专题01 等腰三角形的性质与判定7重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的定义 1 题型二、等边对等角 1 题型三、三线合一 2 题型四、大（小）边对大（小）角定理 3 题型五、根据等角对等边证明 4 题型六、根据等角对等边求边长 6 题型七、等腰三角形的性质和判定 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形的定义 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知是等腰三角形，，则边_________． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 题型二、等边对等角 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 5．（23-24七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则______． 6．（24-25七年级上·上海·月考）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是_____． 题型三、三线合一 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 8．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    题型四、大（小）边对大（小）角定理 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 题型五、根据等角对等边证明 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 13．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 14．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 15．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　 　（角平分线定义）． 同理：∠2＝　 　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　 　）， 所以　 　（等式性质）． 即：∠D＝90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： ①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． ②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 题型六、根据等角对等边求边长 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为______． 18．（23-24七年级下·上海·月考）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为________米． 题型七、等腰三角形的性质和判定 19．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 20．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 21．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 5．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 6．（2025七年级上·上海·专题练习）下列语句中，正确的是（    ） A．中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C．平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D．经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 二、填空题 7．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么______．    8．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是_______．    9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么______度． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 12．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 13．（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 14．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 三、解答题 15．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 16．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 17．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题； 如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．    18．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 19．如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 20．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 21．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 22．（2024七年级下·上海·专题练习）已知中，，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，求的度数； (2)过点作与边、分别交于点、点（如图，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的定义 1 题型二、等边对等角 2 题型三、三线合一 4 题型四、大（小）边对大（小）角定理 6 题型五、根据等角对等边证明 11 题型六、根据等角对等边求边长 16 题型七、等腰三角形的性质和判定 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形的定义 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 2．（24-25七年级下·上海金山·期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为_____． 【答案】或 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴， 即． 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， ∵，， ∴， ∴． 综上，该等腰三角形的顶角为或． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 题型二、等边对等角 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在平面内将绕点A逆时针旋转至使．如果，那么旋转角___________度 【答案】40 【详解】解：由题意得：， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即旋转角度为， ∴， 故答案为40． 5．（23-24七年级下·上海·月考）如图，在等腰中，，是的角平分线，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·月考）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是_____． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 题型三、三线合一 7．（24-25七年级下·上海·月考）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 8．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 9．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    【答案】 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 题型四、大（小）边对大（小）角定理 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】(1)不一定，反例图见解析 (2)一定相等，见解析 (3)或或或 【详解】（1）解：若，则与不一定相等，如图： 当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； （2）解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； （3）解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 题型五、根据等角对等边证明 12．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 13．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知平分，，点是的中点．请说明．    解：因为平分（已知）， 所以______（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（______）． 所以______（______）． 所以（______）． 因为点是的中点（已知）， 所以（______）． 【详解】解：因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 所以（同一个三角形中，等角对等边）． 因为点是的中点（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）． 14．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　 　（角平分线定义）． 同理：∠2＝　 　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　 　）， 所以　 　（等式性质）． 即：∠D＝90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： ①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． ②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 【答案】（1），，三角形的内角和等于180°；；（2）①；②；（3）见解析 【详解】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°）， 所以（等式性质）． 即：． 故答案为：，，三角形的内角和等于180°，． （2）①解：∠D与∠A之间的等量关系是：． ∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：∠D与∠A之间的等量关系是：． ∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，， ∵∠DCE＝∠DBC+∠D， 2∠DCE＝∠A+2∠DBC， ∴2∠DBC+2∠D＝∠A+2∠DBC， ∴∠A＝2∠D， ∴∠D＝， 故答案为：∠D＝． （3）解：因为  BF平分∠ABC（已知）， 所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）． 同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE． ∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ∴． 又∵∠A＝90°（已知）， ∴∠D＝45°（等式性质）． ∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义）， ∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝90°． ∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠DFC＝45°（等式性质）． ∴∠D＝∠DFC（等量代换）． ∴DC＝FC．（等角对等边）． 题型六、根据等角对等边求边长 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·月考）如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为______． 【答案】16 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边中点， ∴， 故答案为：16． 18．（23-24七年级下·上海·月考）如图，小明家位于学校P的南偏东方向的M处，小明从家向正北方向走500米后到达位于学校的北偏东的图书馆N处，则图书馆N处与学校P的距离为________米． 【答案】500 【详解】解：由题意得，米， ∴，， ∴， ∴， ∴米， ∴图书馆N处与学校P的距离为500米． 故答案为：500． 题型七、等腰三角形的性质和判定 19．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 【详解】证明：作于点， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴即． 20．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 21．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 3．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（    ） A．两角对应相等 B．两腰对应相等 C．一边一角对应相等 D．一腰和底边对应相等 【答案】D 【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错误； C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个等腰三角形的底边对应相等，顶角与另一个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项错误； D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用可以证得两个等腰三角形全等，故本选项正确． 5．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 6．（2025七年级上·上海·专题练习）下列语句中，正确的是（    ） A．中心对称图形是一个图形绕着一个定点旋转后能与另一个图形重合； B．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高； C．平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； D．经过翻折，对称轴被对称点的连线垂直平分． 【答案】C 【详解】A、中心对称图形是绕一个定点旋转后与自身重合，而非与另一个图形重合，说法错误，该选项不符合题意； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身（高是线段），说法错误，该选项不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，旋转后与自身重合，说法正确，该选项符合题意； D、 轴对称变换中，对称点的连线被对称轴垂直平分，而非对称轴被对称点的连线垂直平分，说法错误，该选项不符合题意． 故选：Ｃ 二、填空题 7．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么______．    【答案】 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为． 8．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是_______．    【答案】7 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长等于11， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 10．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么______度． 【答案】 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______． 【答案】10 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 12．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 13．（25-26七年级下·上海·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】或 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 14．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 【答案】或 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 三、解答题 15．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，点、在边上，且．试说明的理由． 【详解】过点作，垂足为点， ，， ， ∵，， ∴， ， ． 16．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【答案】 【详解】解：∵是边上的中线， ∴设，则 ∵边上的中线把的周长分成和两部分， 或， 当AB+AD=15cm时， ， ， ，， 此时， , 检验满足三角形两边之和大于第三边， ； 当时， ， ，， 此时， , ，所以舍去； 综上所述，． 17．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题； 如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．    【详解】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°， 过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则 △ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°， △ACD中，∠DAC＝∠C＝36°， 故△ACD和△ABD均为等腰三角形， 故射线AD即为所求． 18．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E，交于点F，如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【详解】解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过D作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．如图，已知点分别在的边上，且，线段与的延长线交于点，的角平分线交于，的角平分线交的延长线于点．那么与的位置关系如何？为什么？ 答：． 证明：延长交于点． 分别平分和（已知） ________，______（角平分线的定义） __________，______ ____（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） ______（等式性质） （请自行完成后续的说理过程） 【详解】解：． 如图，延长交于点． 、分别平分和（已知） ，（角平分线定义） ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又（已知） （等式性质） （等角对等边） （等腰三角形三线合一）． 20．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 21．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 22．（2024七年级下·上海·专题练习）已知中，，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，求的度数； (2)过点作与边、分别交于点、点（如图，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）． 理由：是的平分线，是的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $