专题12乘法公式、整式的化简 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

专题12 乘法公式、整式的化简 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 利用乘法公式进行运算】 2 【题型2 利用乘法公式进行简算】 3 【题型3 利用乘法公式变形求值】 4 【题型4 根据完全平方式字母的值】 4 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 4 【题型6 乘法公式的证明】 6 【题型7 利用乘法公式求最值】 8 【题型8 乘法公式的实际应用】 10 【题型9 整式的混合运算】 14 【题型10 整式的化简】 15 · 1. 经历乘法公式的推导过程，理解平方差公式、完全平方公式的几何意义和代数本质，掌握公式的结构特征，明确公式中字母的广泛含义（可表示数、单项式、多项式）。 · 2. 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行简单的整式乘法运算，能根据算式特点选择合适的公式简化运算。 · 3. 掌握整式化简的核心法则，能熟练进行整式的混合运算（含乘方、乘法、加减），遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的。 · 4. 能结合乘法公式、去括号法则、合并同类项法则，对复杂整式进行化简，做到步骤规范、结果简洁。03 知识•梳理 知识点1. 平方差公式 · （1）公式表达式： · （2）文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 · （3）结构特征：左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 · （4）注意事项：公式中的a、b可表示具体的数、单项式或多项式；运算时需先判断算式是否符合公式结构，不符合时可适当变形后再运用。 知识点2. 完全平方公式 · （1）公式表达式：； · （2）文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 · （3）结构特征：左边是一个二项式的平方；右边是二次三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，符号与左边二项式的符号一致。 · （4）易错点：避免混淆与，牢记，正确书写中间项“2ab”的符号和系数。 知识点3. 公式变形（常用） · （1）完全平方公式变形：；；；。 · （2）平方差公式变形：（逆向运用可用于因式分解，为后续学习铺垫）。 知识点4. 整式化简的核心法则 · （1）去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和前面的“-”，括号内各项符号要反转。 · （2）合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变（同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）。 · （3）整式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；同级运算从左到右依次进行。 知识点5. 化简关键技巧 · （1）观察整式结构，优先运用乘法公式简化运算（如平方差、完全平方公式），避免盲目展开。 · （2）去括号时，若括号前有系数，需先将系数分配到括号内的每一项，再去括号，避免漏乘。 · （3）合并同类项时，先找出所有同类项，再集中合并，注意符号的准确性，避免漏项、错项。 · （4）化简结果需满足：不含括号（特殊要求除外）、不含同类项，字母按一定顺序排列（通常按字母的字母顺序）。 04 题型•汇总 【题型1 利用乘法公式进行运算】 · 解题技巧：先判断算式是否适配平方差或完全平方公式，重点看项的特征；若不符，可通过调整符号、重组项的顺序，转化为公式适用形式后再规范运算，确保符号准确。 【典例1】．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．化简： (1) (2) 【变式4】．计算： （1）； （2）． 【题型2 利用乘法公式进行简算】 · 解题技巧：观察数字特点，将其转化为“整十/整百数±几”的形式，凑出平方差或完全平方公式的结构，借助公式快速计算，避免硬算出错，提升运算效率。 【典例2】．简便运算： (1) (2) 【变式1】．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【变式2】．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【变式3】．简便计算： (1)； (2)． 【变式4】．用乘法公式计算 (1) (2) 【题型3 利用乘法公式变形求值】 · 解题技巧：牢记完全平方公式的常用变形，结合已知的、或，将所求代数式转化为含已知条件的形式，代入计算即可。 【典例3】．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【变式1】．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若m是大于0的整数，则一定是（   ） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 【变式3】．若，则_____． 【变式4】．设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 · 解题技巧：紧扣完全平方公式的结构，找准式子中的“a”“b”，对比对应项的系数，列等式求解字母的值，注意分类讨论多种情况。 【典例4】．一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】．若代数式是一个完全平方式，则实数________． 【变式3】．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【变式4】．若，则常数的值是_________． 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 · 解题技巧：利用图形面积的两种表示方法建立等式，可验证乘法公式；反之，也可运用乘法公式计算图形面积、边长，体现数形结合思想。 【典例5】．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 【变式1】．如图，将一张正方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有四块是边长都为的小正方形，中间一块是边长为的大正方形，剩余四块均是宽为，长为的小长方形，且．若每块小长方形的面积是3，五个正方形的面积和为13，则所有裁剪线（虚线部分）长度之和为（   ） A．10 B．13 C．16 D．20 【变式2】．已知点在线段上，现如图摆放以、为边的两张正方形卡片，若，且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是_____． 【变式3】．如图，两个正方形的边长分别为和，若，，则阴影部分的面积为__________． 【变式4】．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 【题型6 乘法公式的证明】 · 解题技巧：将待证明的复杂式子，通过分组、重组，转化为已知的平方差或完全平方公式形式，逐步展开、整理，最终验证等式左右两边相等即可。 【典例6】．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A．统计思想        B．数形结合        C．方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： (1)补全初步感知中的内容； (2)写出方法应用的求解过程： (3)请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； (4)根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 【题型7 利用乘法公式求最值】 · 解题技巧：通过完全平方公式将代数式配方，转化为“非负项+常数”的形式，利用平方项的非负性（≥0），确定代数式的最值及对应的字母取值。 【典例7】．问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是__________． 【变式2】．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【变式3】．问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 【变式4】．阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【题型8 乘法公式的实际应用】 · 解题技巧：根据实际问题设未知数，分析数量关系，列出含乘法公式的方程，先化简方程，再求解，最后检验答案是否符合实际题意。 【典例8】．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【变式1】．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【变式2】．利用正方形的知识完成下列问题： (1)如图1，在一个大正方形的内部分别放置两个大小不同的小正方形、，边长分别为、，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为，正方形剩下的两处空白部分的面积分别为，，则_____（填“”、“”或“”）； (2)在（1）的条件下，将图1大正方形内部这两个小正方形按图所示的方式分别放置成小正方形、，求图中阴影部分的面积（用含、的式子表示），并求当，时阴影部分的面积； (3)如图3，在一个大正方形的内部放置三个边长分别为、、的小正方形、、，若图中个阴影部分的面积分别为、、，且，直接写出大正方形的边长． 【变式3】．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． (1)【感悟原理】如图1，是用4块完全相同的长方形拼成一个大正方形，4块长方形的长为，宽为，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________． (2)【应用实践】四月是锦江师一的艺术活动月，两位同学在美术周活动中自制了两个“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，求裁剪前大正方形红布的面积； (3)【拓展思考】如图4，将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，中间拼出的四边形也为正方形．设，，若，阴影部分即四边形的面积为20，求长方形的面积． 【变式4】．【问题情境】 如图1，线段长度为，在线段上截取线段（），再延长至，使，以为边作正方形，以为边作正方形，以为边作正方形．的延长线分别交，于点和点，的延长线分别交，于点和点，的延长线交于点，请利用数形结合思想解决下列问题： (1)【迁移应用】 ①用含，的代数式表示线段和的长度； ②用含，的代数式表示矩形和灰色阴影部分图形的面积； ③对比①②的结果，写出你发现的乘法公式； (2)【综合探究】如果已知图1中的正方形和正方形的面积分别是25、9，求，的值并计算矩形的面积； (3)利用（2）求出的具体数值，，如图2，顺次连接点、、、得到四边形，试求四边形的面积． 【题型9 整式的混合运算】 · 解题技巧：严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内的；优先运用乘法公式简化乘方、乘法运算，再去括号、合并同类项，避免运算顺序错误。 【典例9】．计算： (1) (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算 (1)； (2)； (3)． 【变式4】．计算： (1) (2) (3)（简便运算） (4)（简便运算） (5)，其中，（先化简，再代入求值） 【题型10 整式的化简】 · 解题技巧：先去括号（括号前有系数需先分配，符号要注意反转），再观察式子结构，优先运用乘法公式简化，最后合并同类项，确保结果不含括号、不含同类项，书写规范。 【典例10】．化简求值：．其中，． 【变式1】．先化简，再求值：．其中． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【变式3】．先化简，再求值： ，其中，． 【变式4】．先化简，再求值：，其中，． 05 过关•检测 1．下列能用平方差公式计算的是(        ) A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．42 B．64 C．49 D．16 4．已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 5．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，计算阴影部分的面积，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 9．若可以配成一个完全平方公式，则的值为________． 10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 11．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 12．两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 13．计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 14．先化简，再求值：，其中． 15．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值 16．解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 17．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 18．数学活动课上，张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A、1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a，b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1和图2可以得到的等式为______；（用含a，b的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要A，B，C三种纸片各多少张？ (3)如图3，已知点C为线段上的动点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 乘法公式、整式的化简 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 利用乘法公式进行运算】 2 【题型2 利用乘法公式进行简算】 5 【题型3 利用乘法公式变形求值】 8 【题型4 根据完全平方式字母的值】 11 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 12 【题型6 乘法公式的证明】 15 【题型7 利用乘法公式求最值】 20 【题型8 乘法公式的实际应用】 25 【题型9 整式的混合运算】 35 【题型10 整式的化简】 39 · 1. 经历乘法公式的推导过程，理解平方差公式、完全平方公式的几何意义和代数本质，掌握公式的结构特征，明确公式中字母的广泛含义（可表示数、单项式、多项式）。 · 2. 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行简单的整式乘法运算，能根据算式特点选择合适的公式简化运算。 · 3. 掌握整式化简的核心法则，能熟练进行整式的混合运算（含乘方、乘法、加减），遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的。 · 4. 能结合乘法公式、去括号法则、合并同类项法则，对复杂整式进行化简，做到步骤规范、结果简洁。03 知识•梳理 知识点1. 平方差公式 · （1）公式表达式： · （2）文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 · （3）结构特征：左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 · （4）注意事项：公式中的a、b可表示具体的数、单项式或多项式；运算时需先判断算式是否符合公式结构，不符合时可适当变形后再运用。 知识点2. 完全平方公式 · （1）公式表达式：； · （2）文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 · （3）结构特征：左边是一个二项式的平方；右边是二次三项式，其中两项是左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，符号与左边二项式的符号一致。 · （4）易错点：避免混淆与，牢记，正确书写中间项“2ab”的符号和系数。 知识点3. 公式变形（常用） · （1）完全平方公式变形：；；；。 · （2）平方差公式变形：（逆向运用可用于因式分解，为后续学习铺垫）。 知识点4. 整式化简的核心法则 · （1）去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和前面的“-”，括号内各项符号要反转。 · （2）合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变（同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）。 · （3）整式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；同级运算从左到右依次进行。 知识点5. 化简关键技巧 · （1）观察整式结构，优先运用乘法公式简化运算（如平方差、完全平方公式），避免盲目展开。 · （2）去括号时，若括号前有系数，需先将系数分配到括号内的每一项，再去括号，避免漏乘。 · （3）合并同类项时，先找出所有同类项，再集中合并，注意符号的准确性，避免漏项、错项。 · （4）化简结果需满足：不含括号（特殊要求除外）、不含同类项，字母按一定顺序排列（通常按字母的字母顺序）。 04 题型•汇总 【题型1 利用乘法公式进行运算】 · 解题技巧：先判断算式是否适配平方差或完全平方公式，重点看项的特征；若不符，可通过调整符号、重组项的顺序，转化为公式适用形式后再规范运算，确保符号准确。 【典例1】．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式法则，计算各选项结果即可判断正确答案． 【详解】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意； B、，故B选项计算错误，不符合题意； C、，故C选项计算正确，符合题意； D、，故D选项计算错误，不符合题意． 【变式1】．下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的识别，平方差公式为，使用公式需满足两个因式中有一组相同项和一组相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求； 选项B、中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式计算，符合要求； 选项C、中没有相同项，不能用平方差公式计算，不符合要求； 选项D、，两项均为相同项，不存在相反项，不能用平方差公式计算，不符合要求． 【变式2】．下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 【变式3】．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 利用乘法公式进行简算】 · 解题技巧：观察数字特点，将其转化为“整十/整百数±几”的形式，凑出平方差或完全平方公式的结构，借助公式快速计算，避免硬算出错，提升运算效率。 【典例2】．简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式解答； （2）先将原式整理为，再根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)41209 (2)1 【分析】（1）将写成，然后利用完全平方公式计算； （2）将写成，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用积的乘方的逆运算计算； （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4】．用乘法公式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型3 利用乘法公式变形求值】 · 解题技巧：牢记完全平方公式的常用变形，结合已知的、或，将所求代数式转化为含已知条件的形式，代入计算即可。 【典例3】．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题利用平方差公式对所求式子变形，再代入已知条件化简，即可得到结果． 【详解】∵ ， ∴ ． 【变式1】．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，然后运用整式乘法法则和平方差公式化简代数式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ． 【变式2】．若m是大于0的整数，则一定是（   ） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 【答案】A 【分析】利用完全平方公式化简原式，再根据m为大于0的整数可得结论． 【详解】解： ， ∵m是大于0的整数， ∴是正整数， ∴一定是4的倍数，即一定是4的倍数 【变式3】．若，则_____． 【答案】 【分析】先由已知两式相减，因式分解求出；最后利用已知条件对和进行变形，代入目标式化简求值，代入的值计算结果． 【详解】解：由，， 移项得:,, 两式相减得， ， ， ． ， ． ． 【变式4】．设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 【题型4 根据完全平方式求字母的值】 · 解题技巧：紧扣完全平方公式的结构，找准式子中的“a”“b”，对比对应项的系数，列等式求解字母的值，注意分类讨论多种情况。 【典例4】．一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构对比系数即可求解的值． 【详解】解：是完全平方式，变形得， 中间项满足， 化简得， 即． 【变式1】．已知，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】．若代数式是一个完全平方式，则实数________． 【答案】 【分析】根据题意可得，展开比较等式左右两边的系数即可． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 【变式4】．若，则常数的值是_________． 【答案】 【分析】将等式左侧利用完全平方公式展开，根据多项式相等对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：利用完全平方公式展开左边得：， 由题意得 ， 根据多项式相等对应项系数相等，可得，解得：． 故的值为． 【题型5 乘法公式与几何图形的应用】 · 解题技巧：利用图形面积的两种表示方法建立等式，可验证乘法公式；反之，也可运用乘法公式计算图形面积、边长，体现数形结合思想。 【典例5】．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴； ∴； 【变式1】．如图，将一张正方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有四块是边长都为的小正方形，中间一块是边长为的大正方形，剩余四块均是宽为，长为的小长方形，且．若每块小长方形的面积是3，五个正方形的面积和为13，则所有裁剪线（虚线部分）长度之和为（   ） A．10 B．13 C．16 D．20 【答案】D 【详解】解：根据题意得，，且， ∴ ， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为． 【变式2】．已知点在线段上，现如图摆放以、为边的两张正方形卡片，若，且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是_____． 【答案】24 【分析】如图所示，连接，由可得阴影部分的面积，根据，代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设， 即以为边的正方形的边长为，以为边的正方形的边长为， ∴ ， ∵，且两个正方形的面积之和为， ∴，， ∵， ∴， 即阴影部分的面积是． 【变式3】．如图，两个正方形的边长分别为和，若，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】根据阴影部分的面积，结合，可求得的值． 【详解】解：阴影部分的面积． 因为，， 所以． 所以． 当，时， 阴影部分的面积． 【变式4】．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用x表示出剩余阴影部分的面积，再分解因式，然后根据长方形的一条边长为，得出它的一条邻边长． 【详解】解：在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分的面积为， 因为长方形的一条边长为， 所以它的一条邻边长是， 故答案为：． 【题型6 乘法公式的证明】 · 解题技巧：将待证明的复杂式子，通过分组、重组，转化为已知的平方差或完全平方公式形式，逐步展开、整理，最终验证等式左右两边相等即可。 【典例6】．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，列出关系式即可． 【详解】解：由题意这两个图形的面积相等， ∴． 【变式1】．如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴ ． 故选：B． 【变式2】．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用割补法求出图1阴影部分面积，根据矩形面积公式求出图2的面积，再由面积相等列式即可． 【详解】解：图1中大正方形的边长为，面积为， 空白区域是一个十字架图形，可以看成由两个长都为的矩形交叉重叠而成， 横着的矩形宽为，竖着的矩形宽为，它们的面积和为， 重叠部分是长为，宽为的小矩形， 则十字架的面积可表示为， 利用大正方形面积减去空白区域面积得到图1中阴影部分面积和为 ． 由题图1可知，图2中大矩形的长为， 宽为题图1大正方形边长减去，即， 则图2中阴影部分拼成的大矩形面积可以表示为， 根据等面积法可得． 【变式3】．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 【变式4】．阅读下列材料，完成相应的任务： 神奇的“算两次” 数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式，我们称这一方法为“算两次”． 初步感知： 运用“算两次”的方法验证完全平方公式： 将图1中的图形看作一个整体，它的面积可以表示为_____，把它看作由四部分组成的图形，它的面积可以表示为，可以得到乘法公式_____，以上求解过程中，主要运用的数学思想是_____（从下面选项中选出一个即可）： A．统计思想        B．数形结合        C．方程思想 方法应用： 请你类比上述得到完全平方公式的过程，画出图形，并用“算两次”的方法求解． 求解过程：…… 任务： (1)补全初步感知中的内容； (2)写出方法应用的求解过程： (3)请你用所学过的整式乘法公式或者是整式乘法法则求解，感受结果的一致性； (4)根据（2），（3）得到的公式，直接写出_____． 【答案】(1)，，B (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，利用面积的性质，数形结合思想求解即可． （2）根据题意，构造正方形计算即可． （3）根据多项式乘以多项式，计算即可． （4）根据公式直接计算即可． 【详解】（1）根据题意，得大正方形的边长为，其面积为， 根据题意，得，用到数形结合思想， 故选：B． （2）解：构造正方形如下，大正方形的边长为，其面积为， 图形的面积为 ， 根据题意，得； ． （3）解：根据题意，得 ． （4）解： ． 【题型7 利用乘法公式求最值】 · 解题技巧：通过完全平方公式将代数式配方，转化为“非负项+常数”的形式，利用平方项的非负性（≥0），确定代数式的最值及对应的字母取值。 【典例7】．问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，类比题干中的方法，将代数式通过完全平方公式变形，利用平方的非负性求最小值即可． 【详解】解：∵， 当时，取最小值． 故选：B． 【变式1】．已知代数式可以利用完全平方公式变形为，进而可知的最小值是5．依此方法，代数式的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 先用完全平方公式对代数式进行变形，然后确定其最小值即可． 【详解】解：， 则的最小值为． 故答案为． 【变式2】．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)6 【分析】本题考查配方法的应用，熟悉完全平方公式的结构特征和平方式的非负性是解答的关键． （1）仿照题干例题求解过程解答即可； （2）将原式配方得，根据的非负性求解即可； （3）将代数式经过两次配方可得，再根据的非负性即可求得答案． 【详解】（1）解：， 因为是非负数， 所以当时，取最小值； （2）解：， 因为是非负数， 所以当，即时，取最小值7； （3）解： ， 观察出当或时，，此时取最小值6． 【变式3】．问题提出： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题；你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流，讨论，总结出如下方法： 解： 因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0．所以当时，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．根据上面的经验，求代数式的最大值． 【答案】最大值为14 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法．仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【详解】解： ， 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14． 【变式4】．阅读理解：我们一起来探究代数式的值． 探究一：当时，代数式的值为4，当时，代数式的值为3，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行配方变形，如： ，可得：即当______时，代数式有最大值，最大值为________． 尝试探究： （1）请补充完成探究二，直接在答题卡填空； （2）当x取何值时，代数式有最大值，最大值为多少？ 拓展应用： （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园ABCD（围墙MN足够长），现在已备足可以砌40m长的墙的材料，设AB为x米，请用含x的代数式表示围成的长方形花园ABCD的面积S，并探究当x为多少米时，面积S有最大值，最大面积是多少？ 【答案】（1）1，4；   （2）当时，代数式最大值为59；     （3）当时，面积S有最面积为200平方米； 【分析】本题主要考查了新定义题型，配方法等知识点，根据题目已有的模式按照此模式，得到答案，解决此题的关键是正确的配方． （1）根据一元一次方程的解法得到x的值，在根据一个数或者式子的平方为非负数得到整个代数式的最大值即可； （2）由题意先把代数式配成含完全平方形式的结果，得到答案即可； （3）根据题意列出关于S的等式，再根据前面的步骤得到S的最大值即可解决问题； 【详解】（1）当时，， ∵ ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴当时，代数式最大值为59； 故答案为：当时，代数式最大值为59； （3）由题意得： ∴当时，面积S有最大面积为200平方米. 【题型8 乘法公式的实际应用】 · 解题技巧：根据实际问题设未知数，分析数量关系，列出含乘法公式的方程，先化简方程，再求解，最后检验答案是否符合实际题意。 【典例8】．【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【答案】(1)C (2)4 (3) (4) 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； （2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； （3）解：∵， ， ， ∴； （4）解：． 【变式2】．利用正方形的知识完成下列问题： (1)如图1，在一个大正方形的内部分别放置两个大小不同的小正方形、，边长分别为、，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为，正方形剩下的两处空白部分的面积分别为，，则_____（填“”、“”或“”）； (2)在（1）的条件下，将图1大正方形内部这两个小正方形按图所示的方式分别放置成小正方形、，求图中阴影部分的面积（用含、的式子表示），并求当，时阴影部分的面积； (3)如图3，在一个大正方形的内部放置三个边长分别为、、的小正方形、、，若图中个阴影部分的面积分别为、、，且，直接写出大正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别表示出，即可求解； （2）由图1可得，大正方形的边长为，进而求得阴影部分的面积，结合，，根据完全平方公式变形，得出，进而求得，代入阴影部分的面积，即可求解； （3）依题意，，，， 设大正方形的边长为，分别表示出、、，根据，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，放置的两个小正方形重叠部分（即阴影部分）是正方形且面积为， ∴小正方形的边长为 ， ∴； （2）解：由图1可得，大正方形的边长为， 如图2， ，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：依题意，，，， 设大正方形的边长为，则 ， ∵， ∴ ∴ 解得：即大正方形的边长 【变式3】．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． (1)【感悟原理】如图1，是用4块完全相同的长方形拼成一个大正方形，4块长方形的长为，宽为，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________． (2)【应用实践】四月是锦江师一的艺术活动月，两位同学在美术周活动中自制了两个“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是90，求裁剪前大正方形红布的面积； (3)【拓展思考】如图4，将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形内，中间拼出的四边形也为正方形．设，，若，阴影部分即四边形的面积为20，求长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积之和，即其面积为，据此可得答案； （2）求出图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积，则可得到，，进而求出，则可得到； （3）根据题意可得，则，由可推出，即，根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去4个长为，宽为的长方形的面积之和，即其面积为， ∴； （2）解：图2中阴影部分的面积 ， 图3中阴影部分的面积， ∵图2和图3中阴影部分的面积都是90， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴裁剪前大正方形红布的面积为； （3）解：设，， 当时，则， 由题意得，， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4】．【问题情境】 如图1，线段长度为，在线段上截取线段（），再延长至，使，以为边作正方形，以为边作正方形，以为边作正方形．的延长线分别交，于点和点，的延长线分别交，于点和点，的延长线交于点，请利用数形结合思想解决下列问题： (1)【迁移应用】 ①用含，的代数式表示线段和的长度； ②用含，的代数式表示矩形和灰色阴影部分图形的面积； ③对比①②的结果，写出你发现的乘法公式； (2)【综合探究】如果已知图1中的正方形和正方形的面积分别是25、9，求，的值并计算矩形的面积； (3)利用（2）求出的具体数值，，如图2，顺次连接点、、、得到四边形，试求四边形的面积． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)8 (3)13 【分析】（1）①根据图形写出相关式子即可；②根据图形写出相关式子即可；③根据面积相等即可得到； （2）利用正方形面积公式求得，，即可得到，，结合图形利用矩形面积公式求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②由题意得，， ∴矩形的面积，灰色阴影部分图形的面积； ③由图形得矩形的面积与矩形的面积相等， ∴矩形的面积与灰色阴影部分图形的面积相等， ∴； （2）解：由题意得，， ∵， ∴，， 解得，， ∴，， ∴矩形的面积； （3）解：由题意得，，，，， ∴四边形的面积 ． 【题型9 整式的混合运算】 · 解题技巧：严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序，有括号先算括号内的；优先运用乘法公式简化乘方、乘法运算，再去括号、合并同类项，避免运算顺序错误。 【典例9】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则，平方差公式，合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解：原式      ； （2）解：原式     ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行加减运算即可； （2）根据同底数幂乘除法，积的乘方运算计算，再合并同类项即可； （3）先利用平方差公式对式子变形简化运算，即可得解； （4）先利用平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘和同底数幂相除，最后合并同类项即可得到答案； （3）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式4】．计算： (1) (2) (3)（简便运算） (4)（简便运算） (5)，其中，（先化简，再代入求值） 【答案】(1) (2) (3)25 (4) (5)化简为，值为 【分析】本题考查了整式的混合运算、乘法公式及代数式求值．解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式及整式运算法则进行化简． (1)利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项； (2)先算乘方，再算乘法，最后合并同类项； (3)观察发现，逆用完全平方公式简便计算； (4)利用平方差公式简便计算； (5)先利用平方差公式化简中括号内的式子，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ， ； （4）解： ； （5）解：原式， 原式， ， ． 当时， 原式． 【题型10 整式的化简】 · 解题技巧：先去括号（括号前有系数需先分配，符号要注意反转），再观察式子结构，优先运用乘法公式简化，最后合并同类项，确保结果不含括号、不含同类项，书写规范。 【典例10】．化简求值：．其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1】．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式及多项式的相关运算法则进行化简，然后再代入求值． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式3】．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，3 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式4】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式计算；再用完全平方公式展开；接着计算多项式除以单项式；最后合并同类项化简得到结果，然后代入、的值计算． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 05 过关•检测 1．下列能用平方差公式计算的是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个二项式相乘时，有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、在中，两个二项式中的对应项均互为相反数，不符合平方差公式的结构，不符合题意； B、，两项都相同，不符合平方差公式的结构，不符合题意； C、，是相同项，与是互为相反项，符合平方差公式的结构，符合题意； D、，不存在完全相同的项，不满足平方差公式的结构要求，不符合题意． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，等式成立，D正确． 3．若，则的值为（   ） A．42 B．64 C．49 D．16 【答案】B 【分析】利用平方差公式和积的乘方运算性质，对所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可； 【详解】解：∵， ∴ ， ． 4．已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用平方差公式对变形，再作差比较和的大小． 【详解】解： ∵ ， ∴． 5．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可知，只需将代数式中的替换为、替换为，再结合完全平方公式展开并合并同类项，即可完成化简． 【详解】解：新运算定义为， ， 展开并合并同类项得． 故选：． 6．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，计算阴影部分的面积，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图1的阴影部分面积为， 图2的阴影部分的面积为， ∴可以验证的等式是． 7．如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项． 【详解】解：由图可得，， 将，代入得：， 化简得，， 的展开式中第二项是． 故选：． 8．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 【答案】C 【分析】设，通过换元法简化式子，利用完全平方公式展开计算． 【详解】解：设， ∵ ， ， ∴ 原方程可化为， ∴， ∴， ∴． 9．若可以配成一个完全平方公式，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴， 解得． 10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 11．若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足，为不大于的正整数，则称为差数，例如：，因为，所以是差数．按照这个规定，最小的差数是______；一个差数，记 ， ，若能被整除，为完全平方数，则满足条件最大的的值是_________． 【答案】 2319 5146 【分析】根据差数定义，要找最小的差数，优先让千位、百位尽可能小，再结合数字互不相等且不为的条件，得出最小四位数．根据差数定义和整式变形，结合的整除特征求出的值；再根据数位数字和为完全平方数，推导数位数字关系，从大到小枚举，筛选出满足条件的最大四位数． 【详解】解：差数满足：，且，，，互不相等且不为， 要使四位数最小，则，否则为负数，与矛盾， 当时，， ，此时才能使得最小， 由得， 故最小差4数为2319． 设， ∵是差数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵为不大于10的自然数， ∴， ∴，变形得：， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且不为0， ∴，即， 把代入，得，即， ∵为完全平方数， 代入，，得： ， ∵且互不相等， ∴， ∵为完全平方数，为偶数， ∴的可能取值为或或， 当时，，此时无满足条件的、的值， 当时，，此时，或，， ∵最大， ∴取，，此时不符合题意，舍去， ∴的可能取值为， ∴， ∴， 要使最大，优先让千位尽可能大： ，，， ∴， ∴当时，最大取，此时取，， 此时数字为，，，，互不相等且不为， ，，，符合条件， ，为完全平方数，符合条件， 故满足条件的最大为． 12．两个边长分别为a和b（）的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a的大正方形的右下角摆放一个边长为b（）的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是_____． 【答案】172 【分析】根据图形可知为大正方形面积减去小正方形面积，为两个边长为的小正方形重叠部分的面积，分别表示出和，代入进行化简，最后利用完全平方公式变形代入求值即可． 【详解】解：由图1可得：， 由图2可得，两个边长为的正方形重叠部分为边长是的正方形， ， ， ， 原式 ， ， 原式 ． 13．计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． （2）先计算多项式的乘法，再合并即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 15．计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方和逆运算，整体代入计算即可求解； （2）根据幂的逆运算和同底数幂的乘法，整体代入计算即可求解； （3）根据完全平方公式，计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：， ，则， ． 16．解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)①8；② 【分析】（1）根据有理数的运算法则求解； （2）根据作差法求解； （3）①根据（2）的结论求解；②根据（2）的结论求解． 【详解】（1）解：当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时； （2）解：，理由如下： ， ； （3）解：①设，，则， ∵，即， ， ， ， ∴的最小值为8； ②解： ，， ∴， ， 当取最大值2时， ∴的最小值为． 17．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． 【基础应用】 (1)求的值； 【转化求解】 (2)若，求x的值； 【拓展延伸】 我们学过的乘法公式（如完全平方公式）既可以“从左到右”正向使用，也可以“从右到左”逆向使用．例如：   正向使用，   逆向使用． 在解决某些问题时，逆向使用公式常常能帮助我们简化问题． (3)若，求的个位数． 【答案】(1)7 (2) (3)2 【分析】（1）根据新定义，进行有理数的混合运算； （2）根据新定义，得到一元一次方程，求解即可； （3）根据新定义，进行整式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 将代入，得 ， 计算2的幂次的个位数规律： ，个位数是2； ，个位数是4； ，个位数是8； ，个位数是6； ，个位数是2； ，个位数是4； 可以发现2的幂次的个位数是以2，4，8，6为周期循环的， ∵，其中1是余数， ∴的个位数与的个位数相同，即为2， ∴的个位数为2． 18．数学活动课上，张老师用如图1中的1张边长为a的正方形纸片A、1张边长为b的正方形纸片B和2张宽和长分别为a，b的长方形纸片C拼成了如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1和图2可以得到的等式为______；（用含a，b的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要A，B，C三种纸片各多少张？ (3)如图3，已知点C为线段上的动点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)所需、两种纸片各张，种纸片张 (3)8 【分析】（1）图的正方形的边长为，是由张纸片，张纸片，张纸片拼成的，根据面积法可得答案； （2）计算的结果可得答案； （3）设，，可得出，，由的结论可求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：， 所需、两种纸片各张，种纸片张， （3）解：设，，则， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $