精品解析：湖北襄阳市第四十八中学2025--2026学年八年级下学期第1次阶段数学

2026年八年级下学期襄阳市第四十八中学第1次月考数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则表示实数的点会落在数轴的（   ） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 的三边，，满足，则的形状是  （    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是______． 12. 在中，若，，，则点到直线的距离为__________． 13. 实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简______． 14. 如图，，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；又过作且，得⋯⋯依此继续，得________． 15. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距（即），学校也在小明家正北方向的处（即，），公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．求公园，学校和小明家三地组成的的大小． 20. 先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 （1）____的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中． 21. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长： （2）若，则_______，________． 22. 如图1，中，，点为斜边上动点． （1）边 ； （2）如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求； （3）如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ． 23. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 24. 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图①，将军从山脚下的点出发，到达河岸某点处饮马后再回到军营，请问怎样走才能使总路程最短? 【分析问题】如图②，取点关于河岸线的对称点，连接交河岸于点，点即为饮马的地方，连接，，此时所走的总路程就是最短的． （1）【解决问题】当，，三点共线时总路程最短的依据是________； （2）【迁移应用】如图③，，两个村庄在河岸的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且测得千米，现要在河岸上建一水厂，从处分别向村庄，铺设管道以输送自来水，需确定点位置使得铺设所需的管道长度之和最小． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为20000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． （3）和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们可以构造两个直角三角形，利用“数形结合”思想求得代数式的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年八年级下学期襄阳市第四十八中学第1次月考数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2. 下列各式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加法，乘法，二次根式的性质．根据二次根式加法，乘法，二次根式的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法计算，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 4. 在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 5. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 6. 如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 7. 若，则表示实数的点会落在数轴的（   ） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 即， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理解得，再根据勾股定理解，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：依题意知，，， 在中，， ∵，， 在中，， 故选：B． 9. 的三边，，满足，则的形状是  （    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方、二次根式、绝对值的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和等边三角形的定义，从而完成求解． 根据非负数的性质可求出，，的值，即可确定三角形的形状． 【详解】解：三角形的三边，，满足 ， ，，． 解得：，，． 该三角形是等边三角形； 故选：B． 10. 如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当时，二次根式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】把x=3代入二次根式，可得. 【详解】把x=3代入二次根式，可得. 故答案为2 12. 在中，若，，，则点到直线的距离为__________． 【答案】2.4## 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后作于点D，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长． 【详解】解：作于点D，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答． 13. 实数a、b在数轴上的位置如图所示． 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键．由数轴可得，，根据进行化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；又过作且，得⋯⋯依此继续，得________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，找出规律，进而求出的长． 【详解】解：由题意得，，， 由勾股定理得， 以此类推，， ． 15. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先将分子分母分解因式，再将除法化为乘法约分化简，最后将、的值代入，利用平方差公式和二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、完全平方公式、二次根式的加法运算、二次根式的乘法运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先求出，再根据分式的加法运算可得，然后将代入计算即可； （2）利用完全平方公式可得，然后将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距（即），学校也在小明家正北方向的处（即，），公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．求公园，学校和小明家三地组成的的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．由题意可得：，在中根据勾股定理可求出，再根据勾股定理的逆定理可得：是直角三角形，且，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，． 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， 即公园、学校和小明家三地组成的∠DAB的大小为． 20. 先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 （1）____的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． 【小问2详解】 解：， ， ∴ ． 原式． 21. 如图，四边形，，，，连接，且． （1）求的长： （2）若，则_______，________． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出； （2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22. 如图1，中，，点为斜边上动点． （1）边 ； （2）如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求； （3）如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ． 【答案】（1）20 （2） （3）的值为15或12.5或18． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，解得，即可作答． （2）先证明，推出，，设，则，，在中，根据勾股定理即可解决问题； （3）分三种情形分别求解，即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：依题意，∵为等腰三角形， ∴①当时，为等腰三角形 ∵， ∴． ②当时，为等腰三角形 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ③当时，为等腰三角形， 如图1中，作于点H， 则， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为15或12.5或18． 23. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 【答案】（1）；>； （2），证明： 由题意得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）尚不足． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给算式直接计算进而可以判断得解； （2）把与分别求平方，然后作差比较即可； （3）先求出篱笆总长为米，设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，结合（2）的结论即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ （2）略 （3）由题意，∵原正方形的面积为10平方米， ∴边长为米，篱笆总长为米． 设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米， ∴小正方形的边长为米和米． ∵， ∴根据（2）的结论可得，． ∴． ∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 24. 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图①，将军从山脚下的点出发，到达河岸某点处饮马后再回到军营，请问怎样走才能使总路程最短? 【分析问题】如图②，取点关于河岸线的对称点，连接交河岸于点，点即为饮马的地方，连接，，此时所走的总路程就是最短的． （1）【解决问题】当，，三点共线时总路程最短的依据是________； （2）【迁移应用】如图③，，两个村庄在河岸的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且测得千米，现要在河岸上建一水厂，从处分别向村庄，铺设管道以输送自来水，需确定点位置使得铺设所需的管道长度之和最小． ①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程； ②若铺设水管的工程费用为20000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用． （3）和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们可以构造两个直角三角形，利用“数形结合”思想求得代数式的最小值为________． 【答案】（1）两点之间，线段最短 （2）① ②元 （3） 【解析】 【分析】（）当，，三点共线时总路程最短的依据是：两点之间，线段最短； （）根据最短路径，定点在定直线的同侧，作一个点的对称点，再连接对称点和另外一点，即可；根据最短路径求出线段长度，在计算费用即可． （）作线段，在线段上取一点，设，则，过 作 ，且，则，过 作，且 ，则，构造，根据 “两点之间，线段最短”，当三点共线时， 最小，最小值为 的长度，根据勾股定理计算的长度即可． 【小问1详解】 解：当，，三点共线时总路程最短的依据是：两点之间，线段最短； 【小问2详解】 解：①先作点A关于河岸的对称点，再连接，与河岸的交点即为水厂P的位置； ②过作，交的延长线于， ∵，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是关于河岸的对称点， ∴ ∴千米， ∴总费用为元； 【小问3详解】 解：如图， 作线段，在线段上取一点，设，则， 过 作于点A，且，连接，则， 过 作于点B，且 ，连接，则， ∴， 根据 “两点之间，线段最短”，当三点共线时， 最小，最小值为 的长度， 如图所示，延长，过作交于 ， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了最短路径的问题，核心是利用数形结合思想，将代数表达式转化为几何线段长度，再借助 “两点之间，线段最短” 的基本公理求解最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $