专题23：圆柱与圆锥（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

第七章：立体图形 专题23：圆柱与圆锥 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：圆柱的侧面积 考点02：圆柱的表面积 考点03：圆柱的体积 考点04：圆柱的容积 考点05：圆锥的体积（容积） 考点06：圆柱与圆锥体积的关系 考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 知识点01：圆柱 1.圆柱的认识 （1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。 （2）侧面：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面周长和高相等时，侧面展开是正方形。 （3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 2.圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面积。 （2）计算公式为S＝2πr2 +2πrh，其中r为底面半径，h为高。 3.圆柱的体积 圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底。 （2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=S侧。 （3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。 （4）圆柱横切：增加2个圆形底面；竖切增加2个长方形。 （5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点02：圆锥 1.圆锥的认识 （1）底面：圆锥的底面是一个圆。 （2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 （3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积 （1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 （2）圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h （3）圆柱与圆锥的关系 ①等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； ②体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； ③体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点拨】 （1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 （2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 考点01：圆柱的侧面积 【典型例题】大厅内有8根同样的圆柱形支撑柱，每根高5米，底面周长是3.14米。给这些支撑柱的表面刷油漆，刷油漆的面积是（ ）平方米。如果每千克油漆可漆2平方米，需要油漆（ ）千克。 【变式训练1】一个圆柱形纸盒，侧面展开是一个边长15cm的正方形，这个圆柱形纸盒的侧面积是（     ）cm2。 A．225 B．47.1 C．45 【变式训练2】一节圆柱形铁皮烟囱的长是1.5m，底面直径是0.2m，做100节这样的铁皮烟囱，至少需要（ ）m2的铁皮。 考点02：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径3分米，高5分米。做这个水桶大约要用多少铁皮？ 【变式训练1】一个圆柱的底面直径是8cm，高是10cm，把它平均分成若干等份，拼成近似的长方体，表面积增加了（ ）cm2。 【变式训练2】一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面半径2米，深3米，在它的内壁与底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 考点03：圆柱的体积 【典型例题】下图是棱长为6cm的正方体，它的棱长总和是（ ）cm。若将正方体削成一个最大的圆柱，体积是（ ）cm3。（结果保留π） 【变式训练1】一根圆柱形油管，内直径是2分米，油在管内的流速是4分米/秒，每秒流过的油是（ ）立方分米。 【变式训练2】把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是18.84平方厘米，圆柱的体积（ ）立方厘米。这个长方体的表面积比原来增加（ ）平方厘米。 考点04：圆柱的容积 【典型例题】越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底面直径是6dm，高是7dm。制作这个箍桶至少用了（ ）dm2的木板，这个箍桶最多能装水（ ）L。 【变式训练1】营养学家建议，12岁儿童在天气较热时，每日喝水应不少于1500毫升。用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6满杯水，达到要求了吗？（     ） A．没达到 B．达到了 C．无法计算 【变式训练2】将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（     ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 D．864 考点05：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨，这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数） 【变式训练1】一个圆锥的高是10厘米，体积是157立方厘米，这个圆锥的底面积是（ ）平方厘米。 【变式训练2】有一块正方体木料，它的棱长是6cm，把这块木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（     ）cm3。 A．216 B．169.56 C．56.52 考点06：圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是18.84立方厘米，它们的体积相差（     ）立方厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【变式训练1】把一段体积是42.9立方分米的圆柱形木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【变式训练2】一个圆柱和一个圆锥等底等高。如果它们的体积相差12m3，那么圆锥的体积是（ ）m3，圆柱的体积是（ ）m3。 考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 【典型例题】把一个圆锥沿着高切开，切成形状、大小完全一样的两个部分，结果表面积之和比原来增加了48dm2。已知圆锥的高是6dm，原来圆锥的半径是（ ）dm，体积是（ ）dm3。 【变式训练1】把一根长2米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加了4平方分米，这根木料的体积是（     ）立方分米。 A．80 B．40 C．120 D．4 【变式训练2】将底面周长为62.8厘米，高为20厘米的圆柱沿直径切开，表面积增加（     ）平方厘米。 一、选择题 1．将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的（     ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 2．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（     ）。 A． B． C． D． 3．如下图，一瓶600毫升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。这样的一个圆锥形杯子最多能装（     ）毫升果汁。 A．120 B．150 C．200 D．240 4．四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是（     ）立方厘米。 A．120 B．360 C．480 D．720 5．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱体积的比是1∶6，圆锥的高是4.8cm，圆柱的高是（     ）cm。 A．28.8 B．9.6 C．1.6 D．0.8 6．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（     ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 7．下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（     ）。 A． B． C． D． 二、填空题 8．一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是（ ）平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 9．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 10．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是（ ）。 11．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大（ ）立方厘米。 12．如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 13．明明看一个立体图形，从前面看到的是下面A图，从上面看到的是下面B图（单位：dm）。这个立体图形是（ ），体积是（ ）。 14．一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是（ ）平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方分米。 15．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为（ ）。 16．用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为（ ）升。（取3） 17．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是（ ）分米。 18．一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2，原来的这个正方体木料的体积是（ ）cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是（ ）cm3。 19．如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深（ ）cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是（ ）cm。 三、解答题 20．一个圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.5米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 21．李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管，至少要多少平方分米的铁皮？ 22．手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 23．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？（取3.14，底面周长取整数） 24．健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 25．如图：这是一个圆柱形礼盒。 （1）做这个礼盒至少要用多少平方厘米的硬纸壳？（接口处不计） （2）如图：用丝带捆扎起来（系蝴蝶结用去30厘米长的丝带），这条丝带至少长多少厘米？ 26．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 27．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 28．如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章：立体图形 专题23：圆柱与圆锥 （7大考点典例讲解+知识总结+变式练习+真题训练） 考点01：圆柱的侧面积 考点02：圆柱的表面积 考点03：圆柱的体积 考点04：圆柱的容积 考点05：圆锥的体积（容积） 考点06：圆柱与圆锥体积的关系 考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 知识点01：圆柱 1.圆柱的认识 （1）底面：圆柱有两个底面，是完全相同的两个圆。 （2）侧面：圆柱的侧面是一个曲面，展开后是一个长方形或正方形。当圆柱底面周长和高相等时，侧面展开是正方形。 （3）高：两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高。 2.圆柱的表面积 （1）圆柱的表面积等于两个底面积加上侧面积。 （2）计算公式为S＝2πr2 +2πrh，其中r为底面半径，h为高。 3.圆柱的体积 圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 【易错点拨】 （1）无盖圆柱（如水桶）的表面积=S侧+S底。 （2）烟囱、通风管、压路机滚筒：只有侧面积，无底面。通风管、烟囱等的表面积=S侧。 （3）半径与直径混淆：看清给的是r还是d。 （4）圆柱横切：增加2个圆形底面；竖切增加2个长方形。 （5）切拼圆柱后体积变化判断错误：认为切拼成长方体后体积变大，实际体积不变，表面积变大。 知识点02：圆锥 1.圆锥的认识 （1）底面：圆锥的底面是一个圆。 （2）侧面：圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。 （3）高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积 （1）圆锥体积公式的推导：通过实验发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的。 （2）圆锥的体积公式：V圆锥＝V圆柱＝πr2h （3）圆柱与圆锥的关系 ①等底等高：V锥=V柱，V柱=3V锥； ②体积相等、底面积相等：h锥=3h柱； ③体积相等、高相等：S锥底=3S柱底。 【易错点拨】 （1）圆锥高的概念误解：认为圆锥的高是从顶点到底面边缘的距离，实际是到圆心的垂直距离。 （2）等底等高关系混淆：在体积相等的情况下，V锥=V柱，V柱=3V锥。 考点01：圆柱的侧面积 【典型例题】大厅内有8根同样的圆柱形支撑柱，每根高5米，底面周长是3.14米。给这些支撑柱的表面刷油漆，刷油漆的面积是（ ）平方米。如果每千克油漆可漆2平方米，需要油漆（ ）千克。 【答案】 125.6 62.8 【分析】给圆柱形支撑柱的表面刷漆，就是求圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝Ch，把数据代入公式计算，再乘8求得刷漆的总面积，再除以2即可求得需要油漆质量。 【详解】3.14×5×8 ＝15.7×8 ＝125.6（平方米） 125.6÷2＝62.8（千克） 刷油漆的面积是125.6平方米，如果每千克油漆可漆2平方米，需要油漆62.8千克。 【变式训练1】一个圆柱形纸盒，侧面展开是一个边长15cm的正方形，这个圆柱形纸盒的侧面积是（     ）cm2。 A．225 B．47.1 C．45 【答案】A 【分析】由题意可知，这个圆柱形纸盒的侧面积等于正方形的面积，根据“”求出这个纸盒的侧面积。 【详解】15×15＝225（cm2） 这个圆柱形纸盒的侧面积是225 cm2。 【变式训练2】一节圆柱形铁皮烟囱的长是1.5m，底面直径是0.2m，做100节这样的铁皮烟囱，至少需要（ ）m2的铁皮。 【答案】94.2 【分析】烟囱相当于无两个底面的圆柱体，所需的铁皮面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝，把数据代入公式计算，求得每节烟囱所需的铁皮面积，再乘100即可。 【详解】3.14×0.2×1.5×100 ＝0.628×1.5×100 ＝0.942×100 ＝94.2（m2） 考点02：圆柱的表面积 【典型例题】一个圆柱形的无盖铁皮水桶，底面直径3分米，高5分米。做这个水桶大约要用多少铁皮？ 【答案】54.165平方分米 【分析】所需铁皮的面积就是这个无盖圆柱形水桶的表面积，根据圆柱的表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（3÷2）2＋3.14×3×5 ＝3.14×1.52＋3.14×3×5 ＝3.14×2.25＋9.42×5 ＝7.065＋47.1 ＝54.165（平方分米） 答：做这个水桶大约要用54.165平方分米的铁皮。 【变式训练1】一个圆柱的底面直径是8cm，高是10cm，把它平均分成若干等份，拼成近似的长方体，表面积增加了（ ）cm2。 【答案】80 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，其表面积增加了2个以高为长，底面半径为宽的长方形的面积。长方形的面积＝长宽，据此回答即可。 【详解】(8÷2)×10×2 =4×10×2 =40×2 =80(cm2 ) 【变式训练2】一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面半径2米，深3米，在它的内壁与底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【分析】根据题意，蓄水池抹水泥的部分包括圆柱的侧面积和一个底面积（无盖）。已知底面半径为2米，深（即高）为3米，利用圆柱侧面积公式（C＝2πrh）和底面积公式（S＝πr2），π取3.14，分别求出侧面积和底面积，最后将两者相加即可求出抹水泥部分的总面积。 【详解】2×3.14×2×3＋3.14×2² ＝2×3.14×2×3＋3.14×4 ＝37.68＋12.56 ＝50.24（平方米） 答：抹水泥部分的面积是50.24平方米。 考点03：圆柱的体积 【典型例题】下图是棱长为6cm的正方体，它的棱长总和是（ ）cm。若将正方体削成一个最大的圆柱，体积是（ ）cm3。（结果保留π） 【答案】 72 54π 【分析】已知正方体的棱长是6cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出它的棱长总和； 将正方体削成一个最大的圆柱，那么圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 【详解】正方体的棱长总和： 6×12＝72（cm） 圆柱的体积： π×（6÷2）2×6 ＝π×32×6 ＝π×9×6 ＝54π（cm3） 【变式训练1】一根圆柱形油管，内直径是2分米，油在管内的流速是4分米/秒，每秒流过的油是（ ）立方分米。 【答案】12.56 【分析】把每秒流过的油看成是一个圆柱，圆柱的底面直径是2分米，高是4分米，根据圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） 【变式训练2】把一个直径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是18.84平方厘米，圆柱的体积（ ）立方厘米。这个长方体的表面积比原来增加（ ）平方厘米。 【答案】 37.68 12 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积； 拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积，长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘2，就是增加的表面积。 【详解】长方体的长：3.14×4÷2＝6.28（厘米） 长方体的宽：4÷2＝2（厘米） 长方体的高：18.84÷6.28＝3（厘米） 圆柱的体积： 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方厘米） 长方体的表面积比原来增加：2×2×3＝12（平方厘米） 考点04：圆柱的容积 【典型例题】越剧是仅次于京剧的第二大剧种，越剧《九斤姑娘》中有一段叫《箍桶记》，其中就讲到箍桶千奇百怪，五花八门。箍桶匠制作了一个圆柱形无盖箍桶（如下图），底面直径是6dm，高是7dm。制作这个箍桶至少用了（ ）dm2的木板，这个箍桶最多能装水（ ）L。 【答案】 160.14 197.82 【分析】制作这个箍桶的木板的面积就是求圆柱的侧面积加一个底面积，求这个箍桶的容积可先求圆柱的体积再把单位转化为容积单位L，根据、、，代入数据计算。 【详解】3.14×6×7+3.14×(6÷2)2 =3.14×6×7+3.14×32 =3.14×6×7+3.14×9 =131.88+28.26 =160.14（dm2） 3.14×(6÷2)2×7 =3.14×32×7 =3.14×9×7 =197.82（dm3） =197.82（L） 制作这个箍桶至少用了160.14dm2的木板，这个箍桶最多能装水197.82L。 【变式训练1】营养学家建议，12岁儿童在天气较热时，每日喝水应不少于1500毫升。用底面直径6厘米，高10厘米的圆柱形水杯喝6满杯水，达到要求了吗？（     ） A．没达到 B．达到了 C．无法计算 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π取3.14），求出水杯的容积，再乘6求出每天一共喝水的毫升数，最后与1500毫升进行比较，即可得出判断。 【详解】3.14×（6÷2）2×10×6 ＝3.14×32×10×6 ＝3.14×9×10×6 ＝28.26×10×6 ＝282.6×6 ＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6毫升＞1500毫升 所以达到要求了。 【变式训练2】将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（     ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 D．864 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，要使围成的圆柱体积最大，要以长边为底面周长，宽为圆柱的高。根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3×（18÷3÷2）2×12 ＝3×（6÷2）2×12 ＝3×32×12 ＝3×9×12 ＝27×12 ＝324（立方分米） 这个圆桶的最大容积是324立方分米。 故答案为：A 考点05：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.2米。如果每立方米沙子重1.7吨，这堆沙子约重多少吨？（得数保留整数） 【答案】9吨 【分析】圆的周长，先用周长除以求出半径，再代入体积公式求出体积，最后用体积乘上1.7吨即可。 【详解】半径：12.56÷3.14÷2＝2（米） 体积：（立方米） 5.024×1.7＝8.5408（吨）9（吨） 答：这堆沙子约重9吨。 【变式训练1】一个圆锥的高是10厘米，体积是157立方厘米，这个圆锥的底面积是（ ）平方厘米。 【答案】47.1 【分析】根据圆锥体积公式：体积＝底面积×高÷3，可得底面积＝体积×3÷高，代入数值即可解答。 【详解】157×3÷10 ＝471÷10 ＝47.1（平方厘米） 【变式训练2】有一块正方体木料，它的棱长是6cm，把这块木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（     ）cm3。 A．216 B．169.56 C．56.52 【答案】C 【分析】正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长，根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（cm3） 这个圆锥的体积是56.52cm3。 考点06：圆柱与圆锥体积的关系 【典型例题】等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是18.84立方厘米，它们的体积相差（     ）立方厘米。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．12.56 【答案】C 【分析】圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。由题意可得圆柱的体积＋圆锥的体积＝18.84，根据圆柱的体积＝圆锥的体积×3，用体积之和÷（3＋1）求出圆锥的体积，体积之差＝圆锥的体积×（3－1）。 【详解】圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。 18.84÷（3＋1） ＝18.84÷4 ＝4.71（立方厘米） 4.71×（3－1） ＝4.71×2 ＝9.42（立方厘米） 它们的体积相差9.42立方厘米。 【变式训练1】把一段体积是42.9立方分米的圆柱形木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】14.3 【分析】要削出最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高。根据体积公式，等底等高时，V圆锥＝V圆柱，所以用圆柱体积42.9立方分米除以3，即可求出圆锥体积。 【详解】42.9÷3＝14.3（立方分米） 【变式训练2】一个圆柱和一个圆锥等底等高。如果它们的体积相差12m3，那么圆锥的体积是（ ）m3，圆柱的体积是（ ）m3。 【答案】 6 18 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高可知，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，它们的体积差是3－1＝2份。已知体积差是12立方米，用体积差除以份数差，求出一份数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积。 【详解】圆锥体积： 12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（m3） 圆柱体积：6×3＝18（m3） 考点07：立体图形的切拼（圆柱与圆锥） 【典型例题】把一个圆锥沿着高切开，切成形状、大小完全一样的两个部分，结果表面积之和比原来增加了48dm2。已知圆锥的高是6dm，原来圆锥的半径是（ ）dm，体积是（ ）dm3。 【答案】 4 100.48 【分析】先根据圆锥沿高切开后增加的表面积，用总面积除以2求出单个等腰三角形切面的面积，再结合三角形面积公式S＝dh÷2和圆锥的高，求出圆锥的底面直径，接着用直径除以2得到底面半径，最后把半径和高代入圆锥体积公式V＝πr2h（π取3.14），求出圆锥的体积。 【详解】单个新增三角形面积：48÷2＝24（dm2） 圆锥底面直径：24×2÷6＝8（dm） 圆锥底面半径：8÷2＝4（dm） 圆锥体积：×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝3.14×16×（6×） ＝3.14×16×2 ＝100.48（dm3） 【变式训练1】把一根长2米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加了4平方分米，这根木料的体积是（     ）立方分米。 A．80 B．40 C．120 D．4 【答案】B 【分析】先根据“1米＝10分米”把2米转化为20分米，把一根圆柱形木料锯成两段，表面积增加2个截面的面积，先根据增加的表面积除以2，求出一个截面的面积；再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】2米＝20分米 截面的面积：4÷2＝2（平方分米） 这根木料的体积：2×20＝40（立方分米） 【变式训练2】将底面周长为62.8厘米，高为20厘米的圆柱沿直径切开，表面积增加（     ）平方厘米。 【答案】800 【分析】将圆柱沿直径切开，切面是长为高，宽为底面直径的长方形，表面积增加两个切面的面积。先用底面周长除以算出底面直径，再用底面直径高×算出一个切面的面积，再乘2即为增加的表面积。 【详解】62.8÷3.14×20×2 ＝20×40 ＝800（平方厘米） 所以，表面积增加800平方厘米。 一、选择题 1．将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的（     ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，底面积＝πr2，若底面半径扩大到原来的2倍，则圆柱的体积应扩大到原来的22倍，据此解答。 【详解】22＝2×2＝4 将圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大为原来的4倍。 2．一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的侧面展开图是正方形，说明圆柱的高＝圆柱的底面周长；可以设圆柱的直径为1厘米，根据圆的周长公式“”求出圆柱的底面周长，即圆柱的高；最后根据求出的数据计算底面直径和高的比即可。 【详解】设直径为1厘米，则圆柱的高＝×1＝（厘米） 因此，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶。 3．如下图，一瓶600毫升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。这样的一个圆锥形杯子最多能装（     ）毫升果汁。 A．120 B．150 C．200 D．240 【答案】A 【分析】由图和题意可知，圆柱形杯子和圆锥形杯子等底等高，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把1个圆柱形杯子转化成3个圆锥形杯子，说明（3＋1＋1）个圆锥形杯子可以装600毫升的果汁，最后用果汁的总体积除以圆锥形杯子的个数求出一个圆锥形杯子最多能装果汁的体积，据此解答。 【详解】分析可知，1个圆柱形杯子可以装果汁的体积等于3个圆锥形杯子可以装果汁的体积。 600÷（3＋1＋1） ＝600÷5 ＝120（毫升） 所以，这样的一个圆锥形杯子最多能装120毫升果汁。 故答案为：A 4．四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是（     ）立方厘米。 A．120 B．360 C．480 D．720 【答案】A 【分析】四个同样大小的圆柱垂直拼接成一个大圆柱，总高度为40厘米，因此每个小圆柱的高度为10厘米。拼接过程中，每两个圆柱接触会减少两个底面积，四个圆柱拼接三次，共减少六个底面积。表面积减少72平方厘米对应这六个底面积，因此每个底面积为12平方厘米。小圆柱的体积等于底面积乘以高，即12×10＝120立方厘米。 【详解】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 72÷6＝12（平方厘米） 12×10＝120（立方厘米） 所以原来小圆柱的体积是120立方厘米。 故答案为：A 5．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱体积的比是1∶6，圆锥的高是4.8cm，圆柱的高是（     ）cm。 A．28.8 B．9.6 C．1.6 D．0.8 【答案】B 【分析】已知一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，圆锥与圆柱体积的比是1∶6，设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，据此求出这个圆锥的底面积，也是圆柱的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱的高。 【详解】设圆锥的体积是1cm3，则圆柱的体积是6cm3； 圆锥的底面积：1×3÷4.8＝0.625（cm2） 圆柱的高：6÷0.625＝9.6（cm） 所以，圆柱的高是9.6cm。 故答案为：B 6．如图所示，把直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的圆锥的体积是（     ）立方厘米。 A．12.56 B．37.68 C．18.84 D．50.28 【答案】A 【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到一个底面半径是2厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】根据分析： （立方厘米） 所以得到的圆锥的体积是立方厘米。 故答案为：A 7．下面四组图形中，圆柱和圆锥体积不相等的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的体积V＝Sh，圆锥的体积V＝ Sh，分别把圆柱和圆锥的底面积和高代入体积公式计算并比较即可。 【详解】A．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×3×6＝6（cm3），相等，不符合题意； B．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×2＝6（cm3），相等，不符合题意； C．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×6×3＝6（cm3），相等，不符合题意； D．圆柱：3×2＝6（cm3），圆锥： ×9×6＝18（cm3），不相等，符合题意。 故答案为：D 二、填空题 8．一块正方体木材的棱长是4分米，这块木材的表面积是（ ）平方分米，把它切成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 96 75.36 50.24 【分析】第①空：正方体表面积：正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是“棱长×棱长”，因此表面积公式为6×棱长×棱长。代入棱长4分米，可得6×4×4＝96平方分米。 第②空：要切出最大的圆柱，需让圆柱的底面直径和高都等于正方体4分米长的棱长，先利用“”代入直径和高计算出侧面积；再利用“”代入r计算出2个底面积，最后由“侧面积＋2个底面积”求出圆柱的表面积。 第③空：依据体积公式为“”，代入半径和高计算出圆柱体积。 【详解】第①空：6×4×4＝24×4＝96（平方分米） 第②空：d＝4分米，r＝4÷2＝2（分米），h＝4分米 3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方分米） ＝ ＝12.56×2 ＝25.12（平方分米） 50.24＋25.12＝75.36（平方分米） 第③空： ＝ ＝12.56×4 ＝50.24（立方分米） 9．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 【答案】54 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；用体积差除以份数差，求出一份数，再用一份数乘3，求出圆柱的体积。 【详解】36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方厘米） 18×3＝54（立方厘米） 这个圆柱的体积是54立方厘米。 10．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是（ ）。 【答案】1∶3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。 【详解】假设圆锥和圆柱的高都是1，圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径为3。 圆柱的体积：π××1＝π 圆锥的体积：π××1÷3＝3π π∶3π＝1∶3 因此，一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是1∶3。 11．小悦同学用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大（ ）立方厘米。 【答案】108 【分析】由于圆柱和圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。整个橡皮泥的体积为216立方厘米，是圆柱和圆锥的总体积。设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V，总体积为4V，可求出V，再计算圆柱体积与圆锥体积的差。 【详解】设圆锥的体积为V立方厘米，则圆柱的体积为3V立方厘米。 根据题意，圆柱和圆锥的总体积为216立方厘米， 因此： V＋3V＝216 4V＝216 V＝216÷4 V＝54 圆锥的体积为54立方厘米，圆柱的体积为3×54＝162立方厘米。 圆柱的体积比圆锥的体积大：162-54＝108立方厘米。 答：圆柱的体积比圆锥的体积大108立方厘米。 12．如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是（ ）立方厘米。（π取3.14） 【答案】251.2 【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，高不变，体积不变，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半（πr），用这个长方体的长12.56除以3.14即可求得圆柱的底面半径；拼成的长方体表面积比圆柱多了长方体的左右两个面，这两个长方形的面的长和圆柱的高相等，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加40平方厘米，先用40÷2求出一个面的面积，再除以半径，即可求出高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出圆柱的体积。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 40÷2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 12.56×4×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是251.2立方厘米。 13．明明看一个立体图形，从前面看到的是下面A图，从上面看到的是下面B图（单位：dm）。这个立体图形是（ ），体积是（ ）。 【答案】 圆锥 75.36 【分析】先根据从前面看到的三角形、从上面看到的圆形，判断出这个立体图形是圆锥；再用圆锥的底面直径除以2求出半径，结合已知的高，代入圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14），即可求出体积。 【详解】这个立体图形是圆锥。 体积：×3.14×（6÷2）2×8 ＝×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝×9×3.14×8 ＝3×3.14×8 ＝9.42×8 ＝75.36（dm3） 14．一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是（ ）平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】 100.48 25.12 【分析】（1）利用圆柱表面积公式，，（取3.14），由此代入数据即可解答； （2）先利用圆柱的体积公式求出这个圆柱的体积，等底等高的圆锥体积是圆柱的，再除以3即可得出等底等高的圆锥的体积。 【详解】（1）底面积： （平方分米） 侧面积： （平方分米） 表面积： （平方分米） （2）圆柱体积：（立方分米） 圆锥体积：（立方分米） 一个圆柱的底面直径是4分米，高是6分米，它的表面积是100.48平方分米，一个与它等底等高的圆锥的体积是25.12立方分米。 15．如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为（ ）。 【答案】4∶3 【分析】，可把看作4，看作3。根据题意可知，绕旋转一周得到圆锥甲，甲圆锥的底面半径是4，高是3；绕旋转一周得到圆锥乙，乙圆锥的底面半径是3，高是4，根据圆锥的体积公式：，把数据分别代入公式求出甲、乙两个圆锥的体积，然后根据比的意义，求出甲、乙两个圆锥体积的比。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∶ ＝（÷）∶（÷） ＝4∶3 圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 如图，直角三角形如果绕旋转一周得到圆锥甲；如果绕旋转一周得到圆锥乙。已知，则圆锥甲与圆锥乙的体积之比为4∶3。 16．用一张长6分米，宽3分米的长方形纸（厚度不计）围成一个容积最大的圆柱体，这个圆柱体的容积约为（ ）升。（取3） 【答案】9 【分析】长方形纸围圆柱体可围成两种形状的圆柱体： 情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高； 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高； 先根据底面周长公式求出底面半径；再根据圆柱的体积公式，代入对应的半径和高的值算出体积；最后比较两种情况下体积的大小，选出容积较大的圆柱体即可。 【详解】情况1：以长方形的长6分米为圆柱的底面周长，宽3分米为圆柱的高： 6（2） ＝6（23） ＝66 ＝1（分米） 33 ＝33 ＝9（立方分米） 情况2：以长方形的宽3分米为圆柱的底面周长，长6分米为圆柱的高： 3（2） ＝3（23） ＝36 ＝0.5（分米） 36 ＝30.256 ＝4.5（立方分米） 9＞4.5，所以容积最大的圆柱体体积是9立方分米，又因为1立方分米＝1升，所以容积约为9升。 17．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是（ ）分米。 【答案】6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 18．一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2，原来的这个正方体木料的体积是（ ）cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【答案】 1000 785 【分析】正方体木料减少的表面积÷减少的高＝底面周长，正方体底面周长÷4＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个正方体木料的体积；将正方体切成最大的圆柱，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，根据圆柱体积＝底面积×高求出圆柱的体积。 【详解】200÷5÷4＝10（cm） 10×10×10＝1000（cm3） 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（cm3） 原来的这个正方体木料的体积是1000cm3。这个圆柱的体积是785cm3。 19．如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深（ ）cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是（ ）cm。 【答案】 8 4.8 【分析】（1）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S＝πr2、d＝2r。 （2）根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的底面积，由圆锥体积公式V＝πr2h，可知用水的体积×3÷圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】（1）水的体积：10×10×6.28＝628（cm3） 圆柱底面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 水深：628÷78.5＝8（cm） （2）圆锥底面积：78.5×5＝392.5（cm2） 圆锥的高：628×3÷392.5 ＝1884÷392.5 ＝4.8（cm） 三、解答题 20．一个圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.5米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 【答案】4710千克 【分析】根据圆锥的体积计算公式“V＝πr2h”及圆周长与半径的关系“r＝”即可求出这堆小麦的体积是多少立方米，再乘每立方米的千克数（750千克），就是这堆小麦重多少千克。 【详解】12.56÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×750＝4710（千克） 答：这堆小麦重4710千克。 21．李叔叔做5节底面直径2分米，长8分米的圆柱形通风管，至少要多少平方分米的铁皮？ 【答案】251.2平方分米 【分析】圆柱的表面积等于两个底面加一个侧面，圆柱的底面是一个圆形，侧面沿着高剪开是一个长方形，长方形的长和宽分别是圆柱的底面周长和圆柱的高，所以圆柱侧面积＝底面周长×高。圆柱形通风管，只有一个侧面。用求得的侧面积乘5，即可求出做5节需要铁皮的面积。据此解答。 【详解】3.14×2×8×5 ＝50.24×5 ＝251.2（平方分米） 答：至少要251.2平方分米的铁皮。 22．手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】3768立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，圆柱体积＝πh进行带入计算。 【详解】r＝d÷2＝20÷2＝10（厘米） ＝πh＝3.14××12＝3.14×100×12＝3768（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米。 23．如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？（取3.14，底面周长取整数） 【答案】13米 【分析】把油罐的侧面展开成一个长方形：先根据圆的周长公式C＝πd求出油罐底面的周长，得到约12米（按要求取整数），这个12米就是展开后长方形的长，长方形的高就是油罐的高度5米。根据“两点之间线段最短”，壁虎爬行的最短路线就是这个长方形的对角线，用两条直角边的长度来算：先算5乘5等于25，12乘12等于144，把它们相加得169，再找哪个数自己乘自己等于169，13乘13正好是169，所以对角线长13米，也就是壁虎至少要爬13米。 【详解】底面周长：3.14×3.82≈12（米） 展开后长方形：长12米，高5米 对角线计算：5×5＋12×12 ＝25＋144 ＝169 13×13＝169 答：壁虎至少爬行13米。 24．健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 【答案】约0.90平方米 【分析】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。 【详解】40厘米＝0.4米 50厘米＝0.5米 沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2 ＝3.14×0.22×1.2 ＝3.14×0.04×1.2 ＝0.1256×1.2 ＝0.15072（立方米） 沙堆的占地面积： 0.15072÷（×0.5） ＝0.15072÷÷0.5 ＝0.15072×3÷0.5 ＝0.45216÷0.5 ＝0.90432 ≈0.90（平方米） 答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。 25．如图：这是一个圆柱形礼盒。 （1）做这个礼盒至少要用多少平方厘米的硬纸壳？（接口处不计） （2）如图：用丝带捆扎起来（系蝴蝶结用去30厘米长的丝带），这条丝带至少长多少厘米？ 【答案】（1）5024平方厘米 （2）270厘米 【分析】（1）求硬纸壳的面积相当于求圆柱的表面积，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，列式解答即可； （2）看图可知，丝带的长度＝底面直径×4＋高×4＋系蝴蝶结用的长度，据此列式解答。 【详解】（1）3.14×（40÷2）2×2＋3.14×40×20 ＝3.14×202×2＋2512 ＝3.14×400×2＋2512 ＝2512＋2512 ＝5024（平方厘米） 答：做这个礼盒至少要用5024平方厘米的硬纸壳。 （2）40×4＋20×4＋30 ＝160＋80＋30 ＝270（厘米） 答：这条丝带至少长270厘米。 26．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 27．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【详解】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 28．如图，李师傅把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米；如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米。这个圆柱形木料的表面积是多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【分析】把一个圆柱形木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积增加157平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如果沿着直径截成两部分，表面积增加240平方厘米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的表面积公式S表＝2S底＋S侧，其中S侧＝πdh，代入数据计算，求出这个圆柱形木料的表面积。 【详解】圆柱的底面积：157÷2＝78.5（平方厘米） 底面半径的平方：78.5÷3.14＝25（平方厘米） 因为25＝5×5，所以圆柱的底面半径是5厘米。 圆柱的底面直径：5×2＝10（厘米） 圆柱的高：240÷2÷10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 157＋3.14×10×12 ＝157＋376.8 ＝533.8（平方厘米） 答：这个圆柱形木料的表面积是533.8平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $