第1-4单元解决问题（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦几何与比例应用，通过生活情境题构建"公式应用-变式迁移-综合建模"的解题逻辑链，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何计算|10题（如1-10题）|含圆柱圆锥表面积体积、等积变形|从基础公式到复杂组合体，渗透转化思想| |比例应用|8题（如11-18题）|比例尺、正反比例、图像分析|建立"实际问题-比例模型-方程求解"路径| |图形变换|3题（如17-19题）|旋转作图、图案设计|结合空间想象与几何直观，培养空间观念| |统计应用|3题（如22-24题）|表格数据、正比例判断|通过数据关联发展数据意识与模型观念|

第1-4单元解决问题专练 -2025-2026学年数学六年级下册北师大版 1．在一个底面直径为8厘米，高为10厘米的圆柱形笔筒的侧面都贴上彩纸，贴彩纸的面积是多少平方厘米？ 2．周末，淘气一家去露营，他们搭建了一个圆锥形的帐篷，底面直径约8米，高约3.6米。这个帐篷的体积约是多少立方米？（得数保留整数） 3．一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 4．粤粤把一张长方形的纸沿着长边方向正好卷成一个圆柱（如下图）。这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 5．如图所示茶杯。 （1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计） （2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？ 6．下面三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。 （计算时π取3.14，单位：厘米。） （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 7．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是2米，高1.5米，这堆沙子的占地面积是多少平方米？如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 8．把一瓶475毫升的汾酒倒入下图(单位：厘米)的高脚杯中，最多可以倒满多少杯？ 9．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了水。圆锥的高为12厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.884立方厘米/分。 （1）圆锥里的水漏完需要多少分？ （2）圆锥里的水全部漏到圆柱里，圆柱里水面的高度是多少厘米？ 10．一张圆形饺子皮的直径是8厘米，厚度是2毫米，李阿姨用50张这样的饺子皮整齐地叠放在一起。 （1）这些饺子皮叠放在一起后所形成的图形是一个近似的圆柱体，这个圆柱的高是（    ）厘米。 （2）这个由饺子皮叠放而成的圆柱放在案板上，露在外面的面积是多少平方厘米？ （3）这个由饺子皮叠放而成的圆柱体积是多少立方厘米？ （4）李阿姨家的孩子把这些饺子皮全部揉成一团后再捏成长5厘米，宽4厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 11．2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 12．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 13．在比例尺是1∶50000000的地图上，甲、乙两地航空线的图上距离是4.2厘米。一架飞机以每小时700千米的速度从甲地飞往乙地，几小时可以到达？ 14．二维码支付因其简便、安全、快捷的性能，在生活中很受大家欢迎。卖早餐的王阿姨根据需求，在摊位边上贴了收款二维码，某天早上，通过二维码收款和现金收款的比是3∶2，其中通过二维码收款219元，这天早上通过现金收款多少元？（用比例解答） 15．数学综合实践课上同学们要测量一棵树的高度，量得树的影长是8.4米，淘气的身高是1.5米，他的影长是1.2米。这棵树高多少米？ 16．甲、乙两地相距270千米，在1∶9000000的地图上，甲、乙两地的距离是多少厘米？ 17．如图每个小方格的边长都表示1cm。 （1）把图形①绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，点A的位置用数对表示为（    ）。 （2）按1∶2的比画出图形②缩小后的图形，缩小后图形的面积是原来的（    ）。 （3）以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径画个圆，这个圆的面积是（    ）。 （4）在方格纸的空余位置设计一个面积是4cm2的轴对称图形，并画出它的一条对称轴。 18．如下图奇奇坐出租车从家经过学校去书店。请你按图表中提供的信息，算一算，奇奇一共要付车费多少元？（量得距离取整厘米数）    某市出租车的收费标准如下表： 路程 收费 3km以下（含3km） 9.00元 3km以上，每增加1km（不足1km按1km计算） 2.40元 19．“粽”享创意。 包装盒上精美的图案，可以传递出对亲朋好友的祝福和关爱，让这个传统节日更加温馨和美好。 （1）如图是粽子盒上的图案设计，可以看成是一个平行四边形A绕点（    ）按（    ）针方向旋转5次得到的，每次旋转（    ）度。 （2）请你也来创作一幅图案，在方格纸上先画出一个基础图形，再画出旋转后的设计图案，并写出设计的过程。 我的设计过程： 20．小明看一部时长90分钟的科普纪录片，他先以正常速度看了30分钟，然后把播放速度调快至原来的1.5倍。按这个速度，剩下的部分还需要多少分钟才能看完？ 21．配制一种农药，药粉和水的质量比是1∶500，现有水5000千克，配制这种农药需要药粉多少千克？（用比例解） 22．某车队需运送一批货物。如果用载重6吨的货车运送，需要32辆车。如果用载重8吨的货车运送，需要几辆车？（用方程知识解答） 23．印刷厂准备把一批笔记本打包，运往商店。 包数/包 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 本数/本 0 40 80 120 160 … （1）把上表填完整。 （2）判断本数与笔记本的包数是否成正比例，并说明理由。 （3）把上表中包数与本数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。    24．华天冷饮批发超市内某种雪糕的销售情况如下表。 销售量／箱 0 1 2 3 4 5 销售额／元 0 30 60 90 120 150 （1）这种雪糕的销售额与销售量成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中这种雪糕的销售量与销售额所对应的点描在上边的方格纸上，再顺次连接。 （3）600元可以买（    ）箱这种雪糕。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1-4单元解决问题专练 -2025-2026学年数学六年级下册北师大版》参考答案 1．251.2平方厘米 【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高，底面周长＝πd，将数据代入公式，求出这个圆柱的侧面积，即贴彩纸的面积。 【详解】3.14×8×10 ＝25.12×10 ＝251.2（平方厘米） 答：贴彩纸的面积是251.2平方厘米。 2． 60立方米 【分析】已知一个圆锥形的帐篷，底面直径约8米，高约3.6米，用直径除以2计算出底面半径，然后根据圆锥体积公式计算出圆锥体积，即这个帐篷的体积。 【详解】8÷2＝4（米） ×3.14×42×3.6 ＝×3.14×16×3.6 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288 ≈60（立方米） 答：这个帐篷的体积约是60立方米。 3．9.42厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥铁块熔铸成长方体，体积不变，用圆锥的体积除以长方体的宽，再除以长方体的高，即可求出长方体的长。 【详解】3.14×32×20×÷5÷4 ＝3.14×9×20×÷5÷4 ＝28.26×20×÷5÷4 ＝565.2×÷5÷4 ＝188.4÷5÷4 ＝37.68÷4 ＝9.42（厘米） 答：长方体的长是9.42厘米。 4．628平方厘米；1570立方厘米 【分析】根据圆柱的侧面展开图的特点：圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可知，这个圆柱的侧面积就是这个长方形纸的面积，所以根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形纸的面积，即为圆柱形纸筒的侧面积；再根据圆柱的半径r＝C÷π÷2，求出圆柱的半径，再根据圆柱的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】31.4×20＝628（平方厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 答：这个圆柱的侧面积是628平方厘米，体积是1570立方厘米。 5．（1）31.4厘米（2）1177.5毫升 【分析】（1）装饰带的长就是圆柱的底面周长，根据圆的周长C＝πd，代入数据计算，即可求出这条装饰带长至少是多少厘米。 （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可求出这个茶杯的容积。据此解答。 【详解】（1）10×3.14＝31.4（厘米） 答：长至少是31.4厘米。 （2）10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝1177.5（立方厘米） 1177.5立方厘米＝1177.5毫升 答：这个茶杯的容积大约是1177.5毫升。 6．（1）①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小 （2）长为37.68厘米，宽为1厘米；图形见详解；113.04立方厘米 （3）见详解 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此分别求出三个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此分别求出三个圆柱的体积，再进行对比即可； （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。 （3）长方形的面积相当于圆柱的侧面积，则圆柱的侧面积相等，底面底面半径大，体积就越大。 【详解】（1） ①3.14×（18.84÷3.14÷2）2× 2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方厘米） ②3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方厘米） ③3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×1×6 ＝3.14×6 ＝18.84（立方厘米） 56.52＞37.68＞18.84 答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。 （2）37.68×1＝18.84×2＝12.56×3＝6.28×6 如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。 如图所示： 3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1 ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这个长方形纸的长可能是37.68，宽可能是1厘米，围出的圆柱的体积是113.04立方厘米。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，圆柱的体积就越大。 7．3.14平方米；188.4元 【分析】这堆沙子的占地面积，就是圆锥形沙堆的底面积，根据圆的面积公式：S＝，代入数据解答即可；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出圆锥形沙堆的体积，再用体积乘每立方米沙子的钱数即可解答。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×＝3.14（平方米） 3.14×1.5÷3×120 ＝4.71÷3×120 ＝1.57×120 ＝188.4（元） 答：这堆沙子的占地面积是3.14平方米，李叔叔买这堆沙子需要花188.4元。 8．6杯 【分析】根据圆锥的体积：V＝πr2h，代入数据求出一杯酒的体积。再用475÷一杯酒的体积，商用去尾法保留整数，即可求出能倒满几杯。 【详解】 ×（6÷2）2×3.14×8 ＝ ×32×3.14×8 ＝ ×9×3.14×8 ＝75.36（立方厘米） ＝75.36（毫升） 475÷75.36≈6（杯） 答：最多可以倒满6杯。 9．（1）60分 （2）4厘米 【分析】（1）圆锥的体积＝底面积×高，据此求出水的体积，再用水的体积除以水的流速，求出水漏完需要的时间； （2）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，则圆柱内水的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1） （分） 答：圆锥里的水漏完需要60分。 （2）12（厘米） 答：圆柱里水面的高度是4厘米。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式。 10．（1）10 （2）301.44平方厘米 （3）502.4立方厘米 （4）25.12厘米 【分析】（1）用一张饺子皮的厚度乘张数，求出这个圆柱的高即可； （2）露在外面的面积是圆柱的一个底面积和侧面面积，根据圆柱的底面积和侧面积计算公式计算即可； （3）根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积即可； （4）圆柱的体积等于长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，据此求出长方体的高即可。 【详解】（1）（毫米）＝10（厘米） 所以这个圆柱的高是10厘米。 （2）露在外面的面积： （平方厘米） 答：露在外面的面积是301.44平方厘米。 （3）圆柱体积： （立方厘米） 答：这个由饺子皮叠放而成的圆柱体积是502.4立方厘米。 （4）高： （厘米） 答：这个长方体的高是25.12厘米。 【点睛】本题考查圆柱的表面积和体积、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱的表面积和体积、长方体的体积计算公式。 11．5.54厘米 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】277千米＝27700000厘米 27700000×＝5.54（厘米） 答：应画5.54厘米。 12．30人 【分析】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。 【详解】解：设女职工有x人。 2∶5＝12∶x               2x＝5×12 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30     答：女职工有30人。 13．3小时 【分析】已知地图的比例尺和甲、乙两地航空线的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地航空线的实际距离；再根据“时间＝路程÷速度”，求出飞机从甲地飞往乙地所需的时间。 【详解】4.2÷ ＝4.2×50000000 ＝210000000（厘米） 210000000厘米＝2100千米 2100÷700＝3（小时） 答：3小时可以到达。 14．146元 【分析】根据题意可知，二维码收款和现金收款的比是3∶2，即二维码收款∶现金收款＝3∶2；设这天早上通过现价收款x元，二维码收款219元，列比例：219∶x＝3∶2，解比例，即可解答。 【详解】解：设这天早上通过现金收款x元。 219∶x＝3∶2 3x＝219×2 3x＝438 x＝438÷3 x＝146 答：这天早上通过现金收款146元。 【点睛】根据二维码收款与现金收款的比不变，设出未知数。找出相关的量，列比例，解比例。 15．10.5米 【分析】可以列比例解，先设这棵树高x米，由题意，根据树高∶树的影长＝淘气的身高∶淘气的影长，列比例解答即可。 【详解】解：设这棵树高x米。 x∶8.4＝1.5∶1.2 1.2x＝8.4×1.5 1.2x＝12.6 1.2x÷1.2＝12.6÷1.2 x＝10.5 答：这棵树高10.5米。 【点睛】本题考查比例的应用，注意：根据比例的基本性质来解比例。 16．3厘米 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，那么图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式求出甲、乙两地的图上距离是多少厘米。 【详解】270千米＝27000000厘米 27000000×＝3（厘米） 答：甲、乙两地的距离是3厘米。 【点睛】本题考查了比例尺，掌握图上距离和实际距离的换算是解题的关键。 17．（1）（4，4）；画图见详解 （2）；画图见详解 （3）12.56平方厘米；画图见详解 （4）见详解 【分析】（1）根据旋转的方法，点B不动，把图形①每一条边都绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形即可。根据数对表示位置的方法，第一个数表示列，第二个数表示行，据此解答即可。 （2）根据图形缩小的方法，按1∶2的比，把图形②的长和宽缩小到原来的，形状不变，画出缩小后的图形，根据长方形的边长扩大或缩小到原来的n（倍），那么它的面积就扩大或缩小到原来的（倍），所以缩小后图形的面积是原来的。 （3）根据圆的画法，以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径，画圆即可，根据圆的面积公式S＝πr2，解答即可。 （4）因为4＝2×2，在方格纸的空余位置设计一个边长2厘米的正方形，正方形的面积是2×2＝4（平方厘米），并画出它的一条对称轴即可。（画法不唯一） 【详解】（1）把图形①绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。如下图所示，旋转后，点A的位置用数对表示为（4，4）。 （2）按1∶2的比画出图形②缩小后的图形，如图下图所示，缩小后图形的面积是原来的。 （3）以图形②中的点C为圆心，以它的宽为半径画个圆，如图下图所示： 3.14×2×2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 所以这个圆的面积是12.56平方厘米。 （4）在方格纸的空余位置设计一个边长2厘米的正方形，正方形的面积是2×2＝4（平方厘米），并画出它的一条对称轴。（画法不唯一）如下图∶ （轴对称图形画法不唯一） 【点睛】本题考查画旋转后的图形、圆的画法、圆的面积、比的意义和图形的放大与缩小。 18．21元 【分析】量得奇奇家到学校图上距离是1厘米，学校到书店图上距离是2厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺求出实际距离，根据1千米＝100000厘米，低级单位转化成高级单位除以进率，将厘米化成千米除以100000即可。根据出租车的收费标准即可求出奇奇一共要付车费多少元，据此解答。 【详解】量得总距离3厘米 3÷ ＝3×250000 ＝750000（厘米） 750000厘米＝7.5千米 7.5－3＝4.5（千米） 4.5千米≈5千米 9＋5×2.4 ＝9＋5×2.4 ＝9＋12 ＝21（元） 答：奇奇一共要付车费21元。 【点睛】本题考查的是整数、小数复合应用题，理清题中数量关系是解答关键。 19．（1）O；顺；60 （2）见详解 【分析】（1）据图示，图中围绕O点，有6个平行四边形，O点为整个图形的中心点，则A绕点O按照顺时针方向旋转所得到的。围绕一个点转以圆为运动路径转一圈的度数为360°，则，360°÷6＝60°，每转动一个平行四边形角度为60°。 （2）定点：确定旋转的中心。定向：根据要求，确定是按顺时针方向旋转，还是按逆时针方向旋转。定度数：确定所要旋转的度数把组成的图形的每条线段，按要求画出旋转后的位置，旋转后所有线段组成的图形即旋转后的图形。 【详解】（1）O点为整个图形的中心点，则A绕点O按照顺时针方向旋转所得到的。（答案不唯一） （2）如图： 过程：在图中画一等腰三角形，绕一底角（点O）顺（或逆）时针旋转90°，再旋转90°即可得到一个图案。（答案不唯一） 20．40分钟 【分析】以原速看30分钟以后，还剩余60分钟的内容；再根据“总内容不变时，播放速度与所需时间成反比”得知，当播放速度变为原来的1.5倍（即），所需的时间就会变为原来的。用剩下的时长除以1.5（或乘）得到看完剩下的内容所需的时间。 【详解】剩余内容在正常速度下需要的时间：（分钟） 实际所需的时间：（分钟） 答：按这个速度，剩下的部分还需要40分钟才能看完。 21．10千克 【分析】根据题意可知，药粉∶水的质量比是1∶500；即药粉与水的比值一定，药粉与水的质量之间成正比例，等量关系：药粉∶水＝1∶500，设配制这种农药需要药粉x千克，列比例：x∶5000＝1∶500，解比例，即可解答。 【详解】解：设配制这种农药需要药粉x千克。 x∶5000＝1∶500 500x＝1×5000 500x＝5000 x＝5000÷500 x＝10 答：配制这种农药需要药粉10千克。 【点睛】本题考查列方程解决问题和解比例，注意判断相关量的量是正比例还是反比例。 22．24辆 【分析】根据题意可知，运送货物的总量一定，而一辆货车的载重量×车辆数＝这批货物的重量，即积一定，所以一辆货车的载重量和货车的辆数成反比例，这需要x辆载重8吨的货车，根据这批货物的总量相等，列方程：6×32＝8x，解方程，即可解答。 【详解】解：设需要x辆载重8吨的货车。 6×32＝8x 8x＝192 x＝192÷8 x＝24 答：需要24辆车。 【点睛】本题主要考查列比例解决问题，理解正反比例的含义是解决本题的关键。 23．见详解 【分析】（1）看表，1包是40本，那么5包是5×40＝200（本），据此类推，从而填表； （2）商一定的两个量成正比例关系。判断本数和包数是否商一定，即可判断本数与笔记本的包数是否成正比例； （3）根据（1）完善的表，先描点，再连线。 【详解】（1）4×40＝160（本） 5×40＝200（本） 6×40＝240（本） 7×40＝280（本） 8×40＝320（本） 填表如下： 包数/包 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 本数/本 0 40 80 120 160 200 240 280 320 … （2）因为40÷1＝40（本） 80÷2＝40（本） 120÷3＝40（本） 160÷4＝40（本） 200÷5＝40（本） 240÷6＝40（本） 280÷7＝40（本） 总本数÷书的包数＝每包书中的本数（一定），所以书的包数和总本数成正比例关系。 （3）统计图如下：    【点睛】本题考查了正比例，掌握正比例的意义是解题的关键。 24．（1）成正比例关系，见详解；（2）见详解；（3）20 【分析】（1）求出销售额与销售量的商，即可确定销售额与销售量是不是成正比例； （2）先根据表中的数据再方格纸上描出各点，再顺次连接； （3）根据“数量＝总价÷单价”，用600除以30，即可求出600元可以买多少箱这种雪糕。 【详解】（1）30÷1＝60÷2＝90÷3＝120÷4＝150÷5＝……＝30 这种雪糕的销售额与销售量的商一定，所以这种雪糕的销售额与销售量成正比例。 （2）如下图所示： （3）600÷30＝20（箱） 答：600元可以买20箱这种雪糕。 【点睛】本题考查了成正比例的量的判定方法、图像的画法及根据统计表（图）中的信息解决问题的能力。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $