23.3一次函数与方程(组)、不等式（小模块.微专题.大压轴）（十五大题型）2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.3一次函数与方程(组)、不等式》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 微专题1直线围成的图形面积 模块2 由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 微专题2一次函数与不等式组中的区域问题 模块3 利用图象法求一元一次方程的解 压轴1 绝对值函数与方程、不等式之间的关系 模块4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴2 一次函数与面积关系存在性问题 模块5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 压轴3 一次函数中等腰三角形存在性问题 模块6利用图象法求一元一次不等式组的解集 压轴4一次函数中的动点问题 模块7两直线的交点与二元一次方程组的解 压轴5一次函数中的新定义问题 模块8 利用图象法求二元一次方程组的解 知识梳理 · 基础溯源 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 知识点三：.二元一次方程（组）与一次函数的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx十b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx一y十b=0的解;以二元一次方程kx一y十b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx十b的图象上. 2 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线) 二元一次方程组的解为两直线和的交点坐标;反过来,两直线和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解. (1)两直线平行(无交点)，方程组无解（） (2)两直线交于一点，方程组有唯一解; (3)两直线重合，方程组有无数组解（） 知识点4二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法. 2 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式和 (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象. (3)求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值 模块通关·举一反三 【模块一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【例1】如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】江苏省扬州市宝应县氾水镇初级中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查的知识点是已知直线与坐标轴交点求方程的解，解题关键是运用数形结合思想解题． 由直线与轴交点的横坐标为得出，再代入方程，求解即可． 【详解】解：直线与轴交点的横坐标为， ，即， 将代入关于的方程， 得， ， ， ， ． 故选：． 【变式1-1】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】重庆市第八中学校2025-2026学年八年级上学期数学周考试卷 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系相关知识点．解题关键在于熟练掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标和方程的解之间的对应关系．已知一次函数的图象与轴的交点坐标，根据一次函数与一元一次方程的关系，直接得出方程的解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点．对于一元一次方程，它的解就是使得时的值，也就是一次函数图象与轴交点的横坐标． ∴当时，对应的，即方程的解为． 故选：D． 【变式1-2】已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】【智】41 23.3 一次函数与方程（组）、不等式（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】利用图象法解一元一次方程、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 【变式1-3】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】山东省济南市长清区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【模块二】由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 【例2】（2025秋•榕城区期末）·关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【答案】D 【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案． 【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7， ∴x＝7时，y＝kx+b＝3， ∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，即x＝7时，y＝kx+b＝3是解题的关键． 【变式2-1】（2025秋•昭平县期中）方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与（　　） A．x轴交点的横坐标 B．y轴交点的横坐标 C．x轴交点的纵坐标 D．y轴交点的纵坐标 【答案】A 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案． 【解答】解：根据题意知，当x＝﹣2时，y＝0， ∴函数y＝x+2的图象与x轴交点坐标为（﹣2，0）， ∴方程x+2＝0的解就是函数y＝x+2的图象与x轴交点的横坐标， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用了函数与方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 【变式2-2】（2025春•西乡塘区校级期末）·根据下表中一次函数y＝kx+b（k≠0）的自变量与函数值y部分的对应值，判断方程kx+b＝0的一个解x的取值范围是（　　） x … 2.13 2.14 2.15 2.16 ..． y … ﹣0.09 ﹣0.02 0.05 0.12 ..． A．2.13＜x＜2.16 B．2.13＜x＜2.15 C．2.13＜x＜2.14 D．2.14＜x＜2.15 【答案】D 【分析】根据方程kx+b＝0的解即为y＝0时对应的x的值，于是得到结论． 【解答】解：由表中数据得方程kx+b＝0的一个解x的取值范围是2.14＜x＜2.15， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式2-3】（2025•雁塔区校级二模）·已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于方程kx+b＝0的解是x＝3，即x＝3时，y＝0，所以直线y＝kx+b经过点（3，0），然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x＝3， ∴y＝kx+b经过点（3，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 【模块三】利用图象法求一元一次方程的解 【例3】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】安徽省合肥市蜀山区2024--2025学年上学期八年级数学期末试卷 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 【变式3-1】已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】河北省邯郸市临漳县第五中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 【变式3-2】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式3-3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 【模块四】由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【例4】如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 【变式4-1】如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】山东省临沂市蒙阴县第三中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 【变式4-2】一次函数的图象，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省苏州市 苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年 八年级上学期数学周测（12） 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故选A． 【变式4-3】如图，一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于x的方程的解为 C．y随x的增大而减小 D．不等式的解集是 【答案】D 【难度】0.65 【来源】江苏省无锡市宜兴市实验中学2025-2026学年上学期 八年级数学独立作业试卷（1月） 【知识点】判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，不等式的解集是，故B错误，D正确； 故选：D． 【模块五】根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 【例5】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】甘肃省酒泉市肃州区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当时，的取值范围． 【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1， ∴当时，的取值范围为， 故选D． 【变式5-1】如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】 陕西省西安市西咸新区沣西实验学校2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（5月份） 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合函数图象，写出对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当时，， 所以不等式的解集为． 故选：A． 【变式5-2】若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】江苏省连云港市赣榆实验学校2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试卷 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及利用函数图象来求解不等式的解集，解决本题的关键在于利用函数图象的交点坐标来确定不等式的解集． 先根据点A在函数上求解出x的值，再结合图象求解不等式即可． 【详解】解：已知交点在函数的图象上， ∴，可得， 即交点的坐标为． 由图象可知，关于的不等式的解集为函数在函数上方的部分包含交点， 即， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 【变式5-3】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 【模块六】利用图象法求一元一次不等式组的解集 【例6】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】江苏省连云港新海初级中学2025-2026学年八年级上学期数学周测7 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故答案为：． 【变式6-1】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，观察图象直接写出关于x的不等式组的解集________． 【答案】﹣1＜x＜2 【分析】利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案． 【详解】解：根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2， 故答案为：﹣1＜x＜2． 【点睛】此题主要考查了一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【变式6-2】已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题： (1)x取何值时，？ (2)x取何值时，？ (3)当，求的取值范围； (4)当，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【来源】四川省成都市邛崃市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】求一次函数自变量或函数值、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】（1）当时，得到，解得，根据函数的性质，得到解即可． （2）当时，得到，解得，根据函数的性质，得到解即可． （3）求，的函数值，根据函数的性质解答即可； （4）求，时的对应自变量的值，根据函数的性质解答即可． 本题考查了函数的性质，求函数值，求自变量的值，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴时，得． （2）解：当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∴时，得． （3）当时，得到， 当时，得到 ∵中， ∴y随x的增大而增大， ∴时，得． （4）解：当时，得到， 解得， 当时，得到， 解得， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∴时，得． 【变式6-3】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.85 【来源】陕西省宝鸡市扶风县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图像找到两函数图像在x轴上方部分对应的x的范围即可； （3）根据图像找到图象在图象上方所对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）根据图象可以得到关于的不等式组的解集； （3）点， 由图象可知，不等式的解集是． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【模块七】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例7】如图，直线与直线交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】安徽省安庆市第四中学 2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是． ∴在方程组中，， 解得． 故选：D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】江西省九江市2025-2026学年上学期八年级第三次阶段性评估数学试卷 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选A． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市光明区2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试题 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是明确“两直线的交点坐标就是对应方程组的解”．先根据直线的解析式求出交点A的纵坐标，再结合交点坐标与方程组解的关系，得到方程组的解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴将代入解析式：， ， ∴直线与直线交点坐标就是方程组的解， ∴该方程组的解为， 故答案为：. 【变式7-3】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】福建省漳州市漳浦县绥安中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷（期末阶段拓展（一） ） 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解，就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键．由题意和图象得，二元一次方程组的解为，进一步可得，即可求出答案． 【详解】解：由题意和图象得，二元一次方程组的解为， 根据二元一次方程组可得，， 解得． 故答案为：． 【模块八】利用图象法求二元一次方程组的解 【例8】（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【难度】0.85 【来源】寒假作业17 二元一次方程与一次函数（巩固培优）八年级数学新教材北师大版 【知识点】图象法解二元一次方程组、画一次函数图象 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】四川省眉山市洪雅县实验中学校2022-2023学年 八年级下学期数学5月月考试卷 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式8-2】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点坐标，结合图形求解．将点代入，求出的值，结合图像交点的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数与的交点为， ， 解得：， 点的坐标为， 的解为：． 故选：A． 【变式8-3】综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）3；；图见解析；（2）；（3）；（4） 【难度】0.65 【来源】广西梧州市岑溪市糯垌中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查一次函数的图象与性质以及一次函数和不等式的关系． （1）将代入，令，求出坐标，再根据要求画出图象即可； （2）观察图象，写出交点的坐标即可； （3）根据交点的坐标即可得到结论； （4）根据图象的交点，写出当一次函数位于图象上时求x的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，， 当时，， 两个函数的图象如图所示： 故答案为：3；； （2）观察图象知，交点的坐标为； （3）观察图象知，交点的坐标为， ∴方程组的解为； （4）满足时自变量x的取值范围是． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】直线围成的图形面积 【例9】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【来源】解题技巧专题 一次函数与几何图形的综合 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算． 将点代入一次函数解析式中，求出；对于一次函数解析式，令，求出的值，得到的长度；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将点代入，得到：， 令，则，解得：， ∴， 则的面积为：. 故答案为：. 【变式9-1】一次函数的图象经过点，，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省成都市2025-2026学年八年级上册期末考试数学模拟试题2 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键；利用待定系数法求直线的解析式，即可求得直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， 令，则， ∴直线与y轴的交点C为， ∴． 故答案为：． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若函数的图象与一次函数的图象的交点为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【难度】0.94 【来源】福建省厦门市海沧区厦门双十中学海沧附属学校2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题 【知识点】画一次函数图象、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，画一次函数的图象，坐标与图形面积，熟练地求解一次函数的解析式是解本题的关键． （1）先列表，再描点画图， （2）利用待定系数法求解一次函数的解析式，再联立解析式求出交点坐标；然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表： 1 画图如下： （2）解：∵一次函数的图象经过，两点． ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 联立和函数得 解得： ∴点C的坐标为， 画图如下： ∴的面积． 【变式9-3】已知直线：与直线：（其中k为正整数），记 ，与x轴围成的三角形面积为，则 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省成都市龙泉驿区向阳桥学校2025-2026学年 八年级上学期第三学月测数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题、求直线围成的图形面积 【分析】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0． 变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴直线经过点； ∵直线：， ∴直线：经过点． ∴无论k取何值，直线与的交点均为定点． ∵直线与x轴的交点为， 直线：与x轴的交点为， ∴， ∴； ∴ 故答案为：；． 【微专题二】 一次函数与不等式组中的区域问题 【例10】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解． 【详解】解：由题意得，下图阴影部分（所在的区域）为x，y满足题设条件的区域， 联立， 解得：，即点， 对于，令，则，故点， 由得：， 则为直线与y轴交点的纵坐标， 如图，当直线：过点A时，此时最小，即M最大， 将点A坐标代入上式得：，解得：， 同理当直线：过点B时，此时最大，即M最小， 即，解得：， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大． 【变式10-1】我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．－0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜－0.5或x＞2 【答案】B 【分析】由若不等式，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集． 【详解】解：若，则有或， 若不等式，则有或． 当时， 由图象可知的解集是x＜－0.5，的解集是x＜2， ∴不等式组无解， 当时， 由图象知的解集是x＞－0.5，的解集是x＜2， ∴不等式组的解集是－0.5＜x＜2， 综上所述：． 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键． 【变式10-2】（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 内部（不包括边上）的整点满足、均为正整数，， 当时，只有一个整点，整点不足个，不符题意； 当时，整点有、、，共个，符合题意； 当时，有多个整点，不符合题意； 故选：D． 【变式10-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，轴上有一点，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点， ， 如图1， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，直线的解析式为， ∵轴， ∴的横坐标为， ∵直线与线段有交点， ∴， 解得：； （3）的取值范围是或．理由如下： 由， 经过定点， 分两种情况讨论： 当时，如图2， 直线围成的封闭图形不包括边界有个整点， 当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 当时，如图3， ∴当时，，当时，， 联立得：， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 压轴突破·素养提升 【压轴一】绝对值函数与方程、不等式之间的关系 【例11】已知函数． (1)请完善下表．通过描点、连线，在网格图中画出函数的图象； x … 0 … y … …    (2)通过观察（1）中的函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)、1，1、0、1；见解析； (2) 【难度】0.85 【来源】福建省南平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【知识点】用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式即可得的值，再画出函数的图象； （2）由题意直接根据图象求得即可． 【详解】（1）解：表格如下： x … 0 1 … y … 1 0 1 … 函数图象如下：    （2）解：由图象可知：不等式的解集为：． 【变式11-1】通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【难度】0.4 【来源】江苏省南京市钟英中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 【变式11-2】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，减小 (4)①或；②或 【难度】0.4 【来源】河南省郑州中学初中部2025-2026学年八年级数学上学期期中试卷 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）①结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 【详解】（1）解：当时，﹒ 故答案为：3 （2）解：该函数图象的另一部分如图所示： ； （3）解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； （4）解：①由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ②∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 【变式11-3】阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 4 … ③在图②中描点、连线：    (1)请将文中描点、连线的过程补充完整； (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是____________； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点） ③关于x的方程的解是____________． ④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③或；④或 【难度】0.4 【来源】山东省青岛第三十九中学2025-2026学年上学期期末质量检测八年级数学试卷 【知识点】根据一次函数增减性求参数、绝对值方程、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数与不等式的应用，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据表格描点，依次连线，即可； （2）①由函数图象进行解答即可；②由函数图象进行解答即可；③对绝对值方程进行求解即可；④根据函数将分为当时和当时，分别求解进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，依次连线，如下图， （2）解：①由函数图象可得，该函数图象的最低点的坐标是， 故答案为：； ②由函数图象可得，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是， 故答案为：； ③ 或 解得或， 故答案为：或； ④当时，，将与联立， 得 ， 若， 解得， ∵， ∴当时，，则 解得，则其取值范围为； 当时，，则（不满足），无解． 当时，，将与联立， 得 ， 若，解得，即恒有一个交点． 若，方程变为，左支与直线重合，有无数交点（不符合题意）； ∴当时，的图象与直线有两个交点， ∴当或时，的图象与直线只有1个交点． 【压轴二】一次函数与面积关系存在性问题 【例12】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集； (3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)不等式kx+b﹣3x>0的解集为 (3)点D的坐标为：或 【分析】（1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； （2）结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的的范围即可； （3）先确定B点坐标，设点，则，，然后求出即可得到D点坐标． （1） 解：当时，， 点坐标为． ∵直线经过和， ∴，解得：， 一次函数的解析式为， （2） 解：根据函数图象可知，不等式的解集是； （3） 解：如图，在直线上任取点，过点D作轴交直线AB于点E 当时，即，解得， ∴ ∵S△BCD＝2S△BOC ∴ ∵ ∴ ∴ 设点，则 ∴ ∴，解得或 ∴点D的坐标为：或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及一次函数面积问题，解题关键是利用铅锤法表示三角形面积，注意分类讨论． 【变式12-1】如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市第四十五中学芙蓉分校2025-2026学年上学期八年级第三次月考数学试题 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式12-2】如图，直线与轴交于点，与直线交于点，直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）直接写出使得不等式成立的的取值范围． （3）在直线上找点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）（，-2）或（，2） 【分析】（1）先将P坐标代入的解析式中求出m值，得到点P坐标，再和A点坐标一起代入的解析式中求得解析式即可； （2）根据图像，不等式的解集为直线位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围； （3）先求出点B、C坐标，再利用三角形的面积公式求出，设M点坐标为（t，4t-4），根据列方程求解即可． 【详解】解：（1）把P（m，4）代入得， 解得， ∴点坐标为（2，4） ∵直线：经过A（-2，0），（2，4） ∴ 解得 ∴直线的解析式为： （2）由图可知，不等式 的解集为直线位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围 ∴不等式成立的x的取值范围为 （3）当时，，则（0，2）， 当时，，解得，则（1，0）， ∴， 设M点坐标为（t，4t-4） 因为， 所以，解得或， 所以点的坐标为（，-2）或（，2）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、由两直线的交点求不等式的解集、坐标与图形的性质、三角形的面积公式、解绝对值方程等知识，熟练掌握这些知识的灵活运用是解答的关键． 【变式12-3】已知一次函数与的图像平行，且与x轴交于点A的横坐标为2． (1)求k，b的值； (2)在下面的坐标系中，画出一次函数和的图像，并借助图像求方程组的解； (3)根据图像直接写出，当x取何值时，； (4)若与x轴的交点为B，和两图像的交点为C．在的图像上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【来源】第6章 一次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版） 【答案】(1)k=-2，b=4 (2) (3)x＞1 (4)（5，6）或（-7，-6） 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）观察图像可知一次函数y1和y2=x+1的图像的交点为（1，2），据此即可求得方程组的解集； （3）根据图像即可求解； （4）设P（x，x+1），由△OBP的面积与△ABC的面积相等，得到×1×|x+1|=3，解得x=5或-7，即可求得P（5，6）或（-7，-6）． 【详解】（1）解：∵一次函数y1=kx+b与y=-2x的图像平行， ∴k=-2， ∵一次函数y1=kx+b与x轴交于点A的横坐标为2． ∴A（2，0）， 代入y=-2x+b得0=-4+b， ∴b=4； （2）画出一次函数y1和y2=x+1的图像如图： 由图像可知一次函数y1和y2=x+1的图像的交点为（1，2）， ∴方程组的解； （3）观察图像，当x＞1时，y1＜y2； （4）令y=0，则x+1=0，解得x=-1， ∴B（-1，0）， ∴OB=1， ∵A（2，0），C（1，2）， ∴S△ABC=×（2+1）×2=3， 设P（x，x+1）， ∵△OBP的面积与△ABC的面积相等， ∴×1×|x+1|=3， 解得x=5或x=-7， ∴P（5，6）或（-7，-6）． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系，三角形面积，能根据函数解析式求得交点坐标是解此题的关键． 【压轴三】一次函数中等腰三角形存在性问题 【例13】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式． (2)请直接写出不等式的解集． (3)若在x轴上存在一点D，且是以为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， ， 【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图像找到一次函数图像在上方的部分即可得到答案； （3）根据勾股定理求出，分，两类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数与函数的图像交于点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， 将点与点代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：由图像可得， 当时，函数的图像在函数的图像的上方， ∴的解集是； （3）解：由勾股定理可得， ， 当时， ∵点D在x轴上， ∴点D的坐标为：，； 当时，直线是的垂直平分线， ∴, ∴点D的坐标为：； 综上所述点D的坐标为：， ，． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与正比例函数图像交点问题，利用函数图像解不等式，动点组成等腰三角形问题，解题的关键是求出点C的坐标及分类讨论． 【变式13-1】如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、已知两点坐标求两点距离 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设 ， ∴ 由题意知 当时，即，即 ， ∴或， 当时，即， 过点P作轴于H点，则 在中， ∴或 ∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式13-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，为直线上一点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，为中点，为直线上一点，在轴下方时，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【难度】0.4 【来源】四川省成都市石室天府中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理； （1）将代入，即可求解； （2）先求得点的坐标，根据题意得出，设，进而分类讨论，分别根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）根据中点坐标公式求得，勾股定理求得，再分类讨论①当时，②当时，②当时，分别建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：∵，与轴交于点． 当时， ∴ ∴ ∴， 设， 设直线与交于点， 对于，当时，， ∴ 如图，当在下方时， ∴ ∴ 解得： ∴ 如图，当在上方时， ∴ ∴ 解得： ∴， 综上所述，当时，点的坐标为或 （3）解：如图， ∵为中点，， ∴， ∵ ∴ ∵为等腰三角形， ①当时，为直线上一点， ∴或 设， ②当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ ③当时， ∴ 解得： ∴ 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或 【变式13-3】【活动回顾】： 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．       【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】： (3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． ③若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；； (3)①，；②；③存在，点坐标为或，或，或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；②通过观察图象求解即可；③分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， 随值的增大而减小， 当时，， 当时，， 不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， 的解为两直线交点的横坐标， 方程的解为， 由图象可得，当时，， 不等式的解是， 故答案为：，，； （3）解：①联立方程组， 解得， ， 当时，， ， ； ②由的图象可知，当时，， 当时，， 方程组的解集为， 故答案为：； ③存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 令，则， ， ， ，，， ①当时，， 解得（舍或， ； ②当时，， 或， ，或，； ③当时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或，或，或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合． 【压轴四】一次函数中的动点问题 【例14】如图，在四边形中，，过点作于点，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； (3)或 【难度】0.65 【来源】重庆市铜梁实验中学校2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、判断一次函数的增减性、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、三角形面积的计算等： （1）当点F在上运动时，由即可求解；当点F在上运动时，根据等积关系先求出，再同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解； （3）联立求出交点坐标，然后观察函数图象即可求解； 【详解】（1）解：①当时，如图， ∵ ∴ ∴； ②当时，如图 过点E作于点G， ∵ ∴ 又 ∴ 又 ∴， 综上，； （2）解：对于函数，取描点，连线可得； 对于函数，取描点，连线可得； 如图： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：联立， 解得，； 联立， 解得， 所以，当或时，， 即不等式的解集为或． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长； (3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时k的正整数值是 　 　. 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数的解析式． （2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则，，由求出m，即可得的长． （3）由图可知，将点B和点A代入直线，可确定k的范围，参考题意k取正整数值． 【详解】（1）当时，， B点坐标为， 直线经过和， 则， 解得： ， 一次函数的解析式为． （2）设点C的横坐标为m，则，， ，， ， ，解得， ，， ． （3）， 解得， k取正整数值， 或2． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键． 【变式14-2】如图，在中， ，E为上一点，，动点P从E 出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接，设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)一次函数的图象与y的图象有2个交点时，请直接写出函数k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【来源】K12重庆市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，勾股定理，一次函数图象的性质，两条直线的交点问题， 对于（1），分两段根据三角形的面积公式可得答案； 对于（2），先画出函数图象，再图象的增减性得出答案； 对于（3），先确定直线经过点，并画出图像，再求出直线经过点时k的值，然后求出直线经过点时k的值，即可得出符合题意的范围． 【详解】（1）解：y关于x的函数表达式为； 过点B作交于点D， 根据勾股定理，得， ， 即， 解得． 当时，； 当时，， 所以y关于x的函数表达式为； （2）解：在函数自变量范围内，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 作图如下： （3）解： 当时，， ∴直线经过点. 当时，，则点， 当直线经过点时与y的图象有1个交点， 则， 解得； 当时，，则点， 当直线经过点时与y的图象有1个交点， 则， 解得， 所以当时，直线经过点时与y的图象有2个交点． 【变式14-3】如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【难度】0.65 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、画一次函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质； （1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得当一次函数分别经过三个特殊点时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 当时， 当时，如图， ，， ∴ ∴ （2）解：列表 描点连线，如图所示， 性质，当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）当过点时， 解得：； 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得： 结合函数图象可得，当与函数的图象有且仅有1个交点时，或． 【压轴五】一次函数中的新定义问题 【例15】定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【来源】黑龙江省大庆市肇源县第二中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一元一次不等式的解集、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式15-1】数学中，定义符号表示两个数中的最大值，如，，现有函数，请回答如下问题： (1)①当时，函数的函数值________； ②当时，函数的函数值________； ③当时，函数的函数值________； (2)求函数的解析式． (3)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点,点的坐标为（1，0），函数（为常数，且）与函数相交于不同两点B（0，1）、，分别记△，△的面积为、，且有，求k的值． 【答案】(1)①2；②0；③4； (2) (3)k= 【分析】（1）定义符号的意义即可得到结论； （2）分两种情况：当-x+1≥2x-2时， max{-x+l， 2x-2}=-x+1 ；当-x+1<2x-2时max{-x+l， 2x-2}=2x-2 ； （3）根据题意点C在射线y=2x-2 (x>1)上，与y=kx+ 1联立成方程组，解方程组求得点C的坐标为： (， )，，然后根据三角形面积公式得到 ，，由，得到关于k的方程，解方程即可． （1）解：①∵当x=−1时，，，∴函数值y=2，故答案为：2；②∵当x=1时，，，∴函数值y=0，故答案为：0；③∵当x=3时，，，∴函数值y=4，故答案为：4； （2）解：函数y=max{-x+l， 2x- 2}的解析式为： （3）解：∵函数y=kx+1 ( k为常数，且0<k<2)与函数y=max{-x+1， 2x-2}相交于不同两点B (0， 1)、C，点B在射线y=-x+1 (x≤1)上，∴点C在射线y=2x-2 (x>1 )上，联立，得 ，解得 ，∴点C的坐标为： (， )， ，，∵，∴，解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积，明确定义符号的意义是解题的关键． 【变式15-2】定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由; (2)设函数与的图像相交于点P. ①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是函数的“组合函数” (2)①；②存在，见详解 【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：是函数的“组合函数”， 理由：由函数的“组合函数”为：， 把m=3，n=1代入上式，得， 函数是函数的“组合函数”； （2）解：①解方程组得， 函数与的图像相交于点P， 点P的坐标为， 的“组合函数”为， ， ，点P在函数的“组合函数”图像的上方， ，整理，得， ，， p的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点P． 将点P的坐标代入“组合函数”，得 ， ， ， ，， 将代入=， 把y=0代入，得 解得：， 设，则， ， 对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键． 【变式15-3】【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由经过定点求解． （2）将代入求解． （3）先将与代入求出点坐标，再将所求点坐标代入求出，结合图象求出取值范围． 【详解】解：（1）， 点坐标为． 故答案为：． （2）由题意可得点所在直线解析式为， 将代入得， 解得， 该“友好线”的解析式为． （3）由题意得当时，直线在直线下方， 把代入得，把代入得， 直线经过点，， 把代入得， 把代入得， 解得， 经过定点，时，如图， 时，如图， ∴或时满足题意． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《23.3一次函数与方程(组)、不等式》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 微专题1直线围成的图形面积 模块2 由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 微专题2一次函数与不等式组中的区域问题 模块3 利用图象法求一元一次方程的解 压轴1 绝对值函数与方程、不等式之间的关系 模块4 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 压轴2 一次函数与面积关系存在性问题 模块5 根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 压轴3 一次函数中等腰三角形存在性问题 模块6利用图象法求一元一次不等式组的解集 压轴4一次函数中的动点问题 模块7两直线的交点与二元一次方程组的解 压轴5一次函数中的新定义问题 模块8 利用图象法求二元一次方程组的解 知识梳理 · 基础溯源 知识点一：一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 知识点三：.二元一次方程（组）与一次函数的关系 1.一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数y=kx十b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx一y十b=0的解;以二元一次方程kx一y十b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx十b的图象上. 2 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数(两条直线) 二元一次方程组的解为两直线和的交点坐标;反过来,两直线和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解. (1)两直线平行(无交点)，方程组无解（） (2)两直线交于一点，方程组有唯一解; (3)两直线重合，方程组有无数组解（） 知识点4二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法. 2 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式和 (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象. (3)求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值 模块通关·举一反三 【模块一】由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【例1】如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，，则的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【模块二】由一元一次方程的解判断直线与X轴交点 【例2】（2025秋•榕城区期末）·关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（　　） A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3） 【变式2-2】（2025春•西乡塘区校级期末）·根据下表中一次函数y＝kx+b（k≠0）的自变量与函数值y部分的对应值，判断方程kx+b＝0的一个解x的取值范围是（　　） x … 2.13 2.14 2.15 2.16 ..． y … ﹣0.09 ﹣0.02 0.05 0.12 ..． A．2.13＜x＜2.16 B．2.13＜x＜2.15 C．2.13＜x＜2.14 D．2.14＜x＜2.15 【变式2-3】（2025•雁塔区校级二模）·已知方程kx+b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【模块三】利用图象法求一元一次方程的解 【例3】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【变式3-3】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【模块四】由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【例4】如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【模块五】根据两条直线的交点坐标求不等式的解集 【例5】已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，直线交轴于点，直线y=mx+n交x轴于点，这两条直线相交于点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【模块六】利用图象法求一元一次不等式组的解集 【例6】一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是 ． 【变式6-1】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，观察图象直接写出关于x的不等式组的解集________． 【变式6-2】已知函数与的图像如图所示，观察图像并解决下列问题： (1)x取何值时，？ (2)x取何值时，？ (3)当，求的取值范围； (4)当，求x的取值范围． 【变式6-3】在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【模块七】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例7】如图，直线与直线交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为 ． 【变式7-3】一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为 ． 【模块八】利用图象法求二元一次方程组的解 【例8】（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】综合与实践 学习小组根据学习一次函数的经验，对函数和的交点问题进行了探究．下面是探究的过程，请补充完成： 【动手操作】 （1）如图所示，在同一坐标系中，作出这两个函数的图象：经过点（2， ）和画的图象；经过点（ ，0）和画的图象． 【观察实践】 （2）观察发现，这两个函数图象在第二象限内相交，请写出这个交点的坐标； 【应用迁移】 （3）结合图象，直接写出方程组的解； （4）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】直线围成的图形面积 【例9】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为 ． 【变式9-1】一次函数的图象经过点，，则的面积为 ． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若函数的图象与一次函数的图象的交点为，求的面积． 【变式9-3】已知直线：与直线：（其中k为正整数），记 ，与x轴围成的三角形面积为，则 ， ． 【微专题二】 一次函数与不等式组中的区域问题 【例10】要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____． 【变式10-1】我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx＋b与y＝mx＋n分别交x轴于点A（－0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx＋b）（mx＋n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．－0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜－0.5或x＞2 【变式10-2】（2025顺义区模拟）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴上有一点，，过点作轴，设点的纵坐标为，将点先向右平移个单位长度再向上平移个单位长度得到点． (1)在图中画出直线，并求直线的解析式； (2)若直线与线段有交点，求的取值范围； (3)若直线与轴，直线围成的封闭图形不包括边界有个整点(横、纵坐标均为整数的点)，直接写出的取值范围． 压轴突破·素养提升 【压轴一】绝对值函数与方程、不等式之间的关系 【例11】已知函数． (1)请完善下表．通过描点、连线，在网格图中画出函数的图象； x … 0 … y … …    (2)通过观察（1）中的函数图象直接写出不等式的解集． 【变式11-1】通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【变式11-2】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中 ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是 ，当时，y随x的增大而 ； (4)进一步探究： ①不等式的解集是 ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是 ． 【变式11-3】阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 4 … ③在图②中描点、连线：    (1)请将文中描点、连线的过程补充完整； (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是____________； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点） ③关于x的方程的解是____________． ④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【压轴二】一次函数与面积关系存在性问题 【例12】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集； (3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标． 【变式12-1】如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式12-2】如图，直线与轴交于点，与直线交于点，直线交轴于点，直线交轴于点． （1）求直线的表达式； （2）直接写出使得不等式成立的的取值范围． （3）在直线上找点，使得，求点的坐标． 【变式12-3】已知一次函数与的图像平行，且与x轴交于点A的横坐标为2． (1)求k，b的值； (2)在下面的坐标系中，画出一次函数和的图像，并借助图像求方程组的解； (3)根据图像直接写出，当x取何值时，； (4)若与x轴的交点为B，和两图像的交点为C．在的图像上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【来源】第6章 一次函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版） 【压轴三】一次函数中等腰三角形存在性问题 【例13】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图像相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式． (2)请直接写出不等式的解集． (3)若在x轴上存在一点D，且是以为腰的等腰三角形时，求此时点D的坐标． 【变式13-1】如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【变式13-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)如图1，为直线上一点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，为中点，为直线上一点，在轴下方时，若为等腰三角形，求点的坐标． 【变式13-3】【活动回顾】： 七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．       【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______． 【拓展延伸】： (3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①求点，的坐标； ②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______． ③若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴四】一次函数中的动点问题 【例14】如图，在四边形中，，过点作于点，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． (1)请求出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长； (3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时k的正整数值是 　 　. 【变式14-2】如图，在中， ，E为上一点，，动点P从E 出发，沿方向运动，到达点B时停止运动，连接，设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)一次函数的图象与y的图象有2个交点时，请直接写出函数k的取值范围． 【变式14-3】如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 【压轴五】一次函数中的新定义问题 【例15】定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【变式15-1】数学中，定义符号表示两个数中的最大值，如，，现有函数，请回答如下问题： (1)①当时，函数的函数值________； ②当时，函数的函数值________； ③当时，函数的函数值________； (2)求函数的解析式． (3)在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点,点的坐标为（1，0），函数（为常数，且）与函数相交于不同两点B（0，1）、，分别记△，△的面积为、，且有，求k的值． 【变式15-2】定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由; (2)设函数与的图像相交于点P. ①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【变式15-3】【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $