精品解析：安徽省临泉第二中学2025-2026学年高三下学期3月模拟数学试题

2026届高三数学模拟卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，故， 由得或，故或， 从而或. 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 3. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求. 【详解】 因为， 即，在中，作边上高，垂足为， 则， 故选:A. 4. 在中，点在平面内，且满足，命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线定理及线性运算分析判断即可. 【详解】若，由向量的线性运算法则， 可得， 因为，所以，，所以， 所以是的充分条件； 若，得，代，得， 所以，得， 当时，，此时不成立， 所以不是的必要条件. 故选：. 5. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 6. 椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、，结合椭圆定义及离心率可用表示、，结合勾股定理计算即可得解. 【详解】设、，则有，， 则，即， 则，即， 即，， 则，由， 则有， 整理得，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助椭圆定义及离心率，用表示、，再借助表示出，结合勾股定理计算即可得解. 7. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可． 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，记， 则，即 当偶数时，， 当为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为． 故选：D． 8. 如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定球的球心的位置，列出球的表面积的表达式，根据参数的取值范围即可求得结果. 【详解】因为，所以是直角三角形，其外接圆的圆心为的中点， 所以球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上. 又，所以为四边形内以为直径，以的中点为圆心，2为半径的半圆上一点， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 因为球的半径，即， 化简得， 因为，所以，，即， 所以， 而球的表面积为，， 所以，即球的表面积的取值范围为. 故选：D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. 与垂直 C. 与的夹角为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用模长公式计算判断A，应用数量积公式计算判断B，应用数量积公式计算夹角余弦判断C，结合数量积及模长公式计算判断D. 【详解】由，得，所以A选项错误； 因为是单位向量，所以，得，所以B选项正确； 由，所以，所以D选项错误； 设与的夹角为，则，， 所以与的夹角为，所以C选项正确. 10. 已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是（ ） A. 存在平面α，β，使，，且， B. 存在平面α，β，使，，且， C. 存在平面γ，使，，且 D. 存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过平移直线，根据线面垂直的判定即可判定AC;通过平移直线，根据线面平行的判定即可判断C；根据空间中的对称性即可判断D 【详解】对于A,平移直线到与直线相交，设平移后的直线为，因为，所以， 设直线确定的平面为α，则，，直线和相交，所以， 同理可得：，故A对； 对于B,平移直线到与直线相交，设平移后的直线为，设直线确定的平面为α， 因为//，且，所以，同理可得：，故B对； 对于C,同时平移直线和直线，令平移后的直线相交，设平移后的直线为，因为，，所以，，设直线确定的平面为γ，则，，且，故C对； 对于D，由对称性可知，存在两个平面γ，使，且a，b与γ所成角相等，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 13. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求单调区间和极值，作出函数图像，由零点个数，结合二次函数的性质，转化为的取值范围问题，通过构造函数，列不等式求解. 【详解】当且时，，， 当且时，；当时，． 故，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.通过构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． （1）求． （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可； （2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得. 【小问1详解】 由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． 所以. 【小问2详解】 取的中点为，连接，，， 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）. 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 16. 已知的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知，. （1）求； （2）若角 的平分线交 于点， 在下列两个问题中选择一个作答: ①若， 求的周长； ②若的面积为面积的两倍， 求的长. 【答案】（1） （2）①18；② 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合辅助角公式及特殊角计算求解； （2）①应用角平分线结合面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；②结合面积公式及角平分线计算得出，，再根据余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为， 且， 所以， 由正弦定理得 因为， 所以， 即. 因为 ，所以，， 所以. 【小问2详解】 若选择问题①若， 求的周长， 因为角A 的平分线交 于点D， 所以， 由 得 因为， 所以， 即. 由（1） 可知， 结合余弦定理可得， 即， 所以， 即 ， 又因为， 所以， 所以， 所以 的周长为18 . 若选择问题 ②若 的面积为 面积的两倍， 求的长 因为角A 的平分线交 于点D，所以， 所以，， 由 （1）可知， ， 结合余弦定理可得 ， 从而 ， 又， 即， 结合 可得 ，， 设， 由， 所以， 即得 ， ，所以， 解得. 17. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望为 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 18. 设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心，求点到直线的距离的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合余弦定是，建立方程组，解出，即可求解； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存时，设，，结合条件，可直接求出，即可求出到直线；当斜率存在时，设，联立椭圆方程，得到，利用韦达定理，结合条件，得到，代入椭圆方程得，再利用点到直线距离公式得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得 整理得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （i）当直线斜率不存在时，设，则 因为原点是的重心，所以，得到，， 将，代入，解得，或， 此时到直线的距离为. （ii）当斜率存在时，设所在直线方程为， 由，消得， 则，即， 且， 因为原点是的重心，所以， 得到，故， 又点在椭圆上，则，整理可得， 所以点到直线的距离为. 综上所述，得点到直线的距离的最大值为. 【点睛】关键点占晴，本题的关键在于第（2）问，当直线斜率不存在时，设直线所在直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理及重心的性质，得到，从而得到间的关系，再利用点到直线的距离公式求解. 19. 已知函数，（e是自然对数的底数）. （1）若存在，成立，求实数a的取值范围； （2）若对任意的，存在，有，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用已知化简转化为存在，成立，即可得出参数范围； （2）先求出导函数，应用单调性得出，再分和及得出最值计算求解. 小问1详解】 因为存在，，则， 所以原题意等价于存在，成立， 又因为，，则， 所以，故实数a的取值范围为. 【小问2详解】 因为对任意的，存在，有，所以小于或等于在时的最大值. 因为，所以， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在，上单调递减， 故. 因为的图象开口向下，对称轴为直线，则有： ①当，即时，在上单调递减，则，所以，则，故； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，故符合题意； ③当，即时，在上单调递增，则，所以，故符合题意. 综上所述，，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学模拟卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 3. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ） A B. C. D. 4. 在中，点在平面内，且满足，命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 6. 椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. 与垂直 C. 与的夹角为 D. 10. 已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确是（ ） A. 存在平面α，β，使，，且， B. 存在平面α，β，使，，且， C. 存在平面γ，使，，且 D. 存在唯一的平面γ，使，且a，b与γ所成角相等 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 13. 已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数若函数有4个零点．则实数取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． （1）求． （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知，. （1）求； （2）若角 的平分线交 于点， 在下列两个问题中选择一个作答: ①若， 求的周长； ②若面积为面积的两倍， 求的长. 17. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 18. 设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心，求点到直线的距离的最大值. 19. 已知函数，（e是自然对数的底数）. （1）若存在，成立，求实数a的取值范围； （2）若对任意的，存在，有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $