精品解析：安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高三下学期4月教学质量检测数学试题

2025-2026学年高三下学期4月教学质量检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可判断其共轭复数. 【详解】，， 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合与集合，根据集合交集概念计算即可. 【详解】由，，解得，， 所以. 故选：A 3. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入变换得到的解析式，结合范围求解. 【详解】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 4. 已知双曲线的焦距为，则C的一条渐近线方程不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对双曲线的焦点在x轴或在y轴上进行分类求解，最后根据渐近线方程确定选项即可. 【详解】当焦点在x轴上时，C的方程可化为， 依题意得，解得，故C的方程为， 其渐近线方程为y=； 当焦点在y轴上时，C的方程可化为， 依题意得，解得，故C的方程为， 其渐近线方程为， 对照各选项， 只有C不符合. 故选：C. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可得直线恒过的定点坐标，且定点在圆内，从而有当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值，进而根据两直线垂直的斜率关系列式即可求解． 【详解】解：直线恒过定点，且定点在圆内， 当圆心与点的连线与直线垂直时，弦长取得最小值， 圆心与点连线的斜率为， 此时直线的斜率为1，即，解得． 故选：D. 6. 某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出石子的落地时间，再计算水平位移的大小． 【详解】设石子的落地时间为，则，解得， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小． 故选：B 7. 若，若的图象关于直线对称，则（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象对称性的定义，得到对于任意的实数恒成立，结合函数的单调性，对称性，的值域分析，可得对于且使得和取值在(时)或 (时)之外的所有实数的值恒成立，进而得到有无穷多实数根，从而求得. 【详解】∵， ∴函数关于直线对称， 由的图象关于直线对称， 则， 即对于任意的实数恒成立， 由于在和上时(或和上时))分别单调递减和单调递增，且对称轴为直线， 又∵和取值范围都是实数集,且除了时相等，其余情况下不相等， ∴对于且使得和取值在(时)或 (时)之外的所有实数的值恒成立， ∴有无穷多实数根，故, 故选：C. 8. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二．多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. ，其中为外接圆的半径 D. 若为非直角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确； 对于B，若，则，则，即，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力． 10. 如图，五面体中，，，，，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）. A. B. 平面平面 C. 平面截该几何体所得截面面积的最小值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断即可；对于B，利用线面垂直证明面面垂直；对于C，分析出当，之间的距离最小时，梯形的面积最小，再计算面积的最小值；对于D，建立空间直角坐标系根据外接球性质计算半径后求表面积. 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形，则，正确. 对于B，因为，， 故四边形为等腰梯形. 如图，过点F作，垂足为O，连接， 又，，所以， 又，所以. 取的中点Q，连接， 因为，， 所以，，， 又， 所以四边形为矩形， 所以， 又，所以， 故，又，， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故正确. 对于C，如图，设截面与棱交于点M，连接，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面， 所以， 又，所以， 所以截面是梯形.因为四边形为平行四边形， 所以.又， 所以当，之间的距离最小时，梯形的面积最小. 显然，，之间的最小距离等于直线到平面的距离， 也就是点O到平面的距离. 过点O作，垂足为H， 由B知，，又， 所以平面，则平面， 所以，又，， 所以平面.所以点O到平面的距离等于， 在中，. 所以截面面积的最小值为，故错误. 对于D，由B可知，故由正弦定理可得， 外接圆的半径. 因为， 所以外接圆的圆心在上，且. 如上图，以点O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，. 易知三棱锥外接球的球心T在过点且与底面垂直的直线上， 故可设T的坐标为， 因为A，F均在球T的球面上， 所以， 得， 所以三棱锥外接球的半径， 故三棱锥外接球的表面积为，故正确. 11. 已知抛物线的焦点为，过F的直线与T交于A，B两点，点，直线，分别交T于C，D两点，则下列说法正确的是（ ）. A. B. （O为坐标原点）是钝角三角形 C. 直线过定点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得抛物线，设直线为，联立方程并应用韦达定理得，，应用抛物线的定义判断A，由向量数量积的坐标表示确定夹角余弦值的符号判断B，设，，直线为，并联立抛物线，应用韦达定理，进而确定定点的存在性判断C，根据上述分析及三角形的面积表示判断D. 【详解】因为，所以T的方程为， 如图，由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立，消去x得， 设，，则，， A，由抛物线的定义可得，， 所以，， 易知，，显然，错误； B，因为点，在抛物线上， 所以，，故， 故， 又A，B，O三点不共线，所以为钝角，即为钝角， 所以为钝角三角形，正确； C，设，，直线的方程为， 由，消去x得， 所以，故，同理可得， 所以. 当直线的斜率存在时，， 所以直线的方程为， 化简得，即， 令，得，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，易知， 所以，此时直线的方程为. 综上，直线过定点，正确； D，， ， 所以，正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 13. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】易得数列逐项递减，可先确定集合中的3项再列式求的范围即可 【详解】易得数列逐项递减，逐项递增，故可考虑，， 此时只需即可，即，解得， 故符合题意的的一个取值为（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 14. 在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 【答案】 【解析】 【详解】的所有可能取值为， 从边长为1的正方体的8个顶点中，任取两点可得条线段， 其中长度为1的线段有12条，长度为的有12条，长度为的有4条， 因此， 所以的期望. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. （1）求白球和黑球各有多少个； （2）求第二次取出白球的概率； （3）已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 【答案】（1）袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件的概率求解即可 （2）根据古典概型的概率公式求解即可； （3）利用条件概率公式求解即可 【小问1详解】 设黑球的个数为， 由已知可得，可得， 因为且，因此，， 所以，袋子中白球的个数为6，黑球的个数为4. 【小问2详解】 记事件A：第二次取出白球， 则 【小问3详解】 事件：第一次取出黑球， 则. 16. 已知数列中，． （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前项积为，求数列的前项和． 【答案】（1）证明： 因为， 所以， 等式两边同除以， 得，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）将已知条件变形为，结合等差数列的定义即可得证明； （2）由（1）求得，进而求得，利用错位相减求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知 得， 则， 则， 所以 两式相减得 所以． 17. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上． （1）求曲线的方程； （2）过的直线与曲线相切，求切线方程； （3）若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围． 【答案】（1）; （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）设，由，求解即可； （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，根据，解出的值即可； （3）设，分为钝角和为钝角两种情况，结合向量的数量积，求出的范围，即可得答案. 【小问1详解】 设， 根据题意可得， 所以, 整理可得， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 设过点的直线方程为， 联立，得， 若直线与曲线相切， 则， 解得， 所以直线方程为． 【小问3详解】 因为点在曲线上， 所以设， 若为钝角三角形，则为钝角或为钝角， 当钝角时， ， 所以，又因为， 所以，所以； 此时点横坐标的取值范围； 当为钝角时， ， 解得，， 又因为，所以， 所以又因为， 此时点横坐标的取值范围； 综上，点横坐标的取值范围为. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，令求函数在区间上的最大值； （3）记为的从小到大的第个极值点，若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】(1)先求导得切线斜率，结合切点坐标，用点斜式得到曲线在该点的切线方程. (2)对求导，结合的范围判断单调性，确定最大值. (3)先求极值点，然后将不等式转化为函数最值问题，通过导数求函数最大值，再求得的范围. 【详解】（1）当时，，， 又，， ∴曲线在点处的切线方程为. （2）由已知， 则， 设， 其中. 当时，，在区间上单调递减， ∴对任意有，即， 在区间上单调递减， 因此函数在区间上的最大值为. （3）， 令，由得，即， 而对于， 若，， 即，，则； 若，， 即，，则； 因此，在区间与上， 的符号总相反， 于是当时，取得极值， ∴， 此时，． 对一切恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，则，令得，. 当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 且当时，， ∴， 因此，恒成立，当且仅当，解得， 故实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月教学质量检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知双曲线的焦距为，则C的一条渐近线方程不可能为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（ ） A. B. C. D. 6. 某人在高为米的楼上水平抛出一石块，速度为，则石块落地点与抛出点的水平位移的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 若，若的图象关于直线对称，则（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 8. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. ，其中为外接圆的半径 D. 若为非直角三角形，则 10. 如图，五面体中，，，，，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）. A. B. 平面平面 C. 平面截该几何体所得截面面积的最小值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 11. 已知抛物线的焦点为，过F的直线与T交于A，B两点，点，直线，分别交T于C，D两点，则下列说法正确的是（ ）. A. B. （O为坐标原点）是钝角三角形 C. 直线过定点 D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 13. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________. 14. 在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 袋中有除颜色外完全相同的白球和黑球共10个，现从袋中不放回地连取两个，至少有一个白球的概率为. （1）求白球和黑球各有多少个； （2）求第二次取出白球的概率； （3）已知第二次取出白球，求第一次取出黑球的概率. 16. 已知数列中，． （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前项积为，求数列的前项和． 17. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上． （1）求曲线的方程； （2）过的直线与曲线相切，求切线方程； （3）若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，令求函数在区间上的最大值； （3）记为的从小到大的第个极值点，若对一切，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $