第四章 5 第四节 第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质，整合五点法作图、正余弦正切函数性质对比等核心考点，按“概念梳理-性质探究-考点突破”逻辑架构，通过自主检测、师生共研、真题演练等环节，帮助学生系统掌握定义域、值域、单调性等高考高频考点。 讲义采用“一题多变”变式训练和教材真题对比策略，如在值域考点中引导学生设t=sinx-cosx，将问题转化为二次函数求最值，培养数学思维与转化能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第四节　三角函数的图象与性质 【课标研读】　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质(如单调性、奇偶性、最大(小)值、图象与x轴交点等). 1.用五点(画图)法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 学生用书⬇第98页 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ [微提醒]　正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调. 【常用结论】 (1)对称性与周期性 ①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. ②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. (2)奇偶性 ①若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). ②若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z). ③若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z). 【自主检测】 1.(多选题)下列命题是假命题的是(　　) A.余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴 B.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数 C.已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1 D.y＝sin ｜x｜是偶函数 答案：ABC 2.(链接北师必修二P65A组T4，改编)函数y＝2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由3x＋≠kπ＋，解得x≠＋，所以函数的定义域是.故选D. 3.(链接北师必修二P31例2，改编)函数y＝sin的单调递增区间为　　　　　　　. 答案：(k∈Z) 解析：令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin(k∈Z). 4.(双空题)(链接北师必修二P73A组T7，改编)函数y＝3－2cos的最大值为　　　　，此时x＝　　　　. 答案：5　π＋2kπ(k∈Z) 解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝π＋2kπ(k∈Z). 第1课时　三角函数的定义域、值域与单调性 考点一　三角函数的定义域自主练透 1.(2025·山东日照模拟)函数y＝(0≤x≤2π)的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意可得2sin x－1≥0，即sin x≥，又0≤x≤2π，故x∈，即定义域为.故选C. 2.函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为(　　) A.，k∈Z B.(kπ，kπ＋π)，k∈Z 学生用书⬇第99页 C.，k∈Z D.(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z 答案：C 解析：由题意知cos x＞0，所以2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为，k∈Z.故选C. 3.(2025·陕西宝鸡期末)函数f(x)＝－3tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由正切函数的定义域，令＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠2kπ＋，所以函数f(x)＝－3tan.故选D. 4.函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案： 解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为. 三角函数的定义域的求法 1.利用三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴. 2.较复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集. 考点二　三角函数的值域(最值)师生共研 (一题多变)(1)(2025·福建泉州期末)已知函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则函数在的最大值是(　　) A.0 B. C. D.1 (2)(2025·陕西渭南模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos x的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由函数f(x)＝sin，则T＝＝π，得ω＝2，即f(x)＝sin，当x∈时，2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝时函数f(x)取最大值为f＝1.故选D. (2)由f(x)＝sin2x＋cos x＝1－cos2x＋cos x＝－＋，因为cos x∈，所以当cos x＝时，f(x)取得最大值.故选B. [变式探究] 1.(变条件)函数f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为　　　　. 答案： 解析：设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.所以函数的值域为. 2.(变条件)函数f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]，则函数f(x)的值域为　　　　. 答案：[－1，1] 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝，且－1≤t≤.所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.所以函数的值域为[－1，1]. 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路 1.形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值). 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可换元，先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 对点练1.(1)若函数f(x)＝，则f(x)的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数f(x)＝4sin＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1，5]，则m的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)由已知f(x)＝＝＝tan，∈，由函数y＝tan x在区间上单调递增，知f(x)∈，所以f(x)的最大值为1.故选A. (2)因为x∈[0，m]，所以2x－∈.因为f(x)的值域为[－1，5]，所以≤2m－≤，解得≤m≤，所以m的最大值为.故选A. 考点三　三角函数的单调性多维探究 角度1　求三角函数的单调区间 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A. B. C. D. (2)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上单调递减的区间是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以函数f(x)在区间单调递增.故选A. (2)由题意得f(x)＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈，所以单调递减的区间为.故选D. 角度2　利用单调性比较大小 (2025·河南开封模拟)已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.b＞a＞c 答案：A 解析：由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，所以f(x)在上单调递减，所以f＞f＞f，即a＞b＞c.故选A. 学生用书⬇第100页 角度3　根据单调性求参数 (2025·广东广州模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题x∈时，ωx－∈，ω＞0，令t＝ωx－，因为函数f(x)＝sin上单调递减，所以函数y＝sin t在t∈，ω＞0上单调递减， 则由正弦函数图象性质得k∈Z，ω＞0，解得k∈Z，ω＞0，即4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，ω＞0，又由4k＋≤2k＋⇒k≤，故由k∈Z，ω＞0得≤ω≤.故选B. 1.利用单调性比较大小和求单调区间注意整体代换的应用；当ω＜0时，首先利用诱导公式转化为ω＞0. 2.已知单调区间求参数的两种方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解. (2)周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解. 对点练2.(1)函数y＝tan的单调区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)(2025·山东东营期末)下列不等式成立的是(　　) A.sin 1＞sin 2 B.sin 1＞1 C.sin 1＞tan 1 D.sin 1＞cos 1 (3)(2025·河南新乡期末)若函数f(x)＝cos在上单调递减，则满足条件的n的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：(1)D　(2)D　(3)C 解析：(1)因为y＝tan＝－tan，令kπ－＜3x－＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z，所以函数y＝tan(k∈Z).故选D. (2)对于A，由0＜1＜π－2＜知sin 1＜sin(π－2)＝sin 2，故A错误；对于B，显然有sin 1＜1，故B错误；对于C，由＜1＜有sin 1＜1＝tan＜tan 1，故C错误；对于D，由＜1＜有sin 1＞sin＝＝cos＞cos 1，故D正确.故选D. (3)若n＝1，则f＝cos＜1＝f，故f(x)不满足条件；若n＝2或n＝3，则对≤x≤有0≤2x－≤，或≤3x－≤＜π.所以nx－∈，根据复合函数单调性知f(x)在上单调递减，满足条件；若n＝4，则f＝－1＜－＝f，故f(x)不满足条件；若n≥5，则由－＝＞1可知，存在正整数k满足＜k＜.此时＜π＜，f＝cos＝cos kπ＝，从而f(x)在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.综上，满足条件的有n＝2和n＝3.故选C. [真题再现]　(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A.－ B.－ C.0 D. 答案：A 解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin(2x＋π)＝ －sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－.故选A. [教材呈现]　(北师必修二P33练习T2(2))函数y＝sin x，x∈，则y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 点评：本题与教材习题非常类似，都考查了正弦函数在给定区间上的值域(最值)，而高考试题需要对三角函数进行简单的变换，高考题是课本习题的延伸. 学科网（北京）股份有限公司 $