21.3.1 矩形 同步练习2025-2026学年人教版 八年级数学下册

21.3.1《矩形》同步练习 一、单选题 1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是() A D B A.AC平分∠BAD B.AB=BC C.AC=BD D.AC⊥BD 2.如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半 径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=() D A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 3.如图，直线a∥b,矩形ABCD的J顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数为() 0 b A.41° B.51 C.49° D.59 4.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以1cmIs的速度向点B运动， 动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的 速度向点D运动.点P,点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运 动.设动点的运动时间为s,当QP=QH时，t的值为() >P H←-B c.9 . 20 B.4 5.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N,若AM=1, BN=2,则BD的长为() A.2V5 B.3 C.25 D.32 6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线交AD,BC于E、F两点， 若AC=2V3,∠AE0=120°，则FC的长为() E A.1 B.2 C.√2 D.5 二、填空题 7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,斜边AB上的中线长为 8.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8,AD=DE=I0,则BF的 长为 E 9.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M、N分别是边AB、 BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN·若PM+PN=4.则线段 PC的长为. A D M 10.将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C处， 折痕为MN,点D落在点D处，CD交AD于点E.若BM=3,BC=4,AC'=3,则DN= D B M 11.如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2W3,AA=2,点M为AC的中点， 一只小虫从B沿三棱柱ABC-A,B,C,的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 M B B I2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=√2，AD=2,E为边AD的中点，点F在边CD上，连接 EF,将aDEF沿EF翻折，点D的对应点为D/,连接BD'.若BD'=2,则DF=· 三、解答题 13.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF与DE交于 点0. B (1)求证：四边形AEFD为矩形； (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求AE的长. 14.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF.求证：AF=DE, B E 15.如图，点M在口ABCD的边AD上，BM=CM,请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM ;③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使口ABCD为矩形， M (1)你添加的条件是 (填序号)： (2)添加条件后，请证明▣ABCD为矩形. 16.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°，有下列条件： ①AB∥CD,②AD=BC. D B (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积. 17.【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘： 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF;折 叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B, E,展平纸片，连接AB,BB',BE', D M (图1) 请完成： (1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； (2)证明(1)中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN,在AB上取一点P,折 叠纸片，使B,P两点重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使点B,P分别落在EF, BN上，得到折痕1，点B,P的对应点分别为B,P,展平纸片，连接，PB. N D P (图2) 请完成： (3)证明BB'是LNBC的一条三等分线. 参考答案 一、单选题 1.C 解：由矩形ABCD的对角线相交于点O, 根据矩形的对角线相等， 可得AC=BD. 故选：C. 2.C 解：矩形ABCD中， ∴.LABC=LBAC=90°， F为CE的中点，CE=10, 8c=r-0E=5, 在Rt△ABG中，AG=VBG2-AB2=V52-42=3, 故选：C 3.C 解：矩形ABCD, .∠ABC=90°， 过点B作BE∥a, a D B 6 A .a∥b, .BE∥a∥b, .∠I=∠ABE,∠2=∠CBE, ∴.LABC=LABE+LCBE=∠1+∠2， 片∠2=41°， .∴.∠1=90°-41°=49°； 故选C. 4.D 解：作QE⊥AB于点E,如图， A>P E H←一B ,矩形ABCD, ∴.四边形BCQE是矩形， ∴CQ=BE, 由题意得AP=t,BH=2t,CQ=4t, ∴.PH=20-AP-BH=20-3t, ,QP=QH,QE⊥AB, .PE-EPH10- :CQ=BE,BE=EH+HB=10-1+2=10+ 2 4=10+, 解得1=20 故选：D. 5.A 解：由题意，连接BM,记BD与MN交于点O, M D :线段MN垂直平分BD, :BO=DO BM =DM. :四边形ABCD是矩形， AD∥BC. .∠MDO=∠NBO. 又∠D0M=∠B0N, △DMO≌△BNO(ASA. :DM BN BM =2. 在Rt△BAM中， AB=VBM2-AM2=√5. :在RteBAD中可得，BD=√AB2+AD2=2V3. 故选：A. 6.A .EF1BD,∠AE0=120°， ∴.∠ED0=30°，∠DE0=60°， ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AC=BD=2N5, CD=BD=5,∠0BF=∠0CF=30°， .∠F0C=60-300=30°，0F=2BF, 2 .∴.0F=CF, 在Rt△B0F中，由勾股定理得：OF2+OB2=BF2,即(OF2+V5=(20F)2, ∴.0F=1, ∴.FC=0F=1, 故选：A. 二、填空题 7.5 解：.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, ∴.AB=VAC2+BC2=10, :斜边AB上的中线长为10×)5， 2 故答案为：5. 8.25 解：在矩形ABCD中，AB=8,AD=DE=10, .∴.∠ABC=∠C=90°，BC=AD=10,AB=CD=8, .CE=√DE2-CD2=6, ∴.BE=BC-CE=4, .AE=AB2+BE2=45, 点F是AE的中点， .BF=AE=25. 故答案为：25. 9.2√2 解：：DE=AB=CD=3, △CDE是等腰直角三角形， 作点N关于EC的对称点N',则N'在直线CD上，连接PN',如图： A E D M N B W :PM +PN =4. PM+PN'=4=BC,即MN'=4, 此时M、P、N'三点共线且MN'∥AD,点P在MN'的中点处， :PM PN'=2, :PC=22. 故答案为：2√2. 10.3 解：在RtaC'BM中，CM=VCB2+BM2=V42+32=5, 由折叠可得CM=CM=5,∠D'CM=∠D'=∠D=∠C=90°， 又，ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°， ∴.∠BCM+∠AC'E=LAEC'+LAC'E=90°， ∴.∠BC'M=LAEC', 又AC'=BM=3, ∴.△BC'M≌△AEC', .'.BC'=AE =4,MC'=C'E=5, .AB=CD=C'D'=7,BC=AD=BM +CM=3+5=8, .DE=AD-AE=8-4=4,D'E=CD'-C'E=7-5=2, 设D'N=DN=a,则EN=4-a, 在Rt△DEN中，NE2=D'E2+DN2,即(4-a)2=a2+22, 3 解得：a= 2 故谷案为 11.19 解：如图，连接B,M,由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱ABC-AB,C,AB=2W3,AA=2 ,点M为AC的中点， B B 当B在右侧处时， ∴.BB,=AA,=2,MB=2V5+5=3V5, .MB,=V22+352=i, 当B在下方时，由等边三角形的性质可得：B,K=2-(V=3, 此时B,M=3+2=5, 如图，当按下图方式展开时，延长AC,过C作C,N⊥AC于N,作B,T⊥AC于T,作C,K⊥B,T于 K,则CK∥AC,四边形KTNC,为矩形， .∴.CN=KT,KC1=TN, A 则∠CCN=180°-60°-90°=30°=∠KC,C, ∴.∠B,CK=90°-30°=60°， .B,C=2V5,CC1=2, CN=1,Cw=5,CK=aG=5,BK=25-(=3, 此时C,T重合， ∴.BT=3+1=4,MT=25-√5=5， BM=V5+42=9, .31>5>19, 小虫爬行的最短路程等于√9. 故答案为：√9. 12.√5-√2 解：如图：连接BE,延长FE交BA的延长线于H, H ,矩形ABCD中AB=V2,AD=2,E为边AD的中点， .AE=DE=1,LBAE=LD=90°， 将aDEF沿EF翻折，点D的对应点为D, ∴.ED=ED'=l,∠ED'F=∠D=90°，LDEF=LD'EF, ∴.RtaHAE≌Rt△FDE(ASA), .'DF=AH ∴.BE=VAB2+AE2=√2+1=V5, BD'=2, .1P+3=22,即D'E2+BE=BD2, ∴.△BED'为直角三角形， 设∠DEF=a,则LAEH=LDEF=a,LDED'=2a, ∴.LAEB=90°-2a,LAHE=90°-a, .∴.∠HEB=∠AHE=90°-a, ∴.△BHE为等腰三角形， ∴.BH=BE=5, ∴.AH=BH-AB=V5-√2， .DF=AH =3-2. 故答案为：3-√2. 三、解答题 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, CF=BE, ∴.CF+CE=BE+CE, .∴.EF=BC, .EF AD, .AD∥EF, ∴.四边形AEFD是平行四边形， .AE⊥EF, ∴.LAEF=90°， .四边形AEFD是矩形， (2)解：由(1)知：四边形AEFD是矩形，又OE=2, AF=DE=20E=2×2=4, AB=3,BF=5, ..AB2+AF2=BF2, .△ABF是直角三角形， .△ABF的面积=BFAE=ABAF, .∴.5×AE=3×4, ∴.AE=2.4. 14.证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC,∠B=∠C=90°， .BE =CF ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE, .△ABF≌aDCE(SAS, ∴.AF=DE. 15.(1)解：①或② (2)添加条件①，口ABCD为矩形，理由如下： 在口ABCD中AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中 (AB=CD ∠1=∠2 BM=CM ∴.△ABM≌△DCM ∴.∠A=∠D, 又，AB∥CD, ∴.∠A+∠D=180°， .∠A=∠D=90°， .口ABCD为矩形； 添加条件②，口ABCD为矩形，理由如下： 在ABCD中AB=CD,AB∥CD, 在△ABM和△DCM中 (AB=CD AM=DM, BM=CM ∴.△ABM≌△DCM ∴.∠A=LD, 又.AB∥CD, .∠A+LD=180°， ∴∠A=LD=90°， ∴口ABCD为矩形 16.(1)选择①， 证明：，AB∥CD,AD∥BC, .ABCD是平行四边形， 又.LABC=90°， 四边形ABCD是矩形； 选择②， 证明：，AD=BC,AD∥BC, ∴.ABCD是平行四边形， 又LABC=90°， 四边形ABCD是矩形； (2)解：∠ABC=90°， ∴.BC=VAC2-AB2=V52-32=4, 矩形ABCD的面积为3×4=12. 17.(1)解：由题意可知∠1=∠2=∠3； (2)证明：由折叠的性质可得：AB=BB,AB=AB',AE=AE',，AE=BE, .'AB'=BB'=AB,AE'=B'E', .△ABB是等边三角形， ,AE'=B'E',LABB'=60°， A∠ABE'=∠B'BE)∠ABB'=30 .四边形ABCD是矩形， ∴.LABC=90°， .∠3=30°， .∴.∠1=∠2=L3; (3)证明：连接PB,如图所示： A D P 由折叠的性质可知：BB'=PB',PB=P'B',∠PBB'=∠P'B'B, ,折痕B'E⊥AB,BB'=PB', ∠PB'E=∠BBE=∠BBP, ,四边形ABCD为矩形， ∴.LEBC=90°， CB⊥AB, BE⊥AB, ∴.B'E∥BC, ∴.∠BB'E=∠CBB'= ∠BB'P, 2 ,在△PBB'和aP'B'B中， PB=PB ∠PBB=∠PB'B, BB'=B'B .△PBB'≌P'B'B(SAS), ∴∠P'BB'=∠PB'B, .∠CBB=∠NBB, ∠CBB=∠CBN, 3 渐9三￥一饵08N7音88，