL). ∴∠ADE＝∠CBF.∴AD∥BC. 又∵AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 7.如图, 在四边形ABCD中, 已知AB∥CD, 添加一个条件, 可 使四边形ABCD是平行四边形. 下列条件中不符合要求的 是 ( ) A.BC∥AD B. BC＝AD C. AB＝CD D. ∠A＋∠B＝180° B 数学　八年级下册 8.如图是四连杆平开窗铰链及其示意图, 已知AB＝40 cm, BC＝25 cm, DE＝CF＝10 cm, CD＝EF＝9 cm.当 CD⊥AB时, 窗户为完全开启状态, 则点A到点E的距离为 cm. 28 数学　八年级下册 9.如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, E为AB的中点, 连接 DE并延长交CB的延长线于点F, 且B为CF的中点. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵E为AB的中点, ∴AE＝BE. ∵AD∥BC, ∴∠EAD＝∠EBF. 数学　八年级下册 在△ADE和△BFE中, ∴△ADE≌△BFE(ASA).∴AD＝BF. ∵B为CF的中点, ∴BF＝BC.∴AD＝BC. 又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 数学　八年级下册 10.如图, 分别以△ABC的三边为边长, 在BC的同侧作等边 △ABD、等边△BCE、等边△ACF, 连接DE, EF.求证： 四边形ADEF是平行四边形. 证明：∵△ABD, △BCE, △ACF是等边三角形, ∴∠ABD＝∠EBC＝60°, AD＝AB, BE＝BC, AC＝AF. ∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA＝60°, ∴∠DBE＝∠ABC. 数学　八年级下册 在△DBE和△ABC中, ∴△DBE≌△ABC(SAS).∴DE＝AC. 又∵AC＝AF, ∴DE＝AF.同理可证DA＝EF. ∴四边形ADEF是平行四边形. 数学　八年级下册 11.【核心素养·模型观念】 如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, AD＝12 cm, BC＝15 cm.点P自点A向点D以 1 cm/s的速度运动, 到点D即停止. 点Q自点C向点B以 2 cm/s的速度运动, 到点B即停止. 当点P, Q同时出发时, 设运动时间为t s. (1)当t为何值时, 四边形APQB为 平行四边形？ (2)当t为何值时, 四边形PDCQ为平行四边形？ 数学　八年级下册 解：(1)依题意, 得AP＝t cm, CQ＝2t cm, PD＝(12－t)cm, BQ＝(15－2t)cm. ∵AD∥BC, ∴当AP＝BQ时, 四边形APQB是平行四边形. ∴t＝15－2t, 解得t＝5. ∴当t＝5时, 四边形APQB为平行四边形. 数学　八年级下册 (2)∵AD∥BC, ∴当PD＝QC时, 四边形PDCQ是平行四边形. ∴12－t＝2t, 解得t＝4. ∴当t＝4时, 四边形PDCQ为平行四边形. 数学　八年级下册 $