专题07乘法公式与整式的化简寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题07乘法公式与整式的化简寒假预习讲义 · 核心重点 1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能快速匹配适用公式的代数式。 2.遵循整式化简运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内，优先用乘法公式简化计算。 熟练完成公式直接计算、逆向变形，以及整式化简的去括号、合并同类项步骤。 · 核心难点 1.公式区分与应用：明确平方差公式（结果两项）和完全平方公式（结果三项）的差异，避免混淆漏项。 2.符号与系数处理：解决含负号、系数的代数式运算，如(−2a−b)2、(3x−2y)(−3x−2y)；去括号时，括号前是负号需逐项变号。 3.公式变形与综合运用：灵活使用完全平方公式变形（如a2+b2=(a+b)2−2ab）；处理化简与求值结合的题型，做到先化简再代入。 核心考点01 活用平方差公式进行实战计算 核心考点02 平方差公式的几何意义与图形验证 核心考点03 完全平方公式的灵活计算与应用 核心考点04 完全平方公式在几何图形中的综合应用 核心考点05 完全平方公式中字母系数的求解技巧 核心考点06 整式混合运算的步骤与易错点解析 核心考点07 完全平方公式的变形技巧与求值方法 强化巩固题型通关(12题) 【知识点01.平方差公式】 1.推导过程 由多项式乘多项式法则推导：(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2 2.公式内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 字母表示：(a+b)(a−b)=a2−b2 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 【知识点02.完全平方公式】 1.推导过程 完全平方和：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 完全平方差：(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2 2.公式内容 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍。 字母表示： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 3.结构特征 左边：一个二项式的平方。 右边：三项式，首尾两项是左边二项式各项的平方，中间项是左边两项乘积的 2 倍，符号与左边二项式的符号一致。 【知识点03.乘法公式的变形与拓展】 1.平方差公式变形： a2−b2=(a+b)(a−b)（后续因式分解会用到） 2.完全平方公式变形： a2+b2=(a+b)2−2ab a2+b2=(a−b)2+2ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 【知识点04.整式化简的基本原则与基本步骤】 整式化简的基本原则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2.有括号的先算括号内的运算。 3.能运用乘法公式的，优先用公式简化计算，避免繁琐的多项式乘法。 整式化简的基本步骤 1.去括号：根据去括号法则，括号前是 “+”，去括号后各项符号不变；括号前是 “-”，去括号后各项符号要改变。 2.运用公式：观察代数式结构，符合平方差或完全平方公式的，直接套用公式计算。 3.合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 易错点总结 1.混淆平方差公式和完全平方公式：平方差公式结果是两项，完全平方公式结果是三项，切勿漏写中间项。 2.符号错误：完全平方差公式中间项为负；去括号时，括号前是负号，括号内各项要变号。 3.系数平方遗漏：应用公式时，要把单项式的系数整体平方，如 (2a)2=4a2，切勿写成 2a2。 4.化简不彻底：整式化简的最后一步必须合并所有同类项，确保结果没有同类项剩余。 【题型1.活用平方差公式进行实战计算】 【典例】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用．利用平方差公式，将已知条件进行转化计算是解题的关键． 利用平方差公式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法和平方差公式． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确； 故选：D． 【题型2.平方差公式的几何意义与图形验证】 【典例】已知正方形的边长为a，如果它的边长增加8，那么它的面积增加 ． 【答案】16a+64/64+16a 【分析】根据正方形的面积公式得到面积的增加值为，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景：运用平方差公式计算两正方形的面积差．解题关键是熟记平方差公式． 【跟踪专练1】有一块边长为米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（   ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用．求出原正方形面积，变化后长方形的面积，比较后即可判断． 【详解】解：∵原正方形面积为，变化后长方形面积为， ∴， 即面积变小了． 故选：C． 【跟踪专练2】在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，如图1，把余下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积为； 如图2，阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 【题型3.完全平方公式的灵活计算与应用】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【跟踪专练1】已知，求 ． 【答案】 【分析】本题考查根据完全平方公式求值，设，，则已知条件为，，再利用完全平方公式整体代入求解． 【详解】解：设，，则， ， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，则等于（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用完全平方公式计算的平方，再求值． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， 故选：C． 【题型4.完全平方公式在几何图形中的综合应用】 【典例】如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握完全平方公式． 图中最大的正方形的边长为，则其面积为，而边长为的正方形面积又等于两个较小的正方形面积加上两个长方形面积，据此求解即可． 【详解】解：图中最大的正方形的边长为，则其面积为， 而边长为的正方形面积， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为 ． 【答案】95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 【跟踪专练2】如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征即可求解． 【详解】解：设需取丙纸片张， 则取出的纸片总面积为， ∵用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形， ∴是完全平方式， ∴， ∴需取丙纸片的张数为8． 故选：B． 【题型5.完全平方公式中字母系数的求解技巧】 【典例】若是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题考查了完全平方式，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征． 根据完全平方式的结构特征，分情况讨论，求解m即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为， ∴该式可写为或， 当，即，解得； 当，即，解得； 故答案为：0或6． 【跟踪专练1】明明将展开后得到；东东将展开后得到，若两人计算结果无误，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先通过完全平方公式求出和，再得出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 ． 【答案】，，，或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式添加一个单项式后需满足的形式．通过比较系数和项数，得出可能添加的单项式． 【详解】解：∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； ∵， ∴多项式添加可构成完全平方式； 综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式， 故答案为：，，，或． 【题型6.整式混合运算的步骤与易错点解析】 【典例】若，则N为（    ） A． B．3xy C． D．xy 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减，利用完全平方公式，结合整式的加减化简即可求解，解题的关键是掌握运算法则． 【详解】解：， ， 故选： A． 【跟踪专练1】任意的代数式，我们规定一种新运算：．计算 ． 【答案】 【分析】本题在新定义下考查了整式的混合运算，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 按照规定的运算方法把化为，利用平方差公式和整式乘法计算整理即可． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，观察式子规律通过引入中间变量进行简化计算是解题的关键．设 ，将原式进行变形，然后简化计算，即可得解． 【详解】解：设 ，则原式可表示为： ， ， 故选： D． 【题型7.完全平方公式的变形技巧与求值方法】 【典例】已知，，则的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 则，，， ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知且，，则的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式的变形等知识， 由第一个等式利用幂的乘方得到，由第二个等式利用幂的运算性质得到，然后利用完全平方公式变形求 ． 【详解】解：由 ，得 ， 由 ，得 ， ∴． 故答案为：17． 1．代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，通过展开和合并同类项得到最简形式，从而确定变量依赖关系． 通过展开并合并同类项，简化代数式，判断其值依赖的变量即可． 【详解】解：原式 因此，代数式的值只与x和y有关， 故选：A． 2．已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 3．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． ∵ ∴ 故答案为：． 4．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 5．已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是 ； （2）的值为 ． 【答案】 13 197 【分析】本题考查了完全平方公式，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，得到，继而推导出，得到中或的个数是37个，则中的个数是，即可解答； （2）先求出比多9个，得到的个数为（个），1的个数为（个）．则，即可解答． 【详解】解：（1）∵ 又∵， ∴； ∵个数从，，中取值， ∴中或的个数是37个， ∴中的个数是， 故答案为：13． （2）∵，或的个数是37个，的个数是13个， ∴比多9个， 即的个数为：（个），1的个数为（个）． ∴ ． 故答案为：197． 6．如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 7．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 解答题 8．计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查单项式乘法，多项式乘法与除法，平方差公式与完全平方公式的应用，解决本题的关键是需熟练掌握运算法则和公式． （1）根据单项式乘法运算计算即可； （2）根据单项式乘法运算计算即可； （3）根据多项式乘法运算计算即可； （4）根据多项式除单项式计算即可； （5）使用平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 9．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 11．【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）1，3，4；（3），理由见详解 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘法几何背景，理解数形结合数学思想是解题关键﹒ （1）从整体和局部两方面分别表示面积即可求解； （2）根据题意列出多项式乘以多项式算式，并计算，即可求解； （3）由图形4可知，，得到，根据阴影部分的面积与的差与的长度无关，得到，即可得到﹒ 【详解】解：（1）从整体上看长方形面积为，拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为，由此可得等式﹒ 故答案为：，，； （2）∵， ∴她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒ 故答案为：1，3，4； （3）解：，理由如下： 由图形4可知，，， ∴， ∵阴影部分的面积与的差与的长度无关， ∴， ∴﹒ 12．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题07乘法公式与整式的化简寒假预习讲义 预习重难点 ● 核心重点 1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能快速匹配适用公式的代数式。 2.遵循整式化简运算顺序：先乘方→再乘除一最后加减，有括号先算括号内，优先用 乘法公式简化计算。 熟练完成公式直接计算、逆向变形，以及整式化简的去括号、合并同类项步骤。 核心难点 1.公式区分与应用：明确平方差公式（结果两项）和完全平方公式（结果三项）的差 异，避免混淆漏项。 2.符号与系数处理：解决含负号、系数的代数式运算，如(-2ab)2、(3x-2y)(-3x-2y): 去括号时，括号前是负号需逐项变号。 3.公式变形与综合运用：灵活使用完全平方公式变形（如a2+b2-(a+b)2-2ab);处理化 简与求值结合的题型，做到先化简再代入。 题型梳理 核心考点01 活用平方差公式进行实战计算 核心考点02平方差公式的几何意义与图形验证 核心考点03完全平方公式的灵活计算与应用 核心考点04完全平方公式在几何图形中的综合应用 核心考点05完全平方公式中字母系数的求解技巧 核心考点06整式混合运算的步骤与易错点解析 核心考点07完全平方公式的变形技巧与求值方法 强化巩固题型通关(12题) 3 知识点梳理 【知识点01.平方差公式】 1.推导过程 试卷第1页，共3页 由多项式乘多项式法则推导：(a+b(ab)=a2-ab+abb2=a2-b2 2.公式内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 字母表示：(a+b)a-b)=a2-b2 3.结构特征 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 【知识点02.完全平方公式】 1.推导过程 完全平方和：(a+b)2-(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2 完全平方差：(a-b)2-(a-b)(a-b)a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 2.公式内容 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2 倍。 字母表示： (a+b)2-a2+2ab+b2 (a-b)2-=a2-2ab+b2 3.结构特征 左边： 一个二项式的平方。 右边：三项式，首尾两项是左边二项式各项的平方，中间项是左边两项乘积的2 倍，符号与左边二项式的符号一致。 【知识点O3.乘法公式的变形与拓展】 1.平方差公式变形： a2-b2=(a+b)(a-b)（后续因式分解会用到) 2.完全平方公式变形 a2+b2-(a+b)2-2ab a2+b2=(a-b)2+2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 【知识点04.整式化简的基本原则与基本步骤】 试卷第1页，共3页 整式化简的基本原则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2.有括号的先算括号内的运算。 3能运用乘法公式的，优先用公式简化计算，避免繁琐的多项式乘法。 整式化简的基本步骤 1.去括号：根据去括号法则，括号前是4”，去括号后各项符号不变；括号前是 ”,去括号后各项符号要改变。 2.运用公式：观察代数式结构，符合平方差或完全平方公式的，直接套用公式计 算。 3.合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 易错点总结 1.混淆平方差公式和完全平方公式：平方差公式结果是两项，完全平方公式结 果是三项，切勿漏写中间项。 2.符号错误：完全平方差公式中间项为负；去括号时，括号前是负号，括号内 各项要变号。 3.系数平方遗漏：应用公式时，要把单项式的系数整体平方，如(2a)2=4a2,切 勿写成2a2。 4.化简不彻底：整式化简的最后一步必须合并所有同类项，确保结果没有同类 项剩余。 常考题型精讲精练 【题型1.活用平方差公式进行实战计算】 【典例】计算(x-2y)川x+2y的结果是() A.x2-4xy+4y2B.x2-2y2 C.x2-4y2 D.x2+4xy-4y2 【跟踪专练1】已知a2-b2=20,a+b=2,则a-b的值为 【跟踪专练2】下列计算正确的是() A.（-3a3}'=-9a6 B.(2a-b)2=4a2-b C.2a2.6a3=12a D.(-a-2b)(-a+2b=a2-4b 试卷第1页，共3页 【题型2.平方差公式的几何意义与图形验证】 【典例】已知正方形的边长为a,如果它的边长增加8，那么它的面积增加 【跟踪专练1】有一块边长为m(m>1)米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另 一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积() A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【跟踪专练2】在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b),如图1，把余 下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式 是」 a b b 图1 图2 【题型3.完全平方公式的灵活计算与应用】 【典例】计算(a+1)的结果是() A.a2+2a+1B.a2+1 C.a2-2a+1 D.a2-1 【跟踪专练1】已知(2a-32+(1+2a2=2025,求(2a-3)(1+2a= 【跟踪专练2】己知a2+b2=13,ab=6,则a-b等于() A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不正确 【题型4.完全平方公式在几何图形中的综合应用】 【典例】如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是() A.(a+b)2=a2+b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 试卷第1页，共3页 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 【跟踪专练1】有两个正方形A,B,将B放在A的内部得图1，将A,B并列放置后构造 个大正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面 积为 B A B 图1 图2 【跟踪专练2】如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼 接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为() ←b→ ←b 丙 A.4 B.8 C.32 D.64 【题型5.完全平方公式中字母系数的求解技巧】 【典例】若x2-2(m-3)x+9是完全平方式，则m的值为 【跟踪专练1】明明将2025x+20262展开后得到a,x2+bx+c,;东东将(2026x-2025)2展 开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算结果无误，则b,+b的值为(). A.2025 B.2026 c.0 D.4051 【跟踪专练2】所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使A=B ,则称整式A是完全平方式.例如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b),所以 a2+2ab+b2,a2-2ab+b2就是完全平方式.多项式x2+1添加一个单项式后，可变为完全 平方式，则添加的单项式可以是 【题型6.整式混合运算的步骤与易错点解析】 【典例】若(x-y)=x2+y+y2+N,则N为() A.-3y B.3xy C.-xy D.xy 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】任意的代数式a,b,c,d,我们规定一种新运算： ab=ad-bc.计算 c d 2x-1x+1 4x-32x+1 【跟踪专练2】计算 1 A. 2025 B. C. D. 2025 2026 2026 【题型7.完全平方公式的变形技巧与求值方法】 【典例】已知(+y)2=26,y=5,则x2+y2的值是 【跟踪专练1】若a+x2=2022,b+x2=2023,c+x2=2024,则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值 为() A.0 B.1 C.2 D.3 【跟踪专练2】已知(a"”=a2,a>0且a≠1,2".42"=128，则(m-4n)2的值为一 强化巩固 1.代数式zxz+2)-2y3xz2+z+x+5z2的值（) A.只与x、y有关 B.只与y、z有关 C.与x、y、z都无关 D.与x、y、z都有关 2.已知x2-3x+1=0,那么x2+的值是(） A.3 B.7 C.9 D.11 3.如图，将两张边长分别为Q和b的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形 内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用 阴影表示.若长方形中边AB、AD的长度分别为n、n;设图1中阴影部分面积为S,图 7 4 2中阴影部分面积为S,当m-n=3,a=写6时，了-，=一 (用含a的代数式表示) 3 试卷第1页，共3页 图1 图2 4.要使多项式(x-1)(x+3)(x-4)x-8)+m为一个完全平方式，则m等于() A.12 B.24 C.98 D.196 5.己知50个数a,a2,…a0从-1,0,1中取值.若a1+a2+…+ao=9,且 (a+1)2+(a+1)2+…+(ao+1)2=105,则： (1)a,a2,…aso中0的个数是 (2)（a,+1)3+(a2+1)3+…+(a0+1)的值为 6.如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由 此可以得到一个结论.根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023， 则这两个自然数的乘积最小为 7.定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m,的平方差，且m-n>1,那么称这个 正整数为“智慧数”.例如16=52-32,16就是一个“智慧数”，可以利用 m2-n2=(m+n(m-n进行研究.若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第20个“智慧数”是 解答题 8.计算下列各式. (1)-5a2bj(-3a: (2)(2x)3（-5y2）: 3(x+y(x2-xy+y2): (4[(ab+1(ab-2)-2a2b2+2]÷(-ab): 试卷第1页，共3页 (⑤)m-2n+3)(m+2n-3. 9.如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部 分拼成的一个长方形.设图1中阴影部分的面积为S,图2中阴影部分面积为S2· a 图1 图2 (1)用含有字母a和b的式子分别表示S,与S2的面积：S= S2= (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式 ②运用以上等式可以简化一些乘法计算.例如，计算51×49，可作如下变形： 51×49=(50+1)×(50-1)=502-12=2500-1=2499. 运用上述方法计算199×201. 10.先化简，再求值：a2b+3ab2-2b)÷b-(a+2b)(a-2b),其中a=2,b=-1. 11.【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大 正方形.其面积的两种表示方式可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2 6 H bb b C B BB b d 6 bb G 图1 图2 图3 图4 【问题探究】 (1)小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两 种表示方法：方法1：-，方法2：-· 由上述“方法1”和“方法2”可列等式：一· 【进阶探索】 (2)她要再拼成一个长为(a+3b),宽为a+b)的长方形，需要A型卡片张，B型卡片张， C型卡片_张； 【实践探究】 试卷第1页，共3页 (3)小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S 与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x,请探究a与b的数量关系，并说明理由. 12.阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分 解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式 分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题. 例如：①x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, :(x+1是非负数，即(x+1)2≥0，.(x+1+2≥2， 则当x=-1时，代数式x2+2x+3的最小值是2； ②3x2-12x+5=3x2-4x)+5=3x2-4x+4-4+5=3(x-22-12+5=3x-22-7, :(x-2是非负数，即(x-22≥0,3(x-2-7≥-7， 则当x=2时，代数式3x2-12x+5存在最小值-7. (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+12的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值， 试卷第1页，共3页