21.3.3 《正方形》同步练习 - 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3《正方形》同步练习 一、单选题 1.下列命题中，假命题是() A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直D.平行四边形的对角线相等 2.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H, 则四边形EFGH的周长为() A.4+2V5 B.6+2V5 C.4+4V5 D.6+4V5 3.如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E,F分别为A0,D0上的一点， 且EF∥AD,连接AF,DE.若LFAC=15°，则∠AED的度数为() D A.80° B.90 C.105° D.115° 4.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AF,DE相交于点M,G为BC上 一点，N为EG的中点.若BG=3,CG=1,则线段MN的长度为() M A.5 B.7 C.2 D.3 2 2 5.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若 PM=PC,则AM的长为() A.35- B.333-2 C.65- D.635-2 6.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE,BE=BA, 连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为() F B A.2 B.3 C.1 D.2 二、填空题(6题) 7.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件 可以是 8.如图，在正方形ABCD中，分别以点A,B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E, 连接DE,则LCDE= D B 9.如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰R1△ABE,点P是对角线AC上的 一个动点，连接PB,PE,则PB+PE的最小值是 O 10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在X轴上，点B的坐标为(1,0).点E 在边CD上，将ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(O,3).则点E的坐标为 D F A OB衣 11.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC=30°， 则△ABF的面积为 E B 12.如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点.若LMAN=45°，则MN的 最小值为 三、解答题 13.如图，已知正方形ABCD的边长为1，P,E分别是AC,AD上的点，且∠EPB=90°， PM⊥AD,PN⊥AB. (1)求证：四边形PMAN是正方形； (2)若点P在线段AC上移动，其他条件不变，设PC=x,AE=y,求y关于x的表达式，并 写出自变量x的取值范围. M D N B 14.如图，已知正方形ABCD,点E在对角线AC上，连接DE,作EF⊥DE,EF交BC边于点F, 以DE,EF为边作矩形DEFG. (1)判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由. (2)若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数， D E 15.【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角 线BD上. 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE0△CBE的证明过程. (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数， 16.如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE,将△EDC沿DE所在直线折叠，点C 落在点F处，连接EF并延长交AB于点G,连接DG. (1)求证：△ADG≌aFDG; (2)若AB=2V5,求AG的长， D 17.如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF, (2)若四边形AECF的周长为4V34,求EF的长. B D 18.宽与长的比是5-1（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片4BCD,长 2 AD=5+1.如图1，折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接EF,然后 将纸片展开. (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折痕 为FP,过点P作P9⊥EF于点Q.四边形BFOP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是， 请说明理由， E D AG E D F 图1 图2 参考答案 一、单选题 1.D 解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D 2.C 解：如图，连接AC、BD,相交于点O, :点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， :.EF=1AC,GH=TAC, 2 .EF=GH,同理EH=FG, :四边形EFGH是平行四边形， :四边形ABCD是菱形，AB=4,∠A=120°， :对角线AC、BD互相垂直， AD∥BC, .∠A+LABC=180°， .∠ABC=60°，AB=BC=4, :△ABC是等边三角形， AC=4, 在RaA0B中，AB=4,01=)AC=2, 0B=V42-22=2V5, :BD=4V5, EF=号AC=2,EH=BD=25, :四边形EFGH的周长为(2+2V3)×2=4+4V5, 故选：C. 3.C 解：，四边形ABCD是正方形 ∴.∠0AD=∠0DA=45°，A0=D0 ,EF∥AD ∴.∠0EF=∠0AD=45°，∠0FE=∠0DA=45° ∴.LOEF=LOFE .'.OE=OF 又.∠A0F=LD0E=90°，A0=D0 .∴.△AOF≌△DOE SAS .∴.∠0DE=∠FAC=15 ∴.LADE=L0DA-∠0DE=30 ∴.∠AED=180°-∠0AD-LADE=105 故选：C. 4.B 解：连接DG,EF, A 0 M E :点E,F分别是AB,CD的中点， .四边形AEFD是矩形， M是ED的中点， 在正方形ABCD中，BG=3,CG=1, ∴.BC=DC=4, 在Rt△DGC中，由勾股定理得， DG=DC2+CG2=4+17, 在△EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点， ∴.MN是△EDG的中位线， MN=IDG-7 21 故选：B. 5.C 解：：四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴.AD=CD=6,∠ADC=90°，∠ADM=∠CDM=45°， DM=DM 在△ADM和△CDM中， ∠ADM=∠CDM=45°， AD=CD aADM=△CDM(SAS), ∠DAM=LDCM, PM PC ∠CMP=LDCM, :.∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM, 又：LAPD+LDAM=180°-∠ADC=90°， ∠DAM=30°， 设PD=x,则AP=2PD=2x,PM=PC=CD-PD=6-x, AD=√AP2-PD2=V3x=6, 解得x=2V5, .PM=6-x=6-2V3,AP=2x=4V3, :AM=AP-PM=45-(6-25=65-1, 故选：C. 6.D 解：如图，连接AF, E B :四边形ABCD是正方形， AB=BE=BC,LABC=90°，AC=V2AB=2V2, ∠BEC=∠BCE, ∠EBC=180°-2LBEC, ∠ABE=∠ABC-∠EBC=2LBEC-90°， :BF平分∠ABE, ·∠ABF=∠EBF=1∠ABE=∠BEC-45°， 2 :∠BFE=LBEC-LEBF=45°， 在△BAF与△BEF, AB=EB ∠ABF=∠EBF, BF=BF △BAF≌△BEF(SAS, ∠BFE=LBFA=45°， ∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°， :0为对角线AC的中点， :0F=AC=V2, 2 故选：D. 二、填空题 7.AC=BD(答案不唯一) 解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD; 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC; 故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC. 8.15 解：连接AE,BE, 由作图方法可知，AB=AE=BE, ∴△ABE是等边三角形， .∠BAE=60°， ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=ADC=90°，AD=AB=AE, ∴.∠DAE=90°-60°=30°， .∠ADE=AED=180°-30° =75°， 2 .∴.LCDE=90°-75°=15°. 故答案为：15. D B 9.210 解：连接ED交AC于点P,连接BD,PD, ,四边形ABCD是正方形， ∴.点B与点D关于直线AC对称， ∴PB=PD, ∴.PB+PE=PD+PE2DE, .当P与P重合时，PB+PE的值最小，最小值为DE的长. D D 夕 正方形ABCD的边长为4， .BD=V42+42=4V2,∠ABD=45°. ,△ABE是等腰直角三角形， BE=5AB=22,∠ABE=45°， ∴.∠DBE=90°， .ED=VEB2+BD2=8+32=V40=2V10, ∴.PB+PE的最小值210. 故答案为：210. 解：在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G, AB=x, 珠 EG■ A OB ∴.∠A0G=90°， .四边形OADG是矩形， ∴.AD=AB=CD=BD=OG=x, .点A的坐标为1,0)， ∴.0A=x-1, 将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3)， ..OF=3,AF=AD=x,DE =EF, 在RtaA0F中，由勾股定理得：AF2=OA2+OF2, x2=32+(x-12, 解得：x=5, ∴.DG=0A=x-1=4, 设EG=a,则DE=EF=4-a,FG=0G-0F=5-3=2, 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG+GF2, ∴.(4-a2=a2+22, 3 解得：a=2' 底E的坐标为， 故答案为： 山. 解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足为M,N,连接AM,则LFMC=90°， D wA.. E B MC ,四边形ABCD为正方形， LABC=90°， ∴.∠ABC=∠FMC, ∴.AB∥FM, ∴.FN=BM, FN.5w 2 4B-BM. ∴.SABF=SABM, CF⊥BE,垂足为F,AB=1=BC,∠EBC=30°， ∠Brc=0∠BcF=60cr-ac=, 2 .∠CFM=90°-∠BCF=30°， .CM-CF 1 .BM BC-CM=3 1 33 ∴.SAar=SABw=7×1x4=g 248 3 故答案为：8 12.-2+22 解：正方形ABCD的边长为1， ∴.AD=AB=BC=CD=1,LBAD=LABC=LC=∠D=90°， D M P 将△ADN顺时针旋转90°得到△ABP,则aADN≌△ABP, ∴.LDAN=LBAP,LD=LABP=90°，AN=AP,DN=BP, 点P、B、M、C共线， .∠MAN=45°， .∴.∠MAP=∠MAB+BAP=LMAB+DAN=90°-LMAN=45°=∠MAN, ,·AP=AN,∠MAP=∠MAN,AM=AM, ∴.△MAP≌△MAN(SAS), ∴.MP=MN, .MN MP=BM BP BM DN 设CN=a,CM=b,则DN=1-a,BM=1-b, ∴.MN=BM+DN=2-a-b, .∠C=90°， ∴.CN2+CM2=MN2,即a2+b2=(2-a-b)2, 整理得：(2-a)(2-b)=2, .∴.MN=2-a-b =-2+(2-a+(2-b =-2+(2-a+(2-bji =-2+(N2-a-22-a2-b+V2-b+22-av2-b =-2+(V2-a-√2-b/+22-aj2-b ≥-2+2V2-aj(2-bj =-2+2V5, 当且仅当√2-a=√2-b,即2-a=2-b=√2，也即a=b=2-√2时，MW取最小值-2+2√2， 故答案为：-2+2√2. 三、解答题 13.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，AC为其对角线， ∴.∠BAD=90°，AC平分∠BAD. 又，PM⊥AD,PN⊥AB, ∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°=∠BAD. 四边形PMAN是正方形. (2)解：如图，作PF⊥BC于点F. E M D 四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴.LABC=90°，AB=BC=1,LPCF=45°. ∴.AC=VP+12=2,∠CPF=45 ∴△PCF是等腰直角三角形. PC=X, ·AP=AC-PC=2-x,PF= 2 -x. PN⊥AB, ∴.∠PNB=90°， 又∠ABC=90°，∠PFB=90°， ∴四边形BNPF为矩形， ..BN=PE= x,∠MPN=90°. .∴.∠MPN=90°=∠EPB, ∴.∠MPE=∠NPB. 又，∠PME=∠PNB=90°，PM=PN, ∴.△EPM≌△BPN(ASA). .EM BN 2 x. 2 由(1)知四边形PMAN是正方形， ∴.AM=MP .'AP=2AM=(AE+EM), 整理得y=1-√2x, 其中白变量x的取值范围为0≤xs2 14.(1)解：矩形DEFG是正方形，理由如下： 过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： y D E G B M ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴.LEMC=LENC=LBCD=90°，LCEN=90°-∠ECN=45°， ∴.四边形EMCN为矩形，LCEN=∠ECN, ∴.WE=NC, .四边形EMCN为正方形， ∴.EM=EN,∠MEN=90°， .四边形DEFG是矩形， ∴.LDEN+LNEF=∠MEF+LNEF=90°， .'ZDEN ZMEF 又∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中， '∠DNE=∠FME EN=EM ∠DEN=∠FEM ∴.△DEN≌aFEM(ASA), ∴.ED=EF, ∴矩形DEFG为正方形； (2)解：，LADE=40°，AD∥EN, ∴.∠DEN=∠ADE=40°， 由(1)知△DEN≌△FEM,得∠MEF=∠DEN=40°， .∴.∠EFC=∠EMF+∠MEF=90°+40°=130°. 15.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .AB=CB,∠ABD=∠CBD, 又BE=BE, ∴.△ABE≌△CBE(SAS); (2)解：，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，∠ADB=45°， .'DE=DA, ∴.∠DAE=∠DEA, .∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， ∴.LDAE=LDEA=67.5°， .∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 16.(1)证明：，四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD, 由折叠可得DF=DC,LDFE=LC=90°， ∴.AD=FD,LDFG=180°-∠DFE=90°， ∴.在Rt△DAG和Rt△DFG中 DG=DG DA=DF ∴.RtADAG≌RtADFG(HL; (2)解：，BC=AB=2√5，点E是BC的中点， :.BE=CE=1BC=5, 2 由折叠得到EF=CE=√5， .RtADAG≌RtADFG, ∴.AG=FG 设AG=FG=x,则GB=AB-AG=2V5-x,GE=GF+EF=x+V5 .在Rt△GBE中，GB2+BE2=GE2, .(25-x+(5=(5+x 解得x=25 3 4G=25 3 17.(1)证明：：四边形ABCD为正方形 AD=BC,∠ADE=∠CBF=45o 在△ADE和△CBF中， AD=BC ∠ADE=∠CBF, BF=DE △ADE≌△CBF(SAS; (2)解：连接AC交BD于点O, :四边形ABCD为正方形，BD=10, BD垂直平分AC,OA=OC=OB=三BD=5, :AF CF,AE=CE, 由(1)知△ADE≌△CBF, AE CF :AF=CF=AE=CE :四边形AECF的周长为434， :AF=x454=V54 在RtAAOF中，OF=VAF2-OA2=3 :BF=DE=0B-0F=5-3=2, :EF BD -BF -DE =6; 答：EF的长为6. 18.(1)解：，AD=√5+1，矩形ABCD是黄金矩形， AB 5-1 AD 2 48=552 (2)证明：，折叠黄金矩形纸片ABCD,点B落在AD上的点E处， .AB=AE,∠B=∠AEF, 又，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAE=LB=∠C=LD=90°，AB=CD,AD=BC=V5+1, .∠BAE=LB=∠AEF=90°， .四边形ABFE是矩形， .AB=AE, .四边形ABFE是正方形； ∴.AB=BF=EF=AE, 由(1)可知，AB=2, .∴.AB=BF=EF=AE=2, ∴.DE=CF=V5+1-2=V5-1, ∠C=LD=∠DEF=90°， ∴四边形CFED是矩形， ∴.EF=CD=2, DE 5-1 …FE=2 四边形CDEF是黄金矩形， (3)解：四边形BPOF是黄金矩形，证明如下： ,PQ⊥EF,四边形ABFE是正方形， ∴.∠B=∠BFE=∠PQF=90o, ∴.四边形BFOP是矩形； 由(2)可知，AB=BF=AE=EF=2, G为AE的中点， ∴.AG=EG=1, ..FG=EG2+EF2=12+22=5, 如图，连接PG,由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,∠PHF=∠B=90°， 设BP=PH=x,则AP=2-x, A G B .SAPG+S,PBF+SPGP=S梯形ABFG 是x1x（2-x）+号×2x+号×5X号×(1+2)2， 解得：x=V5-1, ∴.BP=5-1, :.BP-V5-1 BF 2 ∴四边形BFOP是黄金矩形.