7.3.1 离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 人教A版（2019） · 选择性必修第三册 7.3.1离散型随机变量的均值 1.7.2013 大家好，今天我们来学习一个非常重要的概念——离散型随机变量的均值，也叫数学期望。它在概率论和统计学中扮演着核心角色，能够帮助我们量化随机现象的平均水平。通过这节课，我们将学会如何计算期望，并利用它来做出更明智的决策。 ‹#› 学习目标 01 理解概念 深入理解离散型随机变量均值（数学期望）的定义，并体会它在描述随机现象平均水平时的实际意义。 02 掌握计算 熟练记忆并准确应用离散型随机变量均值的计算公式，同时掌握其线性运算等基本性质，提高计算能力。 03 应用实践 能够运用均值这一数学工具，解决生活和生产中的简单决策问题，如对比不同投资或行动方案的期望收益，做出科学判断。 1.7.2013 本节课我们有三个主要目标。首先，我们要真正理解什么是随机变量的均值，它不仅仅是简单的平均数，而是概率意义上的加权平均。其次，我们要熟练掌握它的计算公式和性质，这是解决问题的基础。最后，也是最重要的，我们要学会如何运用期望来分析实际问题，比如在不同的选择中做出理性的决策。希望大家能在本节课中达成这三个目标。 ‹#› 情境引入——问题 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表所示： 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 💡 思考：比较击中的平均环数（均值），如果平均环数相等，再看稳定性（方差）。 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 1.7.2013 让我们从一个生活中的例子开始。假设商场搞促销，掷骰子赢钱，掷出几点就得几元。那么，从长远来看，顾客平均每次能赢多少钱呢？我们把掷出的点数设为随机变量X，它的取值是1到6，每个值的概率都是六分之一。这个“平均”值该如何计算呢？ ‹#› 甲射箭次，射中 7 环、8 环、9 环和 10 环的次数分别为, 平均环数为+. 当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值角度比较，甲的射箭水平比乙高. 情境引入——问题 1.7.2013 我们很容易想到用算术平均来计算，把1到6加起来除以6，得到3.5。但这其实是假设我们进行了6次试验，每个结果都出现了一次。而更本质的方法，是考虑每一次试验的期望。每个点数出现的概率是1/6，所以我们用每个点数乘以它的概率再相加，得到的结果同样是3.5。这种方法我们称之为“概率加权平均”。 ‹#› 均值的定义 ▍ 定义描述 一般地，若离散型随机变量的分布列如表所示： 则称 为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 1.7.2013 刚才我们通过例子感受到了概率加权平均的思想，现在我们给出它的严格数学定义。对于一个离散型随机变量X，如果它的分布列已知，那么它的均值，也就是数学期望E(X)，就等于所有可能的取值xi乘以其对应的概率pi，然后把这些乘积全部加起来。这是我们这节课最核心的公式，大家一定要牢记。 ‹#› 均值的意义 1. 反映平均水平 均值 是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数.反映了随机变量取值的平均水平或中心位置。它描述了数据向中心靠拢的趋势，是衡量一组数据集中趋势的最常用指标。 2. 长期重复试验的结果 它不是一次试验的结果，而是在大量重复试验中，随机变量取值的平均值会趋近于这个数值，体现了统计学中“大数定律”的核心思想。 重要强调： 期望 不一定是随机变量的某个可能取值。 💡 示例：掷一枚公平的骰子，点数的期望计算为 3.5，但骰子的六个面中并没有“3.5”这个点数。它是一个理论上的平均值。 1.7.2013 那么，均值到底有什么意义呢？首先，它代表了随机变量取值的平均水平。更重要的是，它描述的是一种长期趋势。也就是说，虽然单次试验的结果是随机的，但当我们进行大量重复试验时，结果的平均值会稳定在期望附近。这里要特别强调一点，期望不一定是变量能取到的值，就像骰子的期望是3.5一样，它是一个理论上的平均值。 ‹#› 例1—— 两点分布的期望 题目描述 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 计算过程 随机变量服从两点分布. 即该运动员罚球1次的得分的均值是0.8. 重要结论 如果随机变量服从两点分布，那么 1.7.2013 接下来看一个非常重要的特殊分布——两点分布。它只有两个可能的结果：0和1。比如一次投篮，要么投中（1），要么投不中（0）。我们来计算它的期望。1乘以成功概率p，加上0乘以失败概率(1-p)，结果就是p。这个结论非常简洁：两点分布的期望就等于成功的概率p。 ‹#› 例2 —— 简单计算 例2：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 核心结论 (下节证明) E(X) = np 记忆口诀：试验次数 × 单次成功概率 解：的分布列为 因此， 1.7.2013 我们再来看二项分布。它描述的是n次独立重复试验中成功的次数。如果直接用定义计算期望会比较繁琐。这里我们先给出结论，大家可以先记住：二项分布的期望E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p。比如抛10次硬币，期望出现5次正面，这非常符合我们的直觉。这个公式的证明我们将在下一节课详细讲解。 ‹#› 典型例题 例：袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 核心结论 (下节证明) E(X) = np 记忆口诀：试验次数 × 单次成功概率 解：的可能取值为5,6,7,8.＝ ＝ ，＝ ＝ ，＝ ＝ ，＝ ＝ . 故的分布列为： X 5 6 7 8 P ​ ​ ​ ​ ∴E（X）＝5× ＋6× ＋7× ＋8× ＝ . 1.7.2013 我们再来看二项分布。它描述的是n次独立重复试验中成功的次数。如果直接用定义计算期望会比较繁琐。这里我们先给出结论，大家可以先记住：二项分布的期望E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p。比如抛10次硬币，期望出现5次正面，这非常符合我们的直觉。这个公式的证明我们将在下一节课详细讲解。 ‹#› 规律方法 求随机变量X的均值的步骤 核心结论 (下节证明) E(X) = np 记忆口诀：试验次数 × 单次成功概率 （2）求出取每个值的概率； （3）写出X的分布列； （4）利用均值的定义求. 1.7.2013 我们再来看二项分布。它描述的是n次独立重复试验中成功的次数。如果直接用定义计算期望会比较繁琐。这里我们先给出结论，大家可以先记住：二项分布的期望E(X)等于试验次数n乘以每次试验成功的概率p。比如抛10次硬币，期望出现5次正面，这非常符合我们的直觉。这个公式的证明我们将在下一节课详细讲解。 ‹#› 探究：均值的性质 已知离散型随机变量的分布列为: (1)则 (2)若则 (3)若则 X －2 －1 0 1 2 P m 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 探究：均值的性质 (1)由随机变量分布列的性质,得 ＋ ＋ ＋m＋ ＝1,解得m＝ ,所以＝（－2）× ＋（－1）× ＋0× ＋1× ＋2× ＝－ . X －2 －1 0 1 2 0 1 2 3 4 P 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 探究：均值的性质 (3) X －2 －1 0 1 2 -4 -2 0 2 4 P 思考： 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 探究：均值的性质 如果是一个离散型随机变量，加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即（其中a,b为常数）分别与有怎样的关系？ 猜测： 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 探究：均值的性质 证明如下：设的分布列为 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 均值的性质 01 / 线性性质 若 为常数，对随机变量做线性变换，其期望也做相应线性变换。 02 / 和的期望 适用于任意两个随机变量，且可推广到任意有限个随机变量之和。 03 / 常数的期望 若 c 为常数，常数的期望就是它本身，这是一个基础的特殊性质。 应用示例： 已知随机变量的期望 ，求线性变换后的期望 根据性质计算： = 3 + 4 = 3 × 2 + 4 =10. 1.7.2013 掌握了定义，我们再来学习期望的几个重要性质，它们能大大简化计算。首先是线性性质，对随机变量X乘以一个常数a，加上一个常数b，新的期望就是a倍的原期望加上b。其次，和的期望等于期望的和，这个性质非常有用。最后，常数的期望就是它本身。我们来看个例子，如果X的期望是2，那么3X+4的期望就是3乘以2再加4，等于10。 ‹#› 均值性质的应用例题 例：已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m＝（　A　） ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. A 1.7.2013 我们通过一个例题来巩固一下性质的应用。首先，根据分布列计算X的期望，负1乘以0.3，加上0乘以0.4，再加上1乘以0.3，结果是0。然后，求2X+1的期望，我们不需要重新计算分布列，直接利用线性性质，2乘以E(X)再加上1，因为E(X)是0，所以结果就是1。看，利用性质是不是方便多了？ ‹#› 均值性质的应用例题 解析：因为η＝12ξ＋7，则E（η）＝12E（ξ）＋7，即 E（η）＝12×（ 1× ＋2×m＋3×n＋4× ）＋7＝34.所以2m＋3n＝ ①.又 ＋m＋n＋ ＝1，所以m＋n＝ ②.由①②可解得m＝ . 1.7.2013 我们通过一个例题来巩固一下性质的应用。首先，根据分布列计算X的期望，负1乘以0.3，加上0乘以0.4，再加上1乘以0.3，结果是0。然后，求2X+1的期望，我们不需要重新计算分布列，直接利用线性性质，2乘以E(X)再加上1，因为E(X)是0，所以结果就是1。看，利用性质是不是方便多了？ ‹#› 决策问题 —— 均值比较 课本例4：根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何抉择呢？ 分析：抉择目标为总损失越小越好，采用期望总损失最小的方案. 1.7.2013 学习期望的一个重要目的就是帮助我们做决策。比如这个问题，你是选择一个有机会中大奖的抽奖，还是选择一个固定的金额？我们来算一下它们的期望。 甲方案的期望收益是10乘以0.8加上100乘以0.2，等于28元。乙方案的期望就是固定的30元。因为28小于30，所以从长期来看，选择乙方案平均收益更高。这就是期望在决策中的应用。 ‹#› 决策问题 —— 均值比较 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元. 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为没有大洪水时，总损失为2000元.. 采用方案3， 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2. 1.7.2013 学习期望的一个重要目的就是帮助我们做决策。比如这个问题，你是选择一个有机会中大奖的抽奖，还是选择一个固定的金额？我们来算一下它们的期望。 甲方案的期望收益是10乘以0.8加上100乘以0.2，等于28元。乙方案的期望就是固定的30元。因为28小于30，所以从长期来看，选择乙方案平均收益更高。这就是期望在决策中的应用。 ‹#› 课堂小结 · 离散型随机变量的均值 01. 核心定义 公式： 本质：是随机变量所有取值的概率加权平均，体现了分布的中心位置。 02. 统计意义 反映了随机变量取值的平均水平。 是在大量重复试验下，由大数定律保证的“长期平均结果”。 03. 常见模型结论 04. 运算性质 两点分布 (0-1分布)： 线性性质：可加性： 1.7.2013 学习期望的一个重要目的就是帮助我们做决策。比如这个问题，你是选择一个有机会中大奖的抽奖，还是选择一个固定的金额？我们来算一下它们的期望。 甲方案的期望收益是10乘以0.8加上100乘以0.2，等于28元。乙方案的期望就是固定的30元。因为28小于30，所以从长期来看，选择乙方案平均收益更高。这就是期望在决策中的应用。 ‹#› 作业 课本P66练习1.3. $