08 专题二 课时2 三角函数的图象和性质（教师用书Word版）-【高考快车道】2026年高考数学大二轮专题复习与讲义

课时2　三角函数的图象和性质 [备考指南]　三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法． 基础考点1　图象变换 【母题1】　[人教A版必修第一册P254复习参考题5T8]画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到： (1)y＝sin ； (2)y＝－2sin ； (3)y＝1－sin ； (4)y＝3sin ． [解]　作出四个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，如图所示： 　 　 (1)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝sin 3x的图象， 再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 3＝sin 的图象， 最后将所有点的纵坐标变为原来的得到函数 y＝sin 的图象． (2)先将y＝sin x图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象， 再将所有点的纵坐标变为原来的2倍得到函数 y＝2sin 的图象，最后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－2sin 的图象． (3)先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数y＝sin 2x的图象， 再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＝sin 的图象， 然后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－sin 的图象，最后将所得函数图象向上平移一个单位长度得到函数y＝1－sin 的图象． (4)y＝3sin ＝－3sin ， 先将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到函数y＝sin x的图象， 再向右平移个单位长度，得到函数y＝sin ＝sin 的图象， 再将所有点的纵坐标变为原来的3倍得到函数y＝3sin 的图象， 最后作出关于x轴对称的图象得到函数y＝－3sin 的图象． 链接核心知识：由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 1．[苏教版必修第一册P212练习T4改编]将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数表达式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin D　[将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度， 则所得图象的函数表达式是y＝sin 2＝sin ． 故选D．] 2．(2025·南通模拟)将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 B　[将函数f(x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度， 得到y＝sin ＝sin ＝cos 的图象， 则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω＞0， 所以ω的最小值为3． 故选B．] 易错提醒：在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ． 【教用·备选题】 (2025·秦皇岛昌黎县模拟)将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝sin x的图象，则φ的值为(　　) A． B． C． D．－ D　[∵将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度，可得y＝cos 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)＝cos ＝sin x的图象， ∴ω＝1且－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z． 解得ω＝2，当k＝0时，φ＝－． 故选D．] 基础考点2　图象与解析式 【母题2】　[人教A版必修第一册P241习题5.6T4]已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为 ． y＝2sin 　[由题意，得T＝2×＝π，则ω＝2．因为A＝2，所以y＝2sin (2x＋φ)，则2sin ＝2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z．又0<φ<π，所以φ＝，所以y＝2sin ．] 链接核心知识：由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)最值定A，B：A＝，B＝． (2)T定ω：由 T＝，可得ω＝． (3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 1．[北师大版必修第二册P67习题1－8A组T1改编]交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．－5安 D．5安 D　[因为电流的最大值为10，最小值为－10，所以A＝10． 由函数的周期T＝＝，解得ω＝100π， 将点代入函数表达式，可得sin ＝1， 所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)． 结合0<φ<，取k＝0得φ＝，函数表达式为I＝10sin ． 所以当t＝秒时，电流强度I＝10sin ＝10sin ＝5安．故选D．] 2．(多选)(2025·南阳模拟)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．φ＝－ B．ω＝2 C．f(x)＝2cos D．若将f(x)的图象向左平移个单位长度可以得到g(x)的图象，则g(x)为奇函数 ABC　[根据函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象， 可得f(0)＝－1，即2sin φ＝－1，即sin φ＝－， 所以φ＝－，故A正确； 再根据五点法作图，可得ω·＝0，求得ω＝2，故B正确； 故f(x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ＝2cos ，故C正确； 由题意可得g(x)＝f＝2sin ＝2cos 2x为偶函数，故D错误． 故选ABC．] 反思领悟：已知图象求解析式，A通过最值得出，由|ω|＝可求ω，φ有如下两种方法： 方法一：若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，即可求出φ． 方法二：将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ．若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 【教用·备选题】 1．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ． (－2，－]　[由f(x)的部分图象，可得A＝1． 由题图可知点在f(x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－， 由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f(x)＝sin ． 将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象， 再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象． 作出函数g(x)的部分图象如图所示， 根据函数g(x)的图象知： 当－2＜m－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点， 即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．] 2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝ ． －　[设A，B，由＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4． 因为f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)． 所以f(x)＝sin ＝sin (k∈Z)， 所以f＝sin 或f＝－sin ， 又因为f<0，所以f(x)＝sin ， 所以f＝sin ＝－．] 能力考点　三角函数的性质及应用 【典例】　(1)[人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编](多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则下列正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点对称 B．f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)在区间上单调递减 D．f(x)在区间上的值域为(1，3) (2)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 (1)BC　(2)BC　[(1)根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象， 可得B＝＝3，A＝＝2，故有f(x)＝2sin (ωx＋φ)＋3． 把点(0，2)代入，可得2sin φ＋3＝2， 即sin φ＝－，φ＝－， 故有f(x)＝2sin ＋3． 再根据五点法作图，可得ω×＝－， ∴ω＝2，f(x)＝2sin ＋3． 令x＝，求得f(x)＝4，故f(x)的图象不关于点对称，故A错误； 令x＝，求得f(x)＝5，为最大值，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确； 当x∈时，2x－∈，f(x)单调递减，故C正确； 当x∈时，2x－∈(－π，0)，sin ∈[－1，0)， ∴函数f(x)的值域为[1，3)，故D错误．故选BC． (2)A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，g(x)的零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 故选BC．] 反思领悟：研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解． 1．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B． C． D．3 A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3， 又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－k，k∈Z， 所以ω＝，f(x)＝sin ＋2， 所以f＝sin ＋2＝1． 故选A．] 2．(2025·深圳龙岗区二模)奇函数f(x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的单调递减区间可以是(　　) A． B． C． D． A　[f(x)＝2cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)为奇函数， 即 f(－x)＝2cos (－2x＋φ)＝－2cos (2x＋φ)＝－f(x)， ⇔cos (2x－φ)＝－cos (2x＋φ)⇔cos (2x－φ)＋cos (2x＋φ)＝2cos 2x cos φ＝0对所有x均成立，所以cos φ＝0，又0＜φ＜π，故φ＝．f(x)＝2cos ＝－2sin 2x． 令2kπ－2x＋2kπ(k∈Z)， 解得x∈，k∈Z， 当k＝0时，单调递减区间为． 故选A．] 【教用·备选题】 1．(多选)(2025·温江区模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则(　　) A．g为偶函数 B．g(x)的最小正周期是π C．g(x)的图象关于直线x＝对称 D．将g(x)图象向左平移个单位长度后在上单调递减 BCD　[由题图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sin φ＝－1，即sin φ＝－， 因为－π<φ<－，所以φ＝－， 因为x＝为f(x)的零点，则＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋， 由题图知，即 解得<ω<， 所以k＝1，ω＝，从而f(x)＝2sin ， 由题设，g(x)＝2sin ＝2sin ， 则g＝2sin ＝2sin 为非奇非偶函数，所以A错误； g(x)的最小正周期T＝＝π，所以B正确； 当x＝时，2x－＝，则g(x)的图象关于直线x＝对称，所以C正确； 将g(x)图象向左平移个单位长度后，得到h(x)＝2sin ＝2sin 2x， 当x∈时，2x∈⊆，所以h(x)在上单调递减，故D正确． 故选BCD．] 2．(多选)(2025·九江模拟)函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．φ＝－ B．f(x)的表达式可以写成f(x)＝cos C．f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D．若方程f(x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，则m∈ CD　[由函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象知，f(0)＝sin φ＝－1，所以sin φ＝－， 由－<φ<，得φ＝－，选项A错误； 又f＝sin ＝0，得ω－＝kπ，k∈Z， 解得ω＝8k＋2，k∈Z，又0＜ω2，所以ω＝2， 所以f(x)＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ，选项B错误； f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝f＝sin ＝sin ＝cos 2x，该函数是偶函数，选项C正确； 由f(x)＝1得sin ＝，当x∈(0，m)时，2x－∈，函数f(x)＝1在(0，m)上有且只有6个根，由正弦函数的图象知，4π＋<2m－6π＋，解得<m， 所以m的取值范围是，选项D正确． 故选CD．] 3．(2025·赣州模拟)已知f(x)＝2tan (ωx＋φ)，f(0)＝，最小正周期T∈，f(x)图象的一个对称中心为点，则f的值为 ． 　[由f(0)＝，可得2tan φ＝，tan φ＝， 又|φ|<，所以φ＝． 因为f(x)图象的一个对称中心为点， 故ω＋ ＝，k∈Z，得ω＝3k－1，k∈Z． 因为T∈， 所以<<π， 解得<ω<4， 所以ω＝2． 故f(x)的解析式为f(x)＝2tan ， 所以f＝2tan ＝－．] 1．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 C　[因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故选C．] 2．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　[由题意得＝＝，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin ＝sin ，f＝＝sin ＝，故选D．] 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $