第四章因式分解 单元练习 2025～2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下第四章因式分解单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖因式分解概念、方法及综合应用，适配单元复习，凸显抽象能力、运算能力与推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|因式分解概念、平方差公式、几何应用|结合密码编译（第4题）、三角形性质（第6题）考查应用| |填空题|5小题|公式法分解、几何背景（第12题）、错解分析（第13题）|通过拼图验证因式分解（第12题）体现直观想象| |解答题|8小题|提公因式与公式法综合、简便计算、阅读理解推理|配方法求最值（第22题）、规律探究（第19题）培养推理意识|

2025-2026北师大版数学八年级下第四章因式分解 一．选择题（共10小题） 1．对于①x2﹣5xy＝x（x﹣5y），②（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 2．下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y） C．（m2﹣mn）（m2+mn） D．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1） 3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）﹣（x﹣2） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 4．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 5．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 6．已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．有4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，涂上阴影设计为中心对称图形，设图中大正方形面积为S1，阴影部分的面积为S2，若，则a、b满足（　　） A．a＝2b B．a＝3b C．2a＝3b D．2a＝5b 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．2700 B．2701 C．2601 D．2600 9．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 10．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．无法确定 二．填空题（共5小题） 11．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝　 　 ． 12．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 　 　 ． 13．甲、乙两人在对x2+ax+b进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为（x+4）2；乙看错了b，得到的结果为（x+1）（x+9），则x2+ax+b因式分解的正确结果为 　 　 ． 14．若a＝2b+1，则a2﹣4ab+4b2+2025的值为 　 　 ． 15．研究发现，我们从某个正整数开始，取四个连续的整数，然后将这四个整数的乘积加上1，结果可以表示为一个自然数的平方．例如将1×2×3×4+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　 ；设a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝　 　 （用含a的代数式表示）． 三．解答题（共8小题） 16．分解因式： （1）﹣（x+2）2+16（x﹣1）2； （2）a4﹣18a2b2+81b4； （3）x2﹣y2+ax+ay． 17．用简便方法计算： （1）1012； （2）102×98； （3）20162﹣4034×2016+20172． 18．阅读下面分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共用了 　 　 次； （2）计算1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025的结果是 　 　 ； （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝ 　 　 （n为正整数）． 19．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， … （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　 　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 20．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M、P； （2）将整式P因式分解； （3）P的最小值为 　 　 ． 21．（1）计算：（a+b）（a﹣b）＝　 　 ； （a﹣1）（a+1）（a2+1）＝　 　 ； （2）利用平方差公式进行计算：98×102； （3）计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1＝　 　 ； 并直接写出上面结果的个位数字是 　 　 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算：20242﹣20232+20222﹣20212+•••+22﹣12； ②计算：． 22．阅读材料：形如a2±2ab+b2 的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式a2+6a+8的最小值， 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1． （1）若代数式x2﹣8x+k是完全平方式，则常数k的值为 　 　 ； （2）用配方法求代数式4x2+4x+3的最小值； （3）若实数a，b满足a2﹣7a﹣b+13＝0，求a+b的最小值． 23．已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 2025-2026北师大版数学八年级下第四章因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．对于①x2﹣5xy＝x（x﹣5y），②（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可． 【解答】解：①x2﹣5xy＝x（x﹣5y），从左到右的变形是因式分解； （x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2．下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y） C．（m2﹣mn）（m2+mn） D．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1） 【分析】平方差公式适用于形式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的乘法运算，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．检查各选项是否符合此条件． 【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）＝﹣（x+y）2，不符合平方差形式，故A不符合题意； B、（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2，符合平方差公式，故B符合题意； C、（m2﹣mn）（m2+mn）＝（m2）2﹣（mn）2，符合平方差公式，故C不符合题意； D、令 c＝a﹣b，则 （a﹣b+1）（a﹣b﹣1）＝（c+1）（c﹣1）＝c2﹣12，符合平方差公式，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）﹣（x﹣2） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 【分析】根据提公因式法与公式法进行因式分解，分别判断即可． 【解答】解：x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）， 故A不符合题意； x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）， 故B不符合题意； x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， 故C不符合题意； x2+2x+1＝（x+1）2， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：数，爱，我，化，物，学．现将2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱化 B．爱物化 C．我爱数学 D．物化数学 【分析】首先应用提取公因式法，把2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）因式分解，然后根据x﹣1，a﹣b，2，x2+1，a，x+1分别对应数，爱，我，化，物，学，判断出结果呈现的密码信息即可． 【解答】解：2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1） ＝（2a﹣2b）（x2﹣1） ＝2（a﹣b）（x﹣1）（x+1）． ∵2，a﹣b，x﹣1，x+1，分别对应我，爱，数，学， ∴结果呈现的密码信息可能是我爱数学． 故选：C． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是要明确因式分解的方法，注意平方差公式的应用． 5．如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　） A．24 B．70 C．40 D．140 【分析】根据长方形的周长、面积公式得出2（a+b）＝14，ab＝10，再利用提公因式法将a2b+ab2分解因式，即可代入求值． 【解答】解：由题意得，2（a+b）＝14，ab＝10， ∴a+b＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，列代数式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 6．已知a、b、c为△ABC三边，满足a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【分析】首先根据题意可得：∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0．，进而得到a2+b2＝c2，a＝b，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 【解答】解：∵a3+ab2﹣a2b﹣b3＝c2（a﹣b）． ∴（a﹣b）（a2+b2）﹣c2（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0． ∴．a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b或a2+b2＝c2， ∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．有4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，涂上阴影设计为中心对称图形，设图中大正方形面积为S1，阴影部分的面积为S2，若，则a、b满足（　　） A．a＝2b B．a＝3b C．2a＝3b D．2a＝5b 【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝（a+b）2，S2＝b（a+b）+ab+b2＝2ab+2b2，再根据，得（a+b）2＝2ab+2b2，整理可得答案． 【解答】解：S1＝（a+b）2， S2＝b（a+b）+ab+（a﹣b）2＝2b2+a2， ∵， ∴（a+b）2＝2b2+a2， 整理，得2（a+b）2＝6ab+3b2， ∴a＝2b． 故选：A． 【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，中心对称图形以及完全平方公式，关键是能根据图形准确列式，并运用完全平方公式进行运算． 8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．2700 B．2701 C．2601 D．2600 【分析】不超过200的正整数中的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案． 【解答】解：∵512﹣492＝（51+49）（51﹣49）＝200， ∴在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为： （﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣492+512） ＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣492+512 ＝512﹣12 ＝（51+1）（51﹣1） ＝52×50 ＝2600， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键． 9．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 【分析】根据所给等式结合完全平方的非负性可求出a，b，c的值，再利用勾股定理逆定理可得出∠C＝90°，最后利用面积法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c， 所以a2+b2+c2+200﹣12a﹣16b﹣20c＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， 所以a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， 则a＝6，b＝8，c＝10． 因为62+82＝102， 即a2+b2＝c2， 所以∠C＝90°， 所以△ABC斜边上的高为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能根据题意得出∠C＝90°及巧用面积法是解题的关键． 10．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．无法确定 【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算． 【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a， ∴m2﹣n2＝3n﹣3m， ∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0， ∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0， ∵m≠n， ∴（m+n）+3＝0， ∴m+n＝﹣3， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值． 二．填空题（共5小题） 11．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝　﹣1　 ． 【分析】由于a+b＝1，将a2﹣b2+2b﹣2变形为含有a+b的形式，整体代入计算即可求解． 【解答】解：∵a+b＝1， ∴a2﹣b2+2b﹣2 ＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2 ＝a﹣b+2b﹣2 ＝a+b﹣2 ＝1﹣2 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】考查了平方差公式，注意整体思想的应用． 12．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 　（a+b）（a+2b）　 ． 【分析】图形中大长方形的面积有两种求法，三个正方形的面积加上三个长方形的面积之和得到；也可以由长为 a+2b，宽为a+b的长方形面积得到，两者相等即可得到多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果． 【解答】解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2， 也可以为（a+b）（a+2b）， 则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b）， 故答案为：（a+b）（a+2b）． 【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键． 13．甲、乙两人在对x2+ax+b进行因式分解时，甲看错了a，得到的结果为（x+4）2；乙看错了b，得到的结果为（x+1）（x+9），则x2+ax+b因式分解的正确结果为 　（x+2）（x+8）　 ． 【分析】分别将（x+4）2与（x+1）（x+9）进行计算后求得a，b的值，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：∵（x+4）2＝x2+8x+16， ∴b＝16， ∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9， ∴a＝10， 则x2+10x+16 ＝x2+（2+8）x+2×8 ＝（x+2）（x+8）， 故答案为：（x+2）（x+8）． 【点评】本题考查因式分解与整式乘法的关系及利用十字相乘法因式分解，将题干中多项式展开求得a，b的值是解题的关键． 14．若a＝2b+1，则a2﹣4ab+4b2+2025的值为 　2026　 ． 【分析】根据完全平方公式对原式进行因式分解，再代入a的关系式计算即可． 【解答】解：a2﹣4ab+4b2+2025 ＝（a﹣2b）2+2025 ＝（2b+1﹣2b）2+2025 ＝12+2025 ＝2026， 故答案为：2026． 【点评】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． 15．研究发现，我们从某个正整数开始，取四个连续的整数，然后将这四个整数的乘积加上1，结果可以表示为一个自然数的平方．例如将1×2×3×4+1表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　5　 ；设a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1＝A2，其中a为正整数，那么这个自然数A＝a2+3a+1　 （用含a的代数式表示）． 【分析】根据题意，列出式子，然后对式子进行分解因式，最后根据分解因式的结果即可得到答案． 【解答】解：1×2×3×4+1＝25＝52， 故答案为：5； a×（a+1）×（a+2）×（a+3）+1 ＝a×（a+3）×（a+1）×（a+2）+1 ＝（a2+3a）（a2+3a+2）+1 ＝（a2+3a）2+2（a2+3a）+1 ＝（a2+3a+1）2， 故答案为：a2+3a+1． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 三．解答题（共8小题） 16．分解因式： （1）﹣（x+2）2+16（x﹣1）2； （2）a4﹣18a2b2+81b4； （3）x2﹣y2+ax+ay． 【分析】（1）先根据平方差公式分解因式，再化简即可； （2）先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可； （3）先分组，再分解因式，最后提取公因式即可． 【解答】解：（1）﹣（x+2）2+16（x﹣1）2 ＝[4（x﹣1）]2﹣（x+2）2 ＝[4（x﹣1）+（x+2）][4（x﹣1）﹣（x+2）] ＝（5x﹣2）（3x﹣6） ＝3（5x﹣2）（x﹣2）； （2）a4﹣18a2b2+81b4 ＝（a2﹣9b2）2 ＝（a+3b）（a﹣3b）]2 ＝（a+3b）2（a﹣3b）2； （3）x2﹣y2+ax+ay ＝（x2﹣y2）+（ax+ay） ＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y） ＝（x+y）（x﹣y+a）． 【点评】本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有提公因式法，公式法，分组分解法等． 17．用简便方法计算： （1）1012； （2）102×98； （3）20162﹣4034×2016+20172． 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）1012＝（100+1）2 ＝1002+200+12 ＝10201； （2）102×98 ＝（100+2）（100﹣2） ＝1002﹣22＝9996； （3）20162﹣4034×2016+20172 ＝20162﹣2×2017×2016+20172 ＝（2016﹣2017）2 ＝1． 【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2． 18．阅读下面分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　提取公因式法　 ，共用了 　2　 次； （2）计算1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025的结果是 　（1+x）2026 ； （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝ 　（1+x）n+1 （n为正整数）． 【分析】（1）利用提取公因式法解答即可； （2）利用题干中的方法进行因式分解即可； （3）利用（2）的方法解答即可． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提取公因式法，共用了2次． 故答案为：提取公因式法；2； （2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2024] ＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023] ＝......， ＝（1+x）2025（1+x） ＝（1+x）2026． 故答案为：（1+x）2026； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n﹣1] ＝......， ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1． 故答案为：（1+x）n+1． 【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法是解题的关键． 19．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， … （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　122﹣102＝44＝4×11　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）先设两个连续偶数为2n和2n+2，再由平方差公式（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），即可得出答案． 【解答】（1）根据题意，可得算式⑤：122﹣102＝44＝4×11， 故答案为：122﹣102＝44＝4×11； （2）设两个连续偶数为2n和2n+2， ∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝2（4n+2）＝4（2n+1）， ∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍． 【点评】本题考查了命题与定理，因式分解一平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键． 20．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M、P； （2）将整式P因式分解； （3）P的最小值为 　﹣16　 ． 【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）利用非负数的性质求出P的最小值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3） ＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x ＝5x﹣20； P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2 ＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4 ＝4x2﹣16； （2）P＝4x2﹣16 ＝4（x2﹣4） ＝4（x+2）（x﹣2）； （3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0， ∴当x＝0时，P的最小值为﹣16． 故答案为：﹣16． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键． 21．（1）计算：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ； （a﹣1）（a+1）（a2+1）＝a4﹣1　 ； （2）利用平方差公式进行计算：98×102； （3）计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1＝　22048 ； 并直接写出上面结果的个位数字是 　6　 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算：20242﹣20232+20222﹣20212+•••+22﹣12； ②计算：． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将98×102写成（100+2）（100﹣2），利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1，连续利用平方差公式得到结果为22048，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将原式写成（20242﹣20232）+（20222﹣20212）+•••+（22﹣12），再利用平方差公式得到（2024+2023）（2024﹣2023）+（2022+2021）（2022﹣2021）+…+（2+1）（2﹣1），进而得到2024+2023+2022+2021+…+4+3+2+1，再求和即可； ②利用平方差公式将原式化为（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）（1）（1），进而得到，再进行计算即可． 【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2； （a﹣1）（a+1）（a2+1） ＝（a2﹣1）（a2+1） ＝a4﹣1， 故答案为：a2﹣b2，a4﹣1； （2）原式＝（100﹣2）（100+2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1 ＝（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1 ＝（24﹣1）×（24+1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1 ＝（28﹣1）×（28+1）ו••×（21024+1）+1 ＝22048﹣1+1 ＝22048； ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……而2048÷4＝512， ∴22048的个位数字是6， 故答案为：22048，6； （4）①原式＝（20242﹣20232）+（20222﹣20212）+•••+（22﹣12） ＝（2024+2023）（2024﹣2023）+（2022+2021）（2022﹣2021）+…+（2+1）（2﹣1） ＝2024+2023+2022+2021+…+4+3+2+1 ＝2049300； ②原式 ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1）（1）（1） ． 【点评】本题考查平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是正确解答的关键． 22．阅读材料：形如a2±2ab+b2 的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式a2+6a+8的最小值， 解：原式＝a2+6a+9﹣1 ＝（a+3）2﹣1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1． （1）若代数式x2﹣8x+k是完全平方式，则常数k的值为 　16　 ； （2）用配方法求代数式4x2+4x+3的最小值； （3）若实数a，b满足a2﹣7a﹣b+13＝0，求a+b的最小值． 【分析】（1）根据完全平方式得出k＝42，求出即可； （2）先将原式变形，再利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得答案； （3）先将已知等式变形，得出 b＝a2﹣7a+13，再将a+b变形为a+a2﹣7a+13，利用配方法即可得答案． 【解答】解：（1）∵x2﹣8x+k是完全平方式， ∴k＝42＝16， 故答案为：16； （2）4x2+4x+3＝4x2+4x+1+2＝（2x+1）2+2， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+2≥2， ∴4x2+4x+3的最小值是2； （3）∵a2﹣7a﹣b+13＝0， ∴b＝a2﹣7a+13， ∴a+b＝a+a2﹣7a+13＝a2﹣6a+13＝（a﹣3）2+4， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+4≥4， ∴．a+b的最小值为4． 【点评】本题考查了因式分解，完全平方式、偶次方的非负性及配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 23．已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 【分析】（1）根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． 【点评】本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/7 11:03:06；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 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