21.1.1 四边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1.1　四边形及其内角和 数学　八年级下册 四边形的相关概念(注：如无特殊说明, 所讨论的四边形都是凸四边形) 在平面内, 由不在同一直线上的四条线 段首尾顺次相接组成的图形叫作 , 组 成四边形的各条线段叫作四边形的 , 每相 邻两条线段的公共端点叫作四边形的 , 四边形用表示它的各个顶点的字母表示, 如图1中的四边形, 可以按照顶点的顺序, 记作“四边形 ”. 四边形 边 顶点 ABCD 数学　八年级下册 连接四边形不相邻的两个顶点的线段, 叫作四边形的 , 如图2中, , 是四边形ABCD的两条 , 它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. 四边形相邻两边组成的角叫作四边形的 , 简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的 . 对角线 AC BD 对角线 内角 外角 数学　八年级下册 探究四边形的内角和 1.(新教材P47 思考改编)完成填空并作出猜想. (1)三角形的内角和是 °； (2)长方形的内角和是 °； (3)如图, 平行四边形的内角和是 °； (4)猜想：任意一个四边形的内角和是 °. 180 360 360 360 数学　八年级下册 2.任意画一个四边形ABCD, 求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝360°. 证明：如图, 连接AC. 在△ABC中,∠1＋∠3＋∠B＝180°, 在△ACD中, ∠2＋∠4＋∠D＝180°, ∴∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝360°, 即∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360°. 数学　八年级下册 3. (新教材P49 T1节选)求出下列图形中x的值. 解：(1)依题意, 得x＋x＋140＋90＝360, 解得x＝65. (2)依题意, 得2x＋3x＋3x＋4x＝360, 解得x＝30. 数学　八年级下册 4.(新教材P49 T2)一个四边形的一组对角互补, 它的另一组 对角有什么关系？ 解：∵该四边形的一组对角互补, ∴这组对角之和为180°. 又∵四边形的内角和为360°, ∴它的另一组对角之和为180°. ∴它的另一组对角也互补. 数学　八年级下册 探究四边形的外角和 5.(新教材P47例1)如图, 在四边形的每个顶点处各取一个外 角, 这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和 (即∠1＋∠2＋∠3＋∠4)等于多少？ 解：∵∠DAB与∠1是邻补角, ∴∠DAB＋∠1＝180°. 同理∠ABC＋∠2＝180°, 数学　八年级下册 ∠BCD＋∠3＝180°, ∠CDA＋∠4＝180°. ∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°. ∵∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°, ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. ∴四边形的外角和等于360°. 数学　八年级下册 6.填空. (1)长方形的外角和为 ； (2)平行四边形的外角和为 ； (3)梯形的外角和为 ； (4)任意四边形的外角和为 ； (5)如图, ∠1, ∠2, ∠3是四边形ABCD的外角. 若∠1＋∠2 ＋∠3＝240°, 则∠B＝ . 360° 360° 360° 360° 60° 数学　八年级下册 探究四边形的不稳定性 7. (新教材P48探究改编)(1)将四根木条用钉子钉成一个 四边形, 然后扭动它, 它的形状 改变；(填“会”或 “不会”) (2)将三根木条用钉子钉成一个三角形, 然后扭动它, 它 的形状 改变；(填“会”或“不会”) (3)由上可知, 三角形具有 , 而四边形具有 1 性. 会 不会 不稳定 稳定性 数学　八年级下册 8.用木条钉成木架, 然后扭动它, 形状会改变的是 ( ) A B C D D 数学　八年级下册 9.下列图形不具有稳定性的是 ( ) A B C D A 数学　八年级下册 10.如图是三个边长相同的四边形做成的挂衣架, 它可以根 据需求伸缩, 这是利用 . 四边形的不稳定性 数学　八年级下册 11.(新教材P49 T1改编)如图, ∠DCE是四边形ABCD的一个 外角. (1)y＝ , x＝ ； (2)图中四边形ABCD的内角和为 , 外角和为 . 85 95 360° 360° 数学　八年级下册 12.【本课易错易混汇编】下列说法正确的是 .(填 序号) ①四边形的内角和与外角和都为360°； ②三角形与四边形都具有稳定性； ③画出四边形任何一条边所在的直线, 整个四边形都在 这条直线的同一侧, 这样的四边形叫作凸四边形； ④伸缩门利用了四边形的不稳定性. ①③④ 数学　八年级下册 13.(新教材P53 T5)如图, 在四边形ABCD中, ∠A＝∠C, ∠B ＝∠D, AB与DC有怎样的位置关系？为什么？BC与AD 呢？ 数学　八年级下册 解：AB∥DC.理由如下： 在四边形ABCD中,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°. ∵∠A＝∠C, ∠B＝∠D, ∴2∠A＋2∠D＝360°. ∴∠A＋∠D＝180°. ∴AB∥DC. 同理可得BC∥AD. 数学　八年级下册 14.(新教材P52习题T1)四边形的四个角可以都是锐角吗？ 可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为什么？ 解：四边形的四个内角不可以都是锐角, 不可以都是钝角, 可以都是直角. 理由如下： 四边形的内角和为360°. 若四个内角都是锐角或都是钝角, 则内角和小于360°或大于360°, 与四边形的内角和为360°矛盾, 所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角. 若四个内角都是直角, 则四个内角的和等于360°, 与内角和定理相符. 所以四个内角可以都是直角. 数学　八年级下册 15.(新教材P53 T9 改编)如图. (1)四边形不具有稳定性, 要使四边形木架不变形, 至少 要再钉上 根木条； 1 数学　八年级下册 (2)五边形不具有稳定性, 要使五边形木架不变形, 至少要再 钉上 根木条； (3)六边形不具有稳定性, 要使六边形木架不变形, 至少要再 钉上 根木条； (4)n(n≥4)边形不具有稳定性, 要使n边形木架不变形, 至少 要再钉上 根木条. 2 3 (n－3) 数学　八年级下册 16.【探究与综合】四边形内角和的另一种证法. 如图, 任意画一个四边形ABCD, 过点C作CE∥AB交AD 于点E.完成证明填空. 数学　八年级下册 证明：∵CE∥AB, ∴∠B＋∠3＝ , ∠1＝ . 又∵∠1＋∠2＋∠D＝180°( ), ∴(∠B＋∠3)＋(∠1＋∠2＋∠D)＝360°. ∴∠1＋∠B＋(∠2＋∠3)＋∠D＝360°, 即 . 180° ∠A 三角形的内角和定理 ∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D＝360° 数学　八年级下册 $