专题07 图形的变化（相似三角形、锐角三角函数、投影与视图）3大考点（广东专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 图形的变化2 3大考点概览 考点01 相似三角形 考点02 锐角三角函数 考点03 投影与视图 相似三角形 考点01 1．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义以及相似三角形等知识点，合理画出辅助线是解题的关键． 法一：过点C作，交的延长线于点E，由相似求出和的长，即可求解； 法二：过点D作，交于点F，由比例关系得出的长，即可得到解． 【详解】解： 在中，，， ， ∴， 方法一：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， ， ， ，， ， 在中，； 方法二，如图，过点D作，交于点F， ， ， ，，， ， ， ， 在中，． 2． （2025·广东广州·一模）如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵点D、E分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， 同理，，， ∴的面积． 3．（2026·广东深圳·一模）如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作分别交于点，证明，得出，设，则，根据得出，进而根据三角形的面积公式求得、，再求比值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交于点， 设正方形的边长为， ∵点为边上靠近点的三等分点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 4．（2026·广东·一模）如图，正方形的边长为，为线段上一点，点为边的中点，的延长线与的延长线交于点，，交于，交的延长线于，点是的中点．连接、．下列结论：①当点为边的中点时，；②；③当时，；④若点从点运动到点，则此过程中点移动的距离为．其中正确的结论的个数为() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当点是的中点时，由条件可知，由勾股定理求出，通过证明，可以得出，．过作于如图，可以得出，可以求出，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．作于，于易证和，根据全等三角形的性质推出，即可判断②；求出，求出，得出，在中根据勾股定理求出，即可判断③；当在点时，为正方形中心当运动到点时，运动到，证推出，即可判断④． 【详解】解：过作于， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， 、分别为、中点， ，， 由勾股定理得：， 四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，，， ， ， 在中，由勾股定理得： ，①错误； 过作于， ，四边形是正方形， ，， ， ，， ， 在和中 ， ，②正确； ，，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，③正确； 当在点时，为正方形中心 当运动到点时，运动到， 为的中点，为中点， ， ，， ， ， ，④正确； 综上所述，正确的有个． 5．（2026·广东惠州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接，若平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，求得，再证明，设，，利用相似三角形的性质得到，设，即，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，则， 即， 设， ∴，即， 解得或（舍）， 经检验是原方程的解， ∴． 6．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 8．（2026·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作矩形，边所在直线交轴于点．设点的坐标为，若矩形的面积始终为，则下列说法不正确的是（   ）． A．当点在轴上时，点的坐标为 B． C．OE的长始终为 D．的取值范围为 【答案】B 【分析】对于A与B，画出点A在轴上的图，由图可得点的坐标为，同时，故A正确，B错误；对于C，作轴于点，容易证明，则，故C正确；对于D，由定弦定角可判断点在以为直径的圆上，从而得到． 【详解】解：对于A与B：如图， 由题意可知，点的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为，即，故B错误， 在矩形中，， ∴点的坐标为，故A正确； 对于C：如图，作轴于点， ∵轴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； 对于D：∵，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，设中点为， ∴， ∵点到轴的距离为， 又∵垂线段最短， ∴，即， ∴，故D正确． 9．（25-26九年级上·广东茂名·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，已知四边形的外接圆的半径是，对角线与的交点为，，，，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，可得，进而得到，连接，交于点．连接，可得，，则可求. 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， 如图，连接，交于点．连接， ， ，， ，， ， ， ，， ， ∴. 故选：C. 11．（2026·广东广州·一模）如图，在矩形中，，．动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P向对角线作垂线，垂足为Q，设，的面积为y．则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段讨论：当点P在上时，当点P在上时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， 根据点P的运动，需要分段讨论： ①当点P在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，； ∴，即， ∵点P在上， ∴ ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象是开口向上的一段抛物线； 当点P在上时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，， ∴， ∵点P在上， ∴， ∴，即， ∴y关于x的函数关系式为，图象开口向下的一段抛物线． 综上所述，选项A的图象符合题意． 12．（2026·广东汕头·一模）如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查正方形基本性质，相似三角形基本性质以及黄金分割比，能够正确作出辅助线证得三角形相似是解题关键； 延长，交的延长线交于点，先证得，进而，再通过折叠得，，，进而，，设，则，，进而求出，进而可得到，进而可求解． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是正方形． ∴，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是， 故选：C． 13．（2026·广东珠海·一模）如图，在平行四边形中，，相交于点O，点F在上，且，连接交于点E，则下列结论：①；②；③；④． ，其中一定正确的是（    ） A．③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质及三角形周长和面积计算．利用平行四边形对边平行的性质，判定，根据相似比求出线段比，进而判断结论①和②，再利用相似三角形周长比等于相似比，判断结论③，最后利用三角形面积公式和比例关系，计算面积比，判断出结论④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，得， ∴，故①错误； 在和中，， 由结论①可知，，， ∵， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， 根据相似三角形的性质，周长比等于相似比， ∴，即，故③正确； 由，且， 得，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∵O是中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有③④， 故选：A． 14．（2026·广东东莞·一模）如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题．设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：B． 15．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点H，连接，则，由平行四边形的性质得，，则，，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵点E在的延长线上，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 16．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，延长，相交于点，证明，则，，证明，求出，证明，求出，则，证明，得到，则，得到，则，在中，，则，即可求出． 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）． 17．（2026·广东江门·一模）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与分别相交于点．设的面积依次为、、，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】由全等矩形的性质可得，，，，进而可证，再由，， 可得，，即得到，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵矩形是由三个全等矩形拼成的， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ∵， ， ， ，， ． 18．（2026·广东·一模）如图，在矩形中，，．点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动到点C停止．当点P不与矩形的顶点重合时，过点P作直线，与矩形的边的另一交点为Q．设点P的运动时间为t（秒）． （1）连接，当时，的面积为________； （2）当点P在上运动时，设的长为y，则y与t之间的函数关系式为________． 【答案】 6 【分析】根据题意得到当时，点P在线段的中点处，结合矩形的性质和判定得到四边形是矩形，由面积公式即可得到的面积为6，当点P在上运动时，，，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿顺时针方向运动，运动时间为t（秒）， ∴当时，点P在线段的中点处，如图所示， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 当点P在上运动时，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴． 19．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 20．（2026·广东佛山·一模）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，，，那么的长度是________． 【答案】4 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，再由折叠的性质得到，结合推出，从而得到．接着利用平行线判定，根据相似三角形的对应边成比例列方程，最后求解的长度． 【详解】解：设， ， ，， 由折叠的性质可知：， ， ， 又， ， , ， ， ， , 即， 解得， 即的长度是． 21．（2026·广东湛江·一模）如图，在中，、是弦，是直径，是半径且交于点D，请写出三个不同类型的结论________________________________________． （请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线） 【答案】见解析 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质，三角形中位线定理等，写出不同类型的结论即可 【详解】解：结论①：， 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论②：， 理由：直径所对的圆周角是直角； 结论③：， 理由：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 结论④：， 理由：， ， ， ； 结论⑤：， 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑥： 理由：垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）； 结论⑦：是的中位线； 点是的中点，点是的中点， 是的中位线； （答案不唯一） 22．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【分析】（1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 23．（2026·广东江门·一模）如图，把一张三角形纸片沿中位线剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置，则__________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得，从而，再根据中位线定理，得，，从而，，最后根据相似三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置， ， ， ， 是三角形的中位线 ，， ， 相似比为， ， ． 24．（2026·广东深圳·一模）如图，四边形内接于圆，，，，连接，交于点E，则_______． 【答案】 【分析】根据题意，设，进而解三角形可得，再证、，进而得到，，再相乘即可求解． 【详解】解：， 为圆的直径， ， ， ， 又， ， 不妨设，则， ，， （对顶角相等），（同弧所对圆周角相等）， ， ， （对顶角相等），（同弧所对圆周角相等）， ， ， ． 25．（2026·广东珠海·一模）如图，菱形的边长为6，，E在线段上，，则的长度为______． 【答案】 【分析】连接，设交于点O，过点E作于点F，根据菱形的性质可得为等边三角形，再结合勾股定理可得，证明，可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O，过点E作于点F， ∵菱形的边长为6， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 26．（2026·广东东莞·一模）《墨子•天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________． 【答案】 【分析】连接，根据位似图形的性质，可得正方形的边长，用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，正方形ABCD的边长为1，， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为． 27．（2026·广东梅州·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用位似比求出点的坐标，进而确定反比例函数解析式，再求出点的坐标． 先根据矩形性质和位似比求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，再结合点的纵坐标特征求出其横坐标，确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，点的坐标为， ∴ ，． ∵ 矩形与矩形的位似比为，以为位似中心， ∴ 点的坐标为，即 ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ，即反比例函数解析式为． ∵ 点在边上，轴， ∴ 点的纵坐标为． 把代入，得， 解得． ∴ 点的坐标为． 故答案为：． 28．（2026·广东深圳·一模）如图，在正方形中，点是边的中点，将边绕点旋转，当点的对应点恰好落在上时，连接，延长交于点，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，设正方形的边长为2，先证明，求出，再由旋转以及等腰三角形的性质得到，再证明，求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 设正方形的边长为2，即， ∵点是边的中点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【答案】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 30．（2026·广东深圳·一模）如图，在中， ，D为上一点，连接，以为直角边向右侧作等腰直角， ，与交于点F，连接，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】先证明，再证明，得到，进而推出，过F作交于点G，推出，设，求出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过F作交于点G，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 31．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 32．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 33．（2026·广东江门·一模）在中，，点P在边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作，交射线于点Q． (1)如图，若点Q在线段的延长线上，，探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点Q在线段上，，，求的长． (3)如图，若，求在运动过程中线段长度的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)6 【分析】（1）由，，得到，再求出，得到，则； （2）过作于，证明，得到，设，则，，，再根据直角三角形的性质得，根据，解得，代入即可； （3）在运动过程中线段长度的最小值时，在线段上，参考第（2）问的思路求解即可；过作于，证明，得到，设，，，， ∴，再根据直角三角形的性质得，，根据，解得，代入 整理得，最后根据，解得，即可得到在运动过程中线段长度的最小值为． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过作于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； （3）解：在运动过程中线段长度的最小值时，在线段上， 过作于， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得， ∴， 整理得， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴在运动过程中线段长度的最小值为． 34．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形证明，得到，； （2）由矩形得到，结合，得到，即可得到，，； （3）交于点，先求出，再由，得到，即可求出，，，最后根据勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：，，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 延长交于点，记与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 35．（2026·广东中山·一模）在矩形中，连接． (1)如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）作的垂直平分线交于P，点P即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得​，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； 由作图可得：， ∴； （2）解：如图， 由（1）得，， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 解得． 36．（2026·广东深圳·一模）【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． (1)【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． (2)【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． (3)【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】(1)，； (2) (3)图见解析，或 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 37．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． (1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图即可解答； （2）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵四边形为矩形． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 38．（2026·广东东莞·一模）东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长的运河．是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹．某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点，再在河的这边取两点B、C，在点处测得与河岸的夹角为，在点处测得与河岸的夹角为，、两点间的距离为100米． (1)求该段运河的宽度（即中边上的高）； （结果精确到0.1米；参考数据：） (2)学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案． 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）过点A作的延长线于点D，设,则，根据，即可列出方程； （2）过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作，测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图，过点A作的延长线于点D， 设, 由图可知，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∴, ∴河的宽度约为； （2）如图2，过河对岸点A作，在河这边任选一点C，作， 测量，，的长度，通过相似可得河宽的长度． 39．（2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【答案】(1)的长为或 (2)证明过程见详解 (3)作图见详解 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据相似三角形的判定和性质得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 40．（2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）直接把代入，求解即可； （2）过点F作交于G，得，得出进而得到，再根据矩形的性质与点E的坐标，求出点F的坐标，进而求出点D的坐标即可； （3）先证明四边形为矩形，再连接，再利用 矩形的性质与等腰三角形的判定，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：过点F作交于G，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∵矩形，， ∴点B的纵坐标为9，即， ∴，即点F的纵坐标为3， 当时，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，则， ∴． （3）解：，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E， ∴设，，， 则，， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，， 把代入得， ∴ ∵， ∴轴， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∵矩形 ∴ ∴四边形为矩形， 连接，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·广东深圳·一模）综合与探究：菱形 中，，，连接，是上的动点，将绕点顺时针旋转得到． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接交于，当是等腰三角形时，求的长度； (3)如图3，连接交于，连接，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3) 【分析】（1）证明，得，可证出，即可证明； （2）对等腰三角形的相等边进行分类讨论，结合相似三角形和三角函数求得对应的的长度； （3）由于的面积与的面积相等，得，通过相似三角形面积比为相似比得平方，可得出的临界值，得出最终结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ， 又∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 当重合时，， 此时重合，： ②， ∵， ， ∴， ∴， 此时， 连接，交于点，如下图所示： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③， 此时， ∴， ∴， 综上所述，或或． （3）解：由菱形的对称性得：， 的面积与的面积相等， ∴， 当与，重合时，取得最大值， 所以， 当时，取得最小值， 所以， 综上所述． 42．（2026·广东东莞·一模）如图，C，D两点在以为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径为r，，点E在上运动（不与点C，D重合），连接，，分别交，于点M，N． 【问题发现】 (1)如题图1，当，且E是的中点时，试猜想与r之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如题图2，当，且E不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如题图3，若，，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意，得，证明四边形是正方形，求解即可． （2）取的中点F，连接,分别交于点G，H，分点E在上和点E在上两种情况证明即可． （3）过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T，通过证明，求解即可． 【详解】（1）解：与r之间的数量关系为．理由如下： 连接，根据题意，得， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ， ． （2）解：结论仍然成立．理由如下： 取的中点F，连接,分别交于点G，H， 根据（1）的证明，知四边形是正方形，， ， 当点E在上时，如图所示， 根据（1）的证明，知都是等腰直角三角形， ，， ，为半圆的直径, ， 根据四边形内角和，得， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当点E在上时，如图所示，同理可证， ∴， ∴ ． （3）解：过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T， ，， ， ， ， ，， ，， 为半圆的直径, ， ， ， 根据（2）的证明，可证明， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 43．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 44．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①见解析；②的长为或或． (3)的值为． 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 45．（2026·广东中山·一模）在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则． 【概念理解】 (1)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点，连接，，和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设妙趣角的度数为x．根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）先根据新定义证明，再证，推出，即可证明； （3）连接，，设，由为妙趣角，得出，由为妙趣角，得出，根据内角和为180度列式可求得，再证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设妙趣角的度数为x． 则， 解得， 即妙趣角的度数为． （2）证明：如图，作交于D， ， 是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，，设， 为妙趣角， ， ， 是的直径， ， ， 为妙趣角， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 故， ∵， ∴， 则， 即， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 锐角三角函数 考点02 1．（2026·广东江门·一模）在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵米， ∴米． 2．（2026·广东广州·一模）如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，首先根据菱形的性质以及菱形面积公式确定的长度，再利用勾股定理解得的值，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 4．（2026·广东东莞·一模）如图，在矩形中，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，使点在线段上，交于点，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，根据，，利用同角的余角相等，得到，从而推出，在中，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ． 5．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 6．（2026·广东汕头·一模）在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 7．（2026·广东汕尾·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意，得设， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 8．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，则，根据旋转的性质得，，利用平角的定义求得，在中利用三角函数的知识求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， 则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为． 9．（2026·广东广州·一模）如图，放置在正方形网格中，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数求解． 【详解】解：如图所示， ∴ ∴， ∴． 10．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过． 11．（2026·广东东莞·一模）如图，在直角梯形中，，作垂直于点E，连接，则的长度等于（） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出梯形的高，进而确定的三角函数值；然后求出的长；最后通过构造直角三角形求出的长。 【详解】解：过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中， 12．（2026·广东珠海·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出，通过同角的余角相等，证得，最后在中计算即可求解． 【详解】解：连接，    ∵矩形，， ∴设，， ∵是中点， ∴， ∴ ∵，， 又∵折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2026·广东深圳·一模）“综合与实践”活动小组的同学借助无人机要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴楼与之间的距离的长约为． 14．（2026·广东·一模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于D，利用锐角三角函数的定义列式即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， 则点A到的距离为． 15．（2026·广东深圳·一模）如图，2026年春晚《武》节目中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作．若该斜坡的坡度为，机器人腾跃点的水平宽度厘米，则腾跃点的垂直高度为（   ） A．30厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．120厘米 【答案】B 【分析】根据坡度代入数据计算即可． 【详解】解：∵该斜坡的坡度为， ∴， 又厘米， ∴（厘米）． 16．（2026·广东茂名·一模）计算的结果是_________． 【答案】1 【详解】解：原式． 17．（2026·广东江门·一模）计算：________． 【答案】 2 【详解】解：原式 ． 18（2026·广东广州·一模）如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 19．（2026·广东中山·一模）计算：_______ ． 【答案】 【详解】解：． 20．（2026·广东广州·一模）美国华盛顿大学研究团队在年发现了一种新的不规则五边形（如图①）．相互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形，这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子．设此五边形中．则______；该五边形的周长为______． 【答案】 【分析】先将图②抽象成数学模型，根据邻角之间的关系可得关于五边形五个内角的方程组，求解出每个角的值即可．根据抽象所得的图③可知，，．连接，，作于点，取的中点，连接，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，由勾股定理和三角函数可计算出，，．由和可判断，进而得到也是等腰直角三角形，因此，最后利用所得数据计算周长即可． 【详解】解：将图②抽象成几何图形可得， 由图③可知， ， 解得， 如图④，连接，，作于点，取的中点，连接， 由图③可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 21．（2026·广东江门·一模）计算：__________． 【答案】 2 【分析】根据负整数指数幂和特殊的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 22．（2026·广东广州·一模）如图，中，，，，以为中心，将顺时针旋转，使得点落在延长线上的点，此时点落到点，则在旋转中，边变到边所扫过的面积为______平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】先求出，，由旋转性质可得， ，，然后通过．即可求解 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， ∵将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到延长线上的点， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴边变到边所扫过的面积为平方厘米． 23．（2026·广东佛山·一模）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为______． 【答案】 【分析】作的菱形，作于点，在中，使用三角函数计算出高的长即可． 【详解】解：如图，在菱形中，，作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴菱形的高为． 24．（2026·广东珠海·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过构造全等三角形确定点的运动轨迹是一条过点且与成角的直线，利用垂线段最短确定取得最小值的位置，最后通过构造等腰直角三角形求解. 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， 又∵ 在与中 是等腰直角三角形 点在过点且与成角的直线上运动。 延长交直线于点 是等腰直角三角形 点为线段上一点， 当时， 有最小值，在中，。 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键． 25．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】如图，连接，首先证明出点B，E，F，C四点共圆，且是圆的直径，得到，设，则，利用勾股定理求出，则，然后求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴点B，E，F，C四点共圆，且是圆的直径 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵是斜边上的中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 26．（2026·广东深圳·一模）如图，直径，为圆上一点，于（），．点在弧上，连接交于，若，则__________．    【答案】 【分析】连接，，根据勾股定理在中，求得，从而得到，根据得到，因此在中，，，进而得到，求出，即可解答． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，，点D是边上一点，连接，将绕点D逆时针旋转，点A的对应点恰好落在延长线上，则的长为_____． 【答案】 【分析】过作于，过作交直线于，由和得到，，再证明，得到，，根据，设，则，，最后根据，列方程解得，，． 【详解】解：过作于，过作交直线于，如图， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转，点A的对应点恰好落在延长线上， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 28．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为_________． 【答案】 【分析】过点E作于点F，构造，利用相似三角形的性质和已知线段比例关系，设、，则、，再分别在和中利用勾股定理建立方程，求出线段之间的数量关系，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设、，则、， 点D为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 、， ， 在中， ． 29．（2026·广东深圳·一模）在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【答案】/2.5 【分析】在平行四边形中，由，可得出，根据是等边三角形，可得，，连接，作的平分线交于点，证明点在上运动，由，可得当取最大值时，的面积最大，由，，可得，可得，则可得，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，可得，则，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，作的平分线交于点， ∵在平行四边形中，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴平分， ∵平分， ∴与重合，即点在上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴最大时，最大， ∵点在四边形的内部或边上， ∴当与重合时，最大， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴． 30．（2026·广东茂名·一模）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) (2)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线，理由见解析； (3)横向限高杆离水面距离为米 (4)光线与抛物线之间的最小距离为米 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 31．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】(1)①1；②0.9米 (2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 32．（2026·广东江门·一模）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明得到即可； （2）连接，由圆周角定理得到，然后求出，则，据此列方程求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴． 33．（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线交于点，并连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与解决：在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧在线段上下方各交于一点，过两点作直线交于点，即为所求； （2）在中，根据勾股定理可得的长，再由线段垂直平分线的性质得到，从而得到，最后根据正切值的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的图形； （2）解：在中，， 根据垂直平分线的性质可知，， ， 在中，． 34．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 35．（2026·广东江门·一模）《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 【答案】(1) (2)点到点的距离为米 【分析】（1）由题意可得，则，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）作于点，则米，由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 36．（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到圆心，然后画圆即可； （2）连接，根据求解即可. 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 37．（2026·广东东莞·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的运算，理解负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值的计算，零指数幂的运算法则，平方根等相关知识是解答关键. 根据负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值的计算，零指数幂的运算法则，平方根的相关知识进行计算求解. 【详解】解： 38．（2026·广东东莞·一模）计算： 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再合并计算得到结果. 【详解】解： 39．（2026·广东·一模）综合与实践 【问题背景】 在数学课上，同学们利用含有角的直角三角尺和量角器进行实践操作． 【动手操作一】 (1)如图1，小明将三角尺放置在量角器上，顶点C与圆心O重合，此时顶点B刚好在量角器的外弧上，三角尺的斜边与量角器的外弧交于点D，其中，．若点B对应的刻度是，则点D对应的刻度是多少？ 【动手操作二】 (2)如图2，小华将三角尺放置在量角器上，点E，F均在量角器的外弧上，三角尺的直角边与量角器的外弧交于点H，其中，，．若点E对应的刻度是，点F对应的刻度是，则的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，弧长计算公式． （1）连接．先证明是等边三角形，再由以及点B对应的刻度是，求出点D对应的刻度为； （2）连接，，，设与交于点P．先求， 再证是等边三角形，从而求出；由，，，求出，在中运用等腰三角形的“三线合一”性质，结合特殊角三角函数值，求得，最后运用弧长公式求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵点B，点D均在量角器的外弧上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点B对应的刻度是， ∴点D对应的刻度为； （2）解：如图，连接，，，设与交于点P． ∵点E对应的刻度是，点F对应的刻度是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 投影与视图 考点03 1．（2026·广东中山·一模）如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是简单几何体的左视图． 【详解】根据左视图画法画出即可．注意：因为台阶中间的折线从左侧是不可见的，所以这个折线画的是虚线．如图： 2．（2026·广东广州·一模）如图所示的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：几何体的主视图是 3．（2026·广东深圳·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该几何体为： 4．（2026·广东·一模）如图，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从左边看得到的图形是左视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可． 【详解】解：该几何体左侧上方在左侧视角下，其内部的轮廓线是不可见的，三视图中，不可见的轮廓线需用虚线表示． 所以这个几何体的左视图为： 5．（2026·广东东莞·一模）如图，该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由题干图可知该几何体的主视图是 6．（2026·广东深圳·一模）沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产．下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】D 【分析】根据鱼灯的形状判断其对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：由鱼灯的形状可知，它的主视图、左视图、俯视图都不相同， ∴三种视图都不相同． 7．（2026·广东江门·一模）如图所示，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确俯视图的定义，再分析该几何体从上方观察得到的图形特征，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：俯视图是从物体的上面向下面观察所得到的视图，观察时需关注，能看到底面的轮廓，同时要区分可见和不可见的棱， ∵观察题中几何体，从上方看，底面是一个四边形， ∴从上方俯视时，能看到底面的四边形形状，同时中间会有一条棱， 故：C选项符合． 8．（2026·广东深圳·一模）如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．它的主视图是直角三角形 B．它的左视图是矩形 C．它的俯视图是直角三角形 D．它的主视图是矩形 【答案】A 【分析】根据三视图的定义，分别从正面、左面、上面观察该几何体，判断其形状即可． 【详解】解：∵该几何体是底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥 ∴从正面看，其主视图是一个直角三角形，故A选项正确，D选项错误； 从左面看，其左视图是一个直角三角形，故B选项错误； 从上面看，其俯视图是一个矩形（含一条对角线），故C选项错误．故选A． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07图形的变化2 ☆3大考点概览 考点01相以E角形 考点02锐角三角函数 考点03投影与视图 考点01 相似三角形 1.(2O26广东茂名一模)如图，在RteBAD中，延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若4B=3 ,AD=4,则tan∠CAD的值为(). 4 D A. B.3 4 c D.3 3 2.(2025广东广州一模)如图，D,E,F分别为ABC边AB,AC,BC的中点，连接DE,EF, DF,若ABC的面积为8，则△DEF的面积为() D A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026广东深圳一模)如图所示，正方形ABCD中，点E为AB边上靠近点A的三等分点，连接DE, 将ADE沿DE翻折得到△A'DE,连接A'C,A'B, S△E的值为() SexCD 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 A. C. D.3 6 3 4.(2026广东·一模)如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的 延长线与CD的延长线交于点F,MG⊥EF,交CD于N,交BC的延长线于G,点P是MG的中点.连接 EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EG=5;②MG=EF;③当AE=V3时，FG=2V5 ；④若点E从点A运动到点B,则此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为O M E B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2026广东惠州一模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形 EFGH,连接DH,若DE平分∠CDH,则EH=() HA D E G B A.3 B.5 C.5-1 D. 2 6 2 6.(2026广东深圳一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E旋 转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为(). 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H A.3 B. 2 C.2 n 7.(2026广东中山一模)如图，己知ABC与aDEF,下列条件一定能推得它们相似的是() B A.∠A=∠D,AB-BC DE EF A40-<乐提品 C.∠A=∠D,∠B=∠E D.∠A=B,∠D=∠E 8.(2026广东深圳一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A是直线y=2上的动点，连接OA,以OA为 边在OA的右侧作矩形OACB,边CB所在直线交x轴于点E.设点B的坐标为m,n),若矩形OACB的面积始 终为8，则下列说法不正确的是(). B E衣 A.当点A在y轴上时，点C的坐标为4,2)B.mn=4 C.OE的长始终为4 D.的取值范围为-2≤n≤2 9.(25-26九年级上广东茂名期中)已知m=5, 行子测”的值为《) n A母 B.4 c. n 10.(2026广东深圳一模)如图，己知四边形ABCD的外接圆O的半径是2，对角线AC与BD的交点为E ,AE=EC,AB=√2AE,BD=2V5,则四边形ABCD的面积是() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.2 B. 5w2 2 C.25 D.17 8 11.(2026广东广州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.动点P从点A出发，沿A→B→C 的路径运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,△APQ的面积为y.则y关于x的函数 图象大致是() B 012345 012345x 3 3 C. D 012345x 012345x 12.(2026广东汕头一模)如图，将正方形纸片ABCD对折得到折痕EF,连接线段CE,沿折痕CM折叠 使CD落在线段CE上，点D的对应点为点N,连接线段MN.图中与正方形纸片ABCD的边长成黄金比的 线段是() M A E B A.线段EN B.线段AM C.线段MN D.线段CM 13.(2026广东珠海一模)如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点F在AD上，且 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=)DF,连接F交4C于点E,则下列结论：O4E=}, 2 DiC-:@△AEF△4CD:⑧CE=3,④ CAAEF S.BEO SI边形ODFE 5·，其中一定正确的是() D B A.③④ B.①③ C.②③ D.①④ 14.(2026广东东莞一模)如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为6cm,像距为9cm,蜡烛火焰倒 立的像的高度是3cm,则蜡烛火焰的高度是() 9cm 6cm A. 3 cm B.2cm C.Sem D.3cm 2 15.(2026广东东莞一模)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E是DC延长线上的一点， 连接OE交BC于点F,已知AB=6,BC=8,CE=3,则CF的长为() A H A.1 4-3 B. C.2 D. 3 16.(2026广东深圳一模)如图Rt△ABC,∠ACB=90°，AD垂直于∠ABC外角的角平分线于D点，过D作 BC的垂线，交CB长线于点E,接DC交AB于点P,F-,DB=6,那么BE的长为 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026广东江门一模)如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与EB、EF、HF、HG、DG分 别相交于点I、J、K、L、M,设aLGM、AJKFABI的面积依次为S、S2、S,若S的面积为27，则 S2-S,的值为 18.(2026广东一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6.点P从点A出发以每秒1个单位长度的 速度沿A-D-C顺时针方向运动到点C停止.当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线 PQ⊥AP,与矩形的边的另一交点为Q.设点P的运动时间为t(秒). D B (1)连接PC,当t=3时，△PCQ的面积为； (2)当点P在D-C上运动时，设QC的长为y,则y与t之间的函数关系式为 19.(2026广东广州一模)如图，在口ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,BC=8,点E,F分别是边AB, BC上的动点，且满足BF=2AE,当AE=时，△EBF为等边三角形；己知点P为EF的中点，连 接AP,DP,则AP+PD的最小值为 O F 20.(2026广东佛山一模)将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B,折痕 为EF,己知AB=AC=10,BC=I5,B'F∥AB,那么AB'的长度是 A B 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026广东湛江·一模)如图，在O0中，AB、BE是弦，AE是直径，OC是半径且OC⊥AB交AB于 点D,请写出三个不同类型的结论 (请注意：结论不要添加新字母，不要添加辅助线) 22.(2026广东汕头一模)如图1，在ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点.动点E以每秒1个单位 长度的速度从点A出发，沿折线AB-BC匀速运动，到达点C后停止，连接DE,设点E的运动时间为x(单 位：秒)，DE2为y,在动点E运动的过程中，y与x的函数图象如图2所示 1 D B 图1 图2 (1)线段AD的长为 (2)在整个运动过程中，y的最大值为 23.(2026广东江门一模)如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将ADE绕着点 E顺时针旋转180°，点D到了点F的位置，则S。ADE:S四边彩BCFD= B 24.2026广东深训一黄)如图.四边形8CD内该于圆，∠48C=90,m∠4C8=A0-号B,连接 2 AC,BD交于点E,则E= CE 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 25.(2026广东珠海一模)如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，E在线段AD上，DE=1,则CE的 长度为 D E B 26.(2026广东东莞一模)《墨子天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美、 如图，正方形ABCD的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形A,B,C,D,己知 AB:AB,=1:2,作四边形ABCD的外接圆，则此外接圆的半径为 D D C B B 27.(2026广东梅州一模)如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一 象限作矩形OABC的位似图形ODEF,使矩形OABC与矩形ODEF的位似比为3：2，反比例函数 y=x>0)的图象恰好经过点E,且与BC边交于点G.若点B的坐标为9,4，则点G的坐标为 、G DA 28.(2026广东深圳一模)如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，将边DA绕点D旋转，当点A 的对应点F恰好落在CE上时，连接F,延长F交BC于点G,则 的值为 G 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G E B 29.(2026广东深圳一模)如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木 杆的顶端看到对方的脚.已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为二和二m,则木杆高为 m 5 2 甲 木杆 777777777777777777 30.(2026广东深圳一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB上一点，连接CD,以 CD为直角边向右侧作等腰直角aCDE,∠CDE=90°，CD=DE,CE与AB交于点F,连接BE,若 BF BE=BF,则 的值为 DE D 31.(2026广东江门一模)综合应用：已知正方形ABCD,以BC为直径作⊙0，点E在射线DC上运动， 连接AE. A B B B H 0 K F D E C D C E D C E 图1 图2 图3 (I)如图1，当BC=4,DE=3时，AE与O0相切于F,求EF. (②)如图2，当E运动到BC右侧，连接AE,BE交O0于点M, ①车E运动过程中，求茫的最小值： ②AE与BC交于点G,与CM相交于点K,顺时针旋转△GKC使得点C落在AG上的点H上，得△GTH, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当HT∥BC时，求tan∠BED. 32.(2026广东东莞一模)如图1，矩形A0BC的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C的坐标为8,6). VA D A 图1 图2 图3 备用图 反比例函数y-x>0的图象与边4C,BC分别交于点D,E,当4D-号DC时，求k的值和点E的 坐标； 2如图2，点D,E分别在边AC,BC上，且反比例函数y=《(x>0)的图象经过点D、E,连接DE、 AB,求证：AB∥DE; 3)如图3，反比例函数y-《(x>0的图象与边4C,BC分别交于点D,E,若以DE为直径的圆与矩形 1 AOBC的边有5个公共点，求k的取值范围 33.(2026广东江门一模)在ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，点P在AC边上由点A向点C运动（不 与点A、C重合)，过点P作PQ⊥BP,交射线BC于点Q. (I)如图，若点Q在线段BC的延长线上，PC=CQ,探索BQ与CQ之间的数量关系，并说明理由； (②如图，若点0在线段BC上，BC=10,-3, 求BQ的长。 BP 2 (3)如图，若AB=3√5，求在运动过程中线段BQ长度的最小值. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 34.(2026广东深圳一模)如图1为正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE. D D D E A 图1 图2 图3 (1)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由： (2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想DG与BE的 关系，并说明理由： (3[应用]：在(2)问的情况下，连接GE（点E在AB上方)，若GE‖AB,，且AB=V5,AE=1,求DG的 长 35.(2026广东中山一模)在矩形ABCD中，连接AC. B (I)如图，请用尺规在边AD上求作一点P,连接PC,使PD+PC=AD;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接PB,交AC于点Q,若AB=6,AD=8,求AQ的长 36.(2026广东深圳一模)【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让 我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究. 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有 一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”. B B E 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD= AD的值为 B (2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且CD1DE,求g的值 BC (3)【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=12,E为线段AB上一动点，且 CD⊥DE,连接CE,将△CDE沿CE翻折，得到△CFE,连接BF,若BF=4,作出图形并求线段AE的长. 37.(2026广东广州一模)如图，己知四边形ABCD为矩形. (I)尺规作图：在线段CD上作点E,使得CE=ED，连接BE,AC（保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AB=2,BC=√2，求证：△BCEAABC. 38.(2026广东东莞一模)东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最长 的运河，是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹.某项目学习小组的同学想要测量某段运河的宽度，他们 设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点A,再在河的这边取两点B、C,在点B处测得 AB与河岸的夹角0为20°，在点C处测得AC与河岸的夹角B为45°，B、C两点间的距离为100米. 备用图 (I)求该段运河的宽度（即ABC中BC边上的高）： (结果精确到0.1米；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20≈0.36) (②)学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案， 要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明 39.(2026广东珠海一模)定义：如题图1，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM, MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点. D B C 图1 图2 图3 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)己知点M,N是线段AB的勾股分割点，若AB=12,AM=3,求BN的长； ②如图2，在菱形4BCD中，点E、F分别在BC、cD上，BE=BC,0P-0,A、4分别交BD于 点M、N,求证：M、N是线段BD的勾股分割点； (3)如图3，点C是线段AB上的一定点，AC<AB.请在BC上画一点D,使得C,D是线段AB的勾股分 割点（请用尺规进行作图） 40.(2026广东佛山一模)如1图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，反比例函数 y=(x>0的图象与矩形OABC的边AB,BC分别交于点D与点E. D 1图 2图 3图 (1)若点E坐标为3,9)，求该反比例函数的表达式： (②)如2图，在(1)的条件下，连接OB交反比例函数y=《(x>0)的图象于点F,若0B=30F,求点D的 坐标； (3)如3图，连接OB和OE,过点D作x轴的平行线交OB于点G,连接EG,若LAOE=3LAOB,猜想 BG与OE的数量关系，并证明. 41.(2026广东深圳一模)综合与探究：菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，连接BD,P是BD上的动 点，将CP绕点C顺时针旋转120°得到CQ E 图1 图2 图3 (I)如图1，连接D9,求证：AD⊥DQ; (2)如图2，连接PQ交CD于E,当△CEP是等腰三角形时，求BP的长度； ,接PO交CD于E,连接P,记△CEP的面积为S,△APD的面积为S,求的成 42.(2026广东东莞一模)如图，C,D两点在以AB为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径为 n,∠COD=90°，点E在CD上运动（不与点C,D重合），连接AE,BE,分别交OC,OD于点M,N. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B O 0 图1 图2 图3 【问题发现】 (1)如题图1，当∠A0C=45°，且E是CD的中点时，试猜想0M+0N与r之间的数量关系，并说明理由. 【类比探究】 (②)如题图2，当∠40C=45°，且E不是CD的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如题图3，若LA0C=30°，r=3,0M=2,求ON的长 43.(2026广东汕头·一模)2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢 运动轨迹可以近似看作一条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且 与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线x=3对称 C 图① 图② ()请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标. (②)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△OAC为等腰三角形，若存在，请求出点 Q的坐标，若不存在，请说明理由 (3)如图②，在平面内有一点P,使得LAPB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+行EP的最小值， 44.（2026广东深圳模拟预测)综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形” 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B 图1 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明 的思路如下： 如图2，连接对角线BD,取BD中点O,连接OA,OC. A 图2 ∠BAD=∠BCD=90°， 0A=BD,0C=, 2 ∴.0A=0B=0C=0D, :.四边形ABCD的顶点A,B,C,D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上. (1)请补全小明同学的证明过程， (②)【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A,D,P三点的圆交对角线AC于点E. ①求证：四边形APED是“对直四边形”； D C B 图3 ②若AB=8,AD=6,当ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长. (3)【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC(k为正实数).点P是BA延长线上一点，过A,D,P 圆交对角线AC于点E,延长PE交BC于点F,请求出的值（用含k的式子 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图4 45.(2026广东中山一模)在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这 个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角.如图1，ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角.若 ∠B=130°，则∠C=∠B-90°=40°. B O/E D 图1 图2 图3 【概念理解】 (①)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为 【性质探究】 (②)如图2，数学兴趣小组发现，当ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在tanA= BC 的 结论，请你证明这个结论： 【拓展应用】 (3)如图3，AB是OO的直径，点C,D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E,连接AD,BD,△ACE和 △BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角时，求CE的值. ED 考点02 锐角三角函数 1.（2026广东江门一模)在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前 行.如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点A攀登到山顶点B,若AB=500米，则这名 登山爱好者上升的高度为() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B山顶 从幽1戮 C A.500cosa米B.500sina米 C.500tana米 D. 500米 sina 2.(2026广东广州一模)如图，己知菱形ABCD的面积为20，对角线BD=4√5，则si∠ABD=() y D A.5 B.25 5 5 3.(2026广东佛山一模)如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AE,若∠BEC=90°， 则cos∠BCE=() D A.月 C. 3 D. 5 4.(2026广东东莞一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,AC是矩形ABCD的对角线，将ABC绕 点A逆时针旋转得到△AEF,使点E在线段AC上，EF交CD于点G,AF交CD于点H,则tan∠FGH的 值为() G E A. B C.5 D. ⑤ 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.（2026广东湛江一模)如图，直线y= x-5与x轴、y轴分别交于A、B两点，则sin∠OAB的值为() 12 A 5 B. D. 5 6.(2026广东汕头一模)在平面直角坐标系中，点A坐标为(3,5)，在x轴上找点P,使得PA+P0的 值最小，则此时的点P的坐标及PA+二PO的最小值分别为() A.N5,0;3B.(2,0);3 C.5,0);2 D.2,0);2 7.(2026广东汕尾一模)如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为() A.5 B.25 C.2 5 5 D. 8.(2026广东汕头一模)如图，在平面直角坐标系中，RtAOAB的直角顶点A在x轴上，∠OAB=90°， OA=6,AB=8.将△0AB绕点A顺时针旋转30°得到△O'AB',则点B的坐标为() 8 7 6 3 -912345678910 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4V5,10 B.(4,4v5） c.(10,45 D.(45,4 9.(2026广东广州一模)如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为() A.2 B. C.25 D.5 5 10.(2026广东深圳一模)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被 识别)，图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为160cm.某人笔直站在离摄像头水平 距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过()（参考数据：sin15°≈0.26， cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 仰角15° 摄像头A下 水平线 俯角15° 777777 图1 图2 A.214cm B.187cm C.173cm D.160cm 11.(2026广东东莞一模)如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD,∠ABD=90°，CD=3,AB=6,AC=5,作 BE垂直AC于点E,连接DE,则DE的长度等于() B A. 2 B.4 12.(2026广东珠海一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D落在边BC的中点M处.若 2BC=3AB,则sin∠EFM的值为() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B M A. 3-4 B. D 13.(2026广东深圳一模)“综合与实践”活动小组的同学借助无人机要测量AB,CD两座楼之间的距离，他 们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为 60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行 24m到达点F,测得点E处俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据 以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.（结果精确到1m,参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， tan70°≈2.75，√3≈1.73). 10 、30 66 A.56m B.58m C.59m D.60m 14.(2026广东一模)如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A=87°， ∠B=50°，AB=60,则点A到BC的距离为() B 60 A.60sin50° B.60cos50° C. D.60tan50° sin50° 15.(2026广东深圳一模)如图，2026年春晚《武B0T》节月中，宇树人形机器人与河南塔沟武校学员同 台演绎时，需在定制斜坡舞台完成腾跃动作.若该斜坡的坡度为3：4，机器人腾跃点B的水平宽度AC=80 厘米，则腾跃点的垂直高度BC为() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ■ C A.30厘米 B.60厘米 C.80厘米 D.120厘米 16.(2026广东茂名一模)计算 -tan45°的结果是 2 17.(2026广东江门一模)计算：2026°+√2cos45°= 18(2026广东广州一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，已知⊙0的半径为4，∠BCD=120°， 则BD= 4 Q 19.(2026广东中山一模)计算：4c0s30°+(3.14-元)°= 20.(2026广东广州一模)美国华盛顿大学研究团队在2015年发现了一种新的不规则五边形（如图①）.相 互组合后可完全铺满平面（如图②），不会出现重叠或任何空隙，是全球第十五种能做到此效果的五边形， 这项发明相当于在科学领域中寻获了新原子粒子.设此五边形ABCDE中AE=10cm,则∠C=;该五 边形的周长为 cm. D 图① 图② 21.(2026广东江门一模)计算：21+√3c0s30°= 22.(2026广东广州一模)如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm,AB=2cm,以B为中心，将 ABC顺时针旋转，使得点A落在CB延长线上的A点，此时点C落到点C,则在旋转中，边AC变到边 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,C,所扫过的面积为 平方厘米（结果保留刀）. B 23.(2026广东佛山一模)若菱形的周长为8cm,且有一个内角为45°，则该菱形的高为 Cm 24.(2026广东珠海一模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点P为线段AD的上一点，DP=1, 点E是直线BC上的动点，连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90C,点A的对应点为点F,连接PF,则 PF的最小值为 B E 25.(2026广东深圳一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB 交4C于点F.若8C=而，sn∠CEF-号则△4EF的面积为 E 26.(2026广东深圳一模)如图，⊙0直径AB=10,C为圆上一点，CD⊥AB于D(BD<AD),CD=4 ·点E在弧AC上，连接BE交CD于F,若CF:FD=I:2,则BF:EF= E F B D 2.(2026广东深圳一模)复图，在等要48C中，48=4C=5,s∠C-点D是8C边上一点，连 接AD,将AD绕点D逆时针旋转90°，点A的对应点A恰好落在AB延长线上，则CD的长为. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 28.(2026广东深圳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AC中点，连接BD,过点D作 DE⊥BD交AB于点E,若BE=3AE,则tanA的值为 B 29.(2026广东深圳一模)在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=3,AD=4,点E,G分别在边AB, BC上运动，且BE=BG,以EG为边作等边△EFG,且使点F在四边形的内部或边上.当△EFG的面积最 大时，CG的长为 B G 30.(2026广东茂名一模)【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们 根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题. 4 【实验操作】 如图1，第一小组在线段AB的垂直平分线CD与轮廓线的最高点的交点C处通过测量获得以下数据（单位： 米)： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 CD=4 AC=8 BC=8 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图1 (1)任务1：请根据第一小组的数据求∠ACB的度数. 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线BC段上选取E点（不与B、C重合），在河边A和B处分别测量E点的仰角，测 量获得以下数据： A -1a] B B D 图2 小组 A测E仰角 B测E仰角 第二小组 ∠a=13 ∠B=32° (②)任务2：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由. 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式. 【解决问题】 (3)任务3：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒T型的限高杆（如图3中虚线部分），若横杆GH长度 和竖杆长度CQ之比为12：1，那么此时横向限高杆GH离水面AB的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不 计) G H 图3 (④)任务4：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个 图形的距离.为了美观，在距离点D处8米的地面M、N处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角， 如图4所示，光线交汇点P在点C的正上方，求光线PN与拱桥之间的距离. M A D B 图4 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 31.(2026广东茂名一模)【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，A,C为墙壁上的固定点， 摇臂CB绕点C旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 CA=CB=CD=1.5米. 太阳 太阳 光线 光线 B 图1 图2 图3 图4 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值. 时刻时 12 13 14 15 角a的正切值 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当∠ACB=90°时. ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角D处，求此时刻角α的正切值m. ②如图3，这天13时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE. (2)如图4，旋转摇臂CB,使得点B与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到， 则绿萝摆放位置与墙壁CD的最远距离应该小于多少米？ 32.(2026广东江门一模)如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出 现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型.在ABC中，∠A=∠C,以 ABC的边AB为直径作OO,交AC于点D,且DE⊥BC,垂足为E,BE<CE. D B 图1 图2 (I)求证：ED是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为5，ED=4,求BE的长. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 33.(2026广东江门一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. B (I)实践与操作：用尺规作图法作AB的垂直平分线交AC于点D,并连接BD；(保留作图痕迹，不要求写作 法) (2)应用与解决：在(1)的条件下，若BD=3CD,求tan∠ABC的值. 34.(2026广东茂名一模)淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统.请结合几何原理与实际测量数据，解 决以下问题： H B 手柄AB=30cm,与墙面EH的夹角∠HAB=a(称为 喷头 “调整角).水流射线BC⊥AB,落点C需满足竖直站 结构 立者的“舒适喷淋点”要求. E D H B ◇ 淋浴 矩形EFGH是淋浴房的截面图， 房参 EF=90cm,EH=195cm.固定站立点D满足 知 数 DE =54cm 条 件 D F 人体 工程 “舒适喷淋点”（高度=身高-30cm).己知父亲身高170cm,小明身高140cm. 学定 义 参考 sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，V3≈1.73 数据 问题解决 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当父亲使用喷头时，调整角a=37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”C处(CD=170-30=140cm).求：点 A到地面的距离AE (2)父亲使用后，固定器位置不变(AE长度固定)，调整角改为α=60°.判断：小明站立于D处时，水流是 否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由.（计算结果精确到个位） 35.(2026广东江门一模)《准南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣.”这是世界上最 早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示.其简易图如图2所示： A,B呈水平状态，在A点上方C处放置一面小镜，从目标B射来的光线经C点反射后到达A点，再经过A 点反射到达观察者眼中.图中AE,CD为法线（即AE⊥AB,CD⊥镜面）. 大镜会 镜面 D B 图1 图2 (I)如图2，若LBCD=30°，∠CAE=15°，求∠ABC的度数 (2)在(1)的条件下，若AB=12米，求点C到点A的距离（答案保留根号）. 36.(2026广东江门一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. B (1)尺规作图：作⊙0，使得BC为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）： (2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=4,求00与ABC重叠部分的面积. 37.(2026广东东莞一模)计算：√27+ -3tan60°+r-V2)°. 38.(2026广东东莞一模)计算：√16+2sin60°-（π-2026）°+|√3-2 39.（2026广东·一模)综合与实践 【问题背景】 在数学课上，同学们利用含有30°角的直角三角尺和量角器进行实践操作. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H D mm O(C) O 图1 图2 【动手操作一】 ()如图1，小明将三角尺ABC放置在量角器上，顶点C与圆心O重合，此时顶点B刚好在量角器的外弧上， 三角尺的斜边AB与量角器的外弧交于点D,其中∠ACB=90°，∠A=30°，若点B对应的刻度是161°，则 点D对应的刻度是多少？ 【动手操作二】 (2)如图2，小华将三角尺EFG放置在量角器上，点E,F均在量角器的外弧上，三角尺的直角边EG与量角 器的外弧交于点H,其中∠EGF=90°，∠GEF=30°，GF=6.若点E对应的刻度是130°，点F对应的刻 度是10°，则FH的长是多少？ 考点03 投影与视图 1.(2026广东中山一模)如图所示的几何体的左视图是（) 从正面看 2.（2026广东广州一模)如图所示的几何体的主视图是() 2/23 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 3.(2026广东深圳一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为() 主视图 左视图 俯视图 4.(2026广东一模)如图，该几何体的左视图是() 主视方向 5.(2026广东东莞一模)如图，该几何体的主视图是（) 主视方向 1/23 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B. D 6.(2026广东深圳一模)沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产.下图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于 它的三视图，下列说法正确的是() A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三 种视图都不相同 7.(2026广东江门一模)如图所示，该几何体的俯视图是() 正面 D 8.(2026广东深圳一模)如图，在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底 面的四棱锥称之为“阳马”.关于它的三视图，下列说法正确的是() 正面 A.它的主视图是直角三角形 B.它的左视图是矩形 C.它的俯视图是直角三角形 D.它的主视图是矩形 2/23