精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学西校区2025～2026学年第二学期期中考试七年级数学试卷

银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期期中考试 初一数学试卷 一、单选题 1. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是内错角 B. 和是对顶角 C. 和是同位角 D. 和是同旁内角 4. 如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（ ） A. 减少 B. 增加 C. 减少 D. 增加 5. 如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 二、填空题 9. 计算：＝______． 10. 如图，若要使，则可以添加的一个条件是____________．（只填一个） 11. 如图，，平分，则_____． 12. 若，，则的值为________． 13. 已知中，，则按角分类是________三角形． 14. 已知多项式（x-a）与（x2+2x-1）的乘积中不含x2项，则常数a的值是______． 15. 如图，将长方形纸条折叠，若，则 ______°． 16. 如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________. 三、解答题 17. 计算题： （1） （2） 18. 计算题： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． （1）画线段，过点作的平行线； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）若，则点到直线的距离为 ． 21. 如图，是中 边上一点，连接，且． （1）图中共有几个三角形，分别是哪些? （2）是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） （3）若，，求 的度数． 22. 阅读题目，完成下面推理过程： 如图，已知，垂足分别为．说明：． 解：（已知）， （______）． （______）． _______（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， _______（同角的补角相等）． （_________）． （________）． 23. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； （2）计算：； （3）对（2）的结果，求出当，时该式的值． 24. 把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 25. 探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， （1）设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； （2）小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 26. 阅读与思考 三角形的内角和 小学时候我们就知道三角形内角和是．从古至今，无数数学家倾注心力，用不同的推理思路共同证实了三角形内角之和恒为180度．下面是数学家普罗克拉斯的两种证明方法： 如图1，已知：三角形．求证：． 方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作． ， ，，， （依据一）． ． 又， ． （依据二）． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边上任取一点（不与重合），连接．分别过点，作的平行线 （1）任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：___________； 依据二：___________． （2）任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，将三角形内角和问题转化为与的和，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是________． A．函数思想 B．分类思想 C．转化思想 （3）任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期期中考试 初一数学试卷 一、单选题 1. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示为，其中，为整数，对于小于1的小数，为负，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：的小数点向右移动6位得到，即，且， 故选：A． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是内错角 B. 和是对顶角 C. 和是同位角 D. 和是同旁内角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 4. 如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（ ） A. 减少 B. 增加 C. 减少 D. 增加 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是掌握“对顶角相等”这一核心知识点；根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 当增加时，也会增加． 故选：B． 5. 如图，在中，D为边上一点，现要利用尺规作图过点D作，下列作法不可行的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定等知识，根据作角平分线，一个角等于已知角，平行线的判定逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、如图，由作图可知，， ∵， ∴， ∴，故不符合题意； 、如图， 由作图可知，， ∴，故不符合题意； 、由作图可知，不能说明，故符合题意； 故选：． 6. 如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得，， 即， ∴， ∴估计观景台之间的距离可能为． 7. 下列运算正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 二、填空题 9. 计算：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用同底数幂的乘法法则将变形，再逆用积的乘方法则将同指数的幂合并简化计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 10. 如图，若要使，则可以添加的一个条件是____________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 11. 如图，，平分，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，领补角、角平分线的定义、平行线的判定及性质，解题的关键是利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补来求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 12. 若，，则的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 13. 已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 14. 已知多项式（x-a）与（x2+2x-1）的乘积中不含x2项，则常数a的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可 【详解】解：（x-a）（x2+2x-1）=x3+（2-a）x2-（2a+1）x+a， ∵不含x2项， ∴2-a=0， 解得a=2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键． 15. 如图，将长方形纸条折叠，若，则 ______°． 【答案】 【解析】 【分析】由邻补角的含义先求解，再利用轴对称的性质可得，结合角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是邻补角的含义，轴对称的性质，熟练的利用轴对称的性质解题是关键． 16. 如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论． 【详解】第1个图形是一个小正方形； 第2个图形由个小正方形拼成； 第3个图形由个小正方形拼成， …… 拼成第个图形需要个正方形， 拼成第个图形需要个正方形， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键． 三、解答题 17. 计算题： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 20. 在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． （1）画线段，过点作的平行线； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）若，则点到直线的距离为 ． 【答案】（1） 线段，如图所示； （2） 垂线段如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，画已知线段的平行线、垂线，解题的关键是掌握线段、直线、垂线段的定义． （1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的长方形的对角线，那么依据网格中画平行线的方法即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线； （3）由图形可知点到直线的距离为，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：． 21. 如图，是中 边上一点，连接，且． （1）图中共有几个三角形，分别是哪些? （2）是的 ．（填“高线”“中线”或“角平分线”） （3）若，，求 的度数． 【答案】（1）图中共有个三角形，分别是，， （2）角平分线 （3） 【解析】 【分析】（）根据三角形的定义解答 即可； （）根据角平分线的定义即可求解； （）由可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：图中共有个三角形，分别是，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴是的角平分线， 故答案为：角平分线； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22. 阅读题目，完成下面推理过程： 如图，已知，垂足分别为．说明：． 解：（已知）， （______）． （______）． _______（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， _______（同角的补角相等）． （_________）． （________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理，结合已知证明过程，即可求解． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 23. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为_____，多项式为_____，例题的计算结果为_____； （2）计算：； （3）对（2）的结果，求出当，时该式的值． 【答案】（1），， （2） （3）20 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，求代数式的值． （1）由题意得：，，即可得到多项式及多项式，再化简即可解答； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可解答； （3）代入数据计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 两边同除以y得：， 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：当，时， 原式． 24. 把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）； （2）；理由如下： 因为，， 所以． （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【详解】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）略 （3）过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 25. 探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， （1）设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； （2）小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 【答案】（1） （2）①相同，10； ②，； ③4221； ④解： ， 故． 【解析】 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）①根据题目给出的等式，即可发现规律； ②根据题目给出的等式，即可发现规律； ③运用②中的规律得出计算结果即可； ④运用整式的乘法运算即可证得结论． 【小问1详解】 解：设为整数，且， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①观察等式：，，，； 发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于10； 故答案为：相同，10； ②根据①发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为，（其中，为小于10的正整数）． 则以上两位数相乘的规律是； 故答案为：，； ③， 故答案为：4221； ④略 26. 阅读与思考 三角形的内角和 小学时候我们就知道三角形内角和是．从古至今，无数数学家倾注心力，用不同的推理思路共同证实了三角形内角之和恒为180度．下面是数学家普罗克拉斯的两种证明方法： 如图1，已知：三角形．求证：． 方法一：如图2，过点作于点，过点作，过点作． ， ，，， （依据一）． ． 又， ． （依据二）． 方法二：（将辅助线一般化）如图3，在边上任取一点（不与重合），连接．分别过点，作的平行线 （1）任务一：材料中方法一的证明过程中的依据一，依据二分别指的是： 依据一：___________； 依据二：___________． （2）任务二：材料中证法一的思路是用平行线的性质得到，将三角形内角和问题转化为与的和，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是________． A．函数思想 B．分类思想 C．转化思想 （3）任务三：请将方法二的证明过程补充完整，在图3中作出辅助线，并标清字母． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 （2）C （3） 证明：分别过点，作，，如下图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断即可； （2）根据“将三角形内角和问题转化为与的和”即可确定解题思想； （3）分别过点，作，，根据平行线的性质证明即可． 【小问1详解】 解：依据一：同位角相等，两直线平行； 依据二：两直线平行，内错角相等； 【小问2详解】 解：由题意得，这种方法主要体现的数学思想是：转化思想； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $