三角函数的图象与性质讲义（ 单调性、值域、解析式、w的范围等）-2026届高三数学二轮专题复习

三角函数的图象及性质 【题型1 三角函数的定义域】 规律与方法 求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 三角函数定义域：1.解三角不等式 2.正切的定义域 3.一般函数定义域的要求。 1.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 3.函数y＝lg sin x＋的定义域为________． 【题型2 三角函数的值域或最值】 规律与方法 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 1．(2026·四川德阳·模拟)已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（   ） A．3， B．3， C．， D．， 2．(2026·安徽宿州·模拟)已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.(2026·辽宁沈阳·模拟)函数的最小值为 ． 4．（2023·云南昆明·模拟预测）若函数，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高三上·河南·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三·江西抚州·开学考试）设函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数的单调性及应用】 规律与方法 时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 1．(2026·江西九江·模拟)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．(2026·广东高州·模拟)函数在上的单调递增区间是 ． 3．(2026·云南·模拟)已知，，，则（　　） A． B． C． D． 4．(2026·陕西汉中·模拟)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 5．(2025·湖北武汉·模拟)若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（    ） A． B． C． D． 【题型4 三角函数的周期性及应用】 规律与方法 周期性求解： 1.基本公式：、的最小正周期；的最小正周期； 2.图像法：含绝对值。 3.定义法：若，则为周期 1.下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(2024·四川成都·模拟)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【题型5 三角函数的奇偶性及应用】 规律与方法 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 1．函数f(x)＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　) A．ω＝2，θ＝　　　　B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ 5.(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( ) A． B． C． D． 【题型6 三角函数的对称性及应用】 规律与方法 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 1．(2026·黑龙江·模拟)“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.(2026·辽宁大连·模拟)函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3..已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 5.已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的周期为 C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 【题型7 三角函数的图象变换】 规律与方法 图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 三角函数图象的变换 函数中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 1．（2024·云南·一模）（多选）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 2．将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，，则（    ） A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 C．函数与的图象关于直线对称 D．函数与的图象关于点对称 4.(2026·云南大理·模拟)（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 5．（2023·陕西铜川·一模）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型8 三角函数的解析式】 规律与方法 1.解析式求解步骤：已知图象求的解析式，核心求： （1）求：（纵轴平移量）；求：（振幅）； （2）求：由周期求，（可由图象的零点、最值点间距求）； （3）求：五点法（取图象上的关键五点：零点、最值点，代入解析式求解）或代入点法（结合角的范围确定的唯一值）。 2.技巧：若图象给出的是部分区间，先确定完整周期，再利用对称性补全图象，避免求解出错。 1.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 2.（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　） （1）f（x）关于点（，3）对称 （2）f（x）关于直线x对称 （3）f（x）在区间[，]上单调递减 （4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( ) A． B．当，函数的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若，且，则 【题型9 三角函数性质综合求参数】 规律与方法 一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 由的最小正周期为，所以，即确定了周期，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 1．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 5．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【题型10 三角函数的综合应用】 规律与方法 与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式; （2）利用公式求周期； （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值. 1.(多选)(2025·江西新余·模拟预测)下列关于函数的相关命题，叙述正确的有( ) A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 2.(多选)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是( ) A．为偶函数 B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则 3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 4.(多选)(2025·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( ) 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 5.(2024·河南·模拟)（多选）已知为函数的极值点，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 课后作业： 1．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 2．(2026·湖北荆州·模拟)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 5.设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　) A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 6.（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 8.(2025·云南大理·模拟)若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 9.(2026·贵州毕节·模拟)（多选）已知函数，则（    ） A．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 10.（多选）(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )    A．当最小时， B．的图象关于直线对称 C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则 11.(2025·河北·模拟)（多选）已知函数，且，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．一定为的极小值点 12．(2026·东北三省·联考)已知函数，，则函数的单调递减区间为 . 13．（2023·广西玉林·三模）函数，若，则 ． 14．(2026·安徽安庆·模拟)函数的值域是 . 15.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    16.(2026·山东齐鲁·模拟)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图象及性质 【题型1 三角函数的定义域】 规律与方法 求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 三角函数定义域：1.解三角不等式 2.正切的定义域 3.一般函数定义域的要求。 1.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 2.函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即. 解得， 所以函数的定义域. 故选：C. 3.函数y＝lg sin x＋的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)， 所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为.答案： 【题型2 三角函数的值域或最值】 规律与方法 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 1．(2026·四川德阳·模拟)已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（   ） A．3， B．3， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意得，其中， 则最大值为，最小正周期为.故选：C. 2．(2026·安徽宿州·模拟)已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知，时，的最小值为,最大值为，故，因此，所以的最小值为.故选：B. 3.(2026·辽宁沈阳·模拟)函数的最小值为 ． 【答案】 【详解】，令，，且该二次函数的对称轴为直线，故函数在上单调递增，故，即函数的最小值为.故答案为：. 4．（2023·云南昆明·模拟预测）若函数，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由已知，， 由函数在区间上单调递增，知， 所以的最大值为1.故选：A. 5．（23-24高三上·河南·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ． 设， 则，从而， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增． 因为，所以， 即的值域为．故选：B 6．（22-23高三·江西抚州·开学考试）设函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦函数的性质可知：当在上单调时， ； 当在上不单调时，在上的图象对称时， 即在取得最值时，最小， 此时有，即， 则； 所以的取值范围是.故选：B. 【题型3 三角函数的单调性及应用】 规律与方法 时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 1．(2026·江西九江·模拟)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，.由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意；当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意；当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意.故选：B. 2．(2026·广东高州·模拟)函数在上的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】由，得，当时，在上的单调递增区间为，当时，在上的单调递增区间为，故答案为：． 3．(2026·云南·模拟)已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数线知识可知，当时，，故. 令，，则，故在上单调递减，则.故，即，故. 综上，.故选：A. 4．(2026·陕西汉中·模拟)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，因在区间上单调递增，则，即且且，若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，则的最大值为.故答案为： 5．(2025·湖北武汉·模拟)若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，依题意，，解得，所以的取值范围为.故答案为： 6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】， 当，由，则，则有，，解得，，即，，有，，即，即或， 当时，有，时，有，故的取值可能在或.故选：AC. 【题型4 三角函数的周期性及应用】 规律与方法 周期性求解： 1.基本公式：、的最小正周期；的最小正周期； 2.图像法：含绝对值。 3.定义法：若，则为周期 1.下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由正弦函数的性质知，相邻两条对称轴之间的距离即为半个周期，而， 所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：C． 3．(2024·四川成都·模拟)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，又，可得，即，且、，故.故选：C. 【题型5 三角函数的奇偶性及应用】 规律与方法 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 1．函数f(x)＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【解析】因为f(x)＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin 2x. 所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数． 故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．A 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数， 当时，， 为偶函数，所以充分性成立； 为偶函数时，，解得， 不能得到，所以必要性不成立. 故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A 3．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，显然它定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数， ，则， 所以，.故选：C. 4.已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　) A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ 【解析】　因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π. 由＝π得ω＝2.因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A． 5.(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【解】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为， 所以，，可得，解得， 所以，，则为奇函数，合乎题意. 因此，.故选：A. 【题型6 三角函数的对称性及应用】 规律与方法 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 1．(2026·黑龙江·模拟)“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】正切函数的对称中心为，令，解得， 所以函数的对称中心为.因为是的真子集，所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 2.(2026·辽宁大连·模拟)函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，余弦函数的对称中心为，令，解得，则函数的对称中心为，排除选项，时，，对应选项，对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误故选：D 3..已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值.故选：D. 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2，可得f(x)＝Asin(2x＋φ)， 再由函数图象关于直线x＝对称，故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－. 故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.所以函数f(x)图象的一个对称中心是.【答案】　B 5.已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的周期为 C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 解析：选C．f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，由图象知，f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；函数周期T＝×＝，故B正确；，由图象知(π，0)不是f(x)的一个对称中心，故C错误；当x∈时，2x∈，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确． 【题型7 三角函数的图象变换】 规律与方法 图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 三角函数图象的变换 函数中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 1．（2024·云南·一模）（多选）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】ACD 【解析】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确； B选项，向左平行移动个单位，有，B错误； C选项，向右平行移动个单位，有， ，C正确； D选项，向右平行移动个单位，有， ，D正确；故选：ACD 2．将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象，再将向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再将向右平移个单位，得到的图象.故选：D 3．（23-24高三上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，，则（    ） A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象 C．函数与的图象关于直线对称 D．函数与的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】因为， 将函数的图象右移个单位可得到， 将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误； 由A选项可知，， 所以函数与的图象关于直线对称，故C正确； 若函数与的图象关于点对称， 则在上取点关于的对称点必在上， 所以，所以， 故D正确.故选：ACD. 4.(2026·云南大理·模拟)（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上只有一个零点 C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象．对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误；对于B选项，，，解得，只有一个零点，B选项正确；对于C选项，，，而在上不单调，故在上并不单调，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：BD. 5．（2023·陕西铜川·一模）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 将其图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到， 再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象， 因为的最大值为6，所以，解得，故.故选：A． 【题型8 三角函数的解析式】 规律与方法 1.解析式求解步骤：已知图象求的解析式，核心求： （1）求：（纵轴平移量）；求：（振幅）； （2）求：由周期求，（可由图象的零点、最值点间距求）； （3）求：五点法（取图象上的关键五点：零点、最值点，代入解析式求解）或代入点法（结合角的范围确定的唯一值）。 2.技巧：若图象给出的是部分区间，先确定完整周期，再利用对称性补全图象，避免求解出错。 1.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【详解】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 2.（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　） （1）f（x）关于点（，3）对称 （2）f（x）关于直线x对称 （3）f（x）在区间[，]上单调递减 （4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由特殊点的坐标求出 φ，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像， 可得B3，A2，故有f（x）＝2sin（ωx+φ）+3． 把点（0，2）代入，可得2sinφ+3＝2，即sinφ，φ，故有f（x）＝2sin（ωx）+3． 再根据五点法作图，可得ω×（），∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x）+3． 令x，求得f（x）＝4，故f（x）不关于点（，3）对称，故（1）错误； 令x，求得f（x）＝5，为最大值，故f（x）关于直线x对称，故（2）正确； 当x∈[，]，2x∈[，]，f（x）单调递减，故（3）正确； 当x∈（，），2x∈（﹣π，0），sin（2x）∈[﹣1，0）， ∴函数f（x）的值域为[1，3），故（4）错误． 故选：B． 3.（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 【答案】D 【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可． 【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象知，A＝2， 且T＝2×（）， 所以ω； 又x时，f（）＝2， 即φ＝2kπ，k∈Z， 解得φ＝2kπ，k∈Z； 又|φ|，所以φ； 所以f（x）＝2cos（x）． 故选：D． 4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( ) A． B．当，函数的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若，且，则 【答案】ABD【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正(余)弦型函数解析式、求图象变化前(后)的解析式、二倍角的余弦公式【分析】根据三角函数图象结合周期，特殊值得出函数解析式，再结合值域奇偶性及诱导公式判断各个选项即可. 【解】对于选项A，由于的高为，则，所以函数的周期，即，所以.又图象过点，结合五点作图法可知， 所以，所以，故A正确. 对于选项B，当，，所以函数的值域为，故B正确. 对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度后得到是一个奇函数，故C错误. 对于选项D，因为，，   由，所以， 故 ，故D正确.故选：ABD． 【题型9 三角函数性质综合求参数】 规律与方法 一、求ω取值范围的常用解题思路 1、依托于三角函数的周期性 由的最小正周期为，所以，即确定了周期，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性：函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 1．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数可化为 ， 所以， 因为，所以， 因为在上的值域为，所以，所以， 所以的取值范围为.故选：B. 2．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为在上仅有2个零点， 当时，（）， 所以，解得．故选：B. 3．（22-23高三上·辽宁辽阳·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 ， 因为，所以， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得．故选：B． 4.已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 5．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则，即， 由函数在上单调， 得，即，即，解得， 而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或.故选：B 6.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数单调性计算求解参数即可得出最大值. 【详解】由题， 因为在区间内单调递增， 所以在区间内单调递减， 所以，， 解得，， 又，所以只有当时，不等式有解，解集为， 所以的最大值为. 故选:A. 【题型10 三角函数的综合应用】 规律与方法 与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式; （2）利用公式求周期； （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值. 1.(多选)(2025·江西新余·模拟预测)下列关于函数的相关命题，叙述正确的有( ) A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 【答案】ACD【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若有两个不同的零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得，设，则，作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确.故选：ACD. 2.(多选)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是( ) A．为偶函数 B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则 【答案】BD 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由解析式判断的奇偶性得A选项结果；由函数图像变换得函数解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD. 【解】， ，为奇函数，A选项错误； 函数的图像横坐标缩短为原来的倍，得函数的图像， 再向左平移单位，得到函数的图像， 若，即， 则有，解得，B选项正确； 时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； 时，有，函数在的零点为， 则有，，，所以，D选项正确.故选：BD 3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】依题意，， 由，得，解得， 而，解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确；，，当时，，依题意，，解得，D正确.故选：ACD 4.(多选)(2025·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( ) 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC【难度】0.65【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D. 【解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由数据得，解得，，所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为，所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得，由得， 即，当时，，，因为 得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误.故选：BC. 5.(2024·河南·模拟)（多选）已知为函数的极值点，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【详解】为函数的极值点，，由可得，A选项正确；由于，所以是偶函数，B选项正确；，所以的图象关于直线对称，C选项正确；由于的正负未知，所以在区间的单调性不确定，D选项错误， 故选：ABC． 课后作业： 1．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：选C．法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C． 法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B．故选C． 2．(2026·湖北荆州·模拟)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故，令，即， 即函数的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，A正确；对于B，当时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误；对于C，时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误；对于D，时，，由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误；故选：A 3．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，则，， 若是奇函数，则，解得， 若是偶函数，则，解得， 所以若是偶函数且是奇函数，则， 所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立； 由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立， 所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.故选：A 4．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 5.设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　) A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：选A．f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A． 6.（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A 8.(2025·云南大理·模拟)若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】函数，由得是函数的一条对称轴， 则，，解得，；当时，，由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值．故选：A. 9.(2026·贵州毕节·模拟)（多选）已知函数，则（    ） A．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 B．直线是曲线的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【详解】对于选项A，将向右平移个单位，根据左加右减原则，得到，故A错误.对于选项B，可将代入到解析式中，可得，为的最小值，故B正确.对于选项C，令，得，包含在时的单调递增区间内，故C正确.对于选项D，检验是否为对称中心，代入得，因此该点不是对称中心，故D错误.故选：BC. 10.（多选）(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )    A．当最小时， B．的图象关于直线对称 C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则 【答案】BCD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的定义域、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】对于选项，根据图象求出周期，再根据周期公式求出，再根据图像中的点将代入解析式，即可求得求得的表达式，同时可求出的解析式；选项，令，可求得的对称轴；选项，求，结合正弦函数的性质可得；选项，求出零点的表达式，将大于0的零点依次写出即可. 【解】对于选项，由图象可知： ，即，根据周期的公式可得， 因为，所以可得，将代入解析式，可得：， 即，得到，所以当最小时，，所以选项错误； 对于选项，，所以的对称轴方程为， 即，当时，，所以的图象关于直线对称，所以选项正确； 对于选项,由可得，即，解不等式可得：，所以不等式的解集为，所以选项正确； 对于选项，令，所以，解得， 的零点可以依次为：，，，，若在上有三个零点， 所以在上的三个零点为：，，， 所以，所以选项正确. 故选： 11.(2025·河北·模拟)（多选）已知函数，且，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．一定为的极小值点 【答案】AC 【详解】依题意，为的一个极值点，所以，所以，故A正确； 由A可知，，所以为偶函数，故B错误；，所以为图象的一个对称中心，故C正确；因为的正负未知，所以无法判断是否为极小值点，故D错误，故选：AC. 12．(2026·东北三省·联考)已知函数，，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由题意知，，由，得，令，得，令，则，即函数的单调递减区间为.故答案为： 13．（2023·广西玉林·三模）函数，若，则 ． 【答案】3 【解析】由题得，∴， 所以． 14．(2026·安徽安庆·模拟)函数的值域是 . 【答案】 【详解】， 因为，，令，，所以，对称轴为，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，， 所以函数的值域是.故答案为：. 15.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 16.(2026·山东齐鲁·模拟)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意， ，由，可得，则或由可得，由恰有5个根，可得，解得.由，得，即函数在上单调递增，所以，，即，且，解得.所以，实数的取值范围为.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $