精品解析：山西省部分学校2025-2026学年八年级数学下学期期中监测卷

2025-2026学年八年级数学下学期期中监测卷 （考试时间：100分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材人教版第19-21章． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ） A. 勾股定理的逆定理 B. 勾股定理 C. 直角三角形两锐角互余 D. 以上都不对 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ） A. 16 B. 21 C. 13 D. 18 5. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ） A. 30 B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A. 2a-3 B. 1 C. -3 D. -1 8. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 12. 若实数x，y满足，，则的值为________． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 15. 如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 18. 图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形； （3）在图（3）中画一个等腰直角三角形． 19. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 20. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 21. 【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 22. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 23. 综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中监测卷 （考试时间：100分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新教材人教版第19-21章． 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ） A. 勾股定理的逆定理 B. 勾股定理 C. 直角三角形两锐角互余 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理． 2. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解． 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 4. 如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ） A. 16 B. 21 C. 13 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴的周长． 5. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ） A. 30 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴的整数部分，小数部分 ∵， ∴． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ） A. 2a-3 B. 1 C. -3 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 8. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 9. 如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 10. 如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示： ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________． 【答案】 ①. ，，， ②. ， 【解析】 【分析】根据多边形内角、外角的定义可得答案． 【详解】解：图中四边形的内角有，，，；外角有，． 12. 若实数x，y满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：． 将代入，得， 即， 解得， ∴． 13. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 15. 如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定，据此可对结论①进行判定；②由①得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论②进行判定；③由得，，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断④，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②由①得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，为斜边， ∵， ∴， ∴，故结论②不正确， ③由①得：， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为正方形面积的，故结论③正确； ④如图， ∵，的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为，故④错误； 综上所述：正确的结论是①③． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握实数的运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）分别根据算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算； （2）先根据二次根式的除法法则、平方差公式对各项进行化简，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 18. 图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形； （3）在图（3）中画一个等腰直角三角形． 【答案】（1） 解：如下图即为所求： （2） 解：如下图即为所求： （3） 解：如下图即为所求： ，， 则， 则为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰锐角三角形的定义作图即可． （2）根据等腰钝角三角形的定义作图即可． （3）根据等腰直角三角形的定义作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点； （2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 依题得， 中，，，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 20. 如图，四边形，、、，连接，且． （1）求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）请直接判断：______（填“”或“”）； 在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题： （2）如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】（1）； （2）解：，证明如下： 如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）略 22. 在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， （1）请你帮助小明接着完成这道题； （2）请你根据小明的思路，解决如下问题 ①________； ②化简． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化． （1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值； （2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为； ②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：①解： ； ②解：． . 23. 综合与探究． 【问题背景】 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 【尝试应用】 （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长； 【深入思考】 （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分． 【答案】 （1）如图，过点E作于点F， ∴，， ∴； （2）12； （3）证明：如图，连接，，过点A作于点M，作于点N， 由（1）知， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论； （2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点D作于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， ∴； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $