21.3.1 矩形(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级下册（人教版） 21.3.1矩形（第二课时) 知识梳理@形成联系 -卡B多多 【知识点】矩形的判定 ©有一个角是直角的 是矩形.（定义） ©对角线 的平行四边形是矩形， ©有三个角是 的四边形是矩形 1.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）.用钉子将四根木条钉成一 个平行四边形框架ABCD,并在A与C,B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手 握住木条BC,用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图2)，观察这个变化过程和所得到的四 边形，下列说法：①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B,D两点之间的距离不 变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变.其中正确的是() 图1 图2 图21.3-7 A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 2.如图21.3-8，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°， 则∠OBA的度数为() A.35° B.40° C.45° D.50° 3.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是() A.测量两条对角线是否相等 图21.3-8 B.度量两个角是不是90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 例题点拨Q、素养导向 【例1】如图21.3-9，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和点Q 分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点 P和点Q的速度分别为3cms和2cms,则最快 S后，四 边形ABPQ变为矩形. B 【点拨】由矩形的性质可得BC与AD的关系，再根据矩形的判 图21.3-9 定定理，需要BP=AQ,利用上述条件列出一元一次方程求解. 62 四边形 第二十一章 【例2】如图21.3-10，在口ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,CF=AE,连接AF. (1)求证：四边形BFDE是矩形 (2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四边形BFDE的面积 【点拨】(1)根据平行四边形的性质得出DF∥EB,AB=CD,则DF=BE,通过证明四边 形BFDE是平行四边形，结合DEL⊥AB,即可求证.(2)根据题意推出∠DAF=∠DFA,则 AD=FD=5,根据勾股定理得出DE=VAD-AE=4,最后根据矩形的面积公式，即可解答. 图21.3-10 夯实四基U达标闯关 卡s多每 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定口ABCD为矩形的是（) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.如图，在□ABCD中，M,N是BD上两点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加 一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是() A.OM-2AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 第2题图 第3题图 3.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边AB是否和底边BC垂直，只需要 用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断，其数学依据是()》 A.矩形的对角线相等 B.三个角都是直角的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是矩形 63 口数学 八年级下册（人教版） 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC, DB,要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 ·(写出一个条件即可) B 第4题图 第5题图 5.如图，在等边三角形ABC中，过点C作CD LBC,与∠ABC的平分线交于点D,过 点D作DE∥BC,交AB于点E,若BC=9,则AE的长为 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD,连接 AC. (1)求证：四边形AECD是矩形 (2)若AC平分∠DAB,AB=5,EC=2,求BE的长 E 第6题图 函 四边形 第二十一章 7.如图，在□ABCD中，CE⊥AD于点E,延长DA至点F,使得DE=AF,连接BF,CF (1)求证：四边形BCEF是矩形. (2)若AB=3,CF=4,DF=5,求EF的长. 第7题图 能力提升蹄综合拓展 -+多 8.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E,F是对角线AC上的两个动点，分别从点A,C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为ts,其中0≤t≤10. (1)若G,H分别是AD,BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（点E,F 相遇时除外)？ (2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值. H 第8题图 65 口数学 八年级下册（人教版） 中考链接©真题演练 一 9.(2025·云南)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点.延长B0至点D,使 OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为L1,△BOC的周长为l2,四边形 ABCD的周长为l3, (1)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若l2-l=2,1=28,求AC的长， 第9题图 10.(2025·北京)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为 F,点G在DE的延长线上，DG=FC (1)求证：四边形DFCG是矩形 (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC的长. 第10题图 66参 考答案 90°，∠ABD+∠ADB=90°.BF∥AC,.∠ABF= 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠OAB.∠BAF=∠ADB,∠ABF+∠BAF=90°. .AD∥BC,AD=BC.DE=AF,.EF=BC,EF∥BC, ∠BAF=35°，∴.∠ABF=90°-35°=55°，∴.∠OAB=∠DBA= 四边形BCEF是平行四边形.又CE⊥AD,.∠CEF= 55°.AE=CD,AE=AB,.∠AEB=∠ABD=55°， 90°，.平行四边形BCEF是矩形 ∠BAE=180°-（∠AEB+∠ABD)=180°-(55°+55°）=70°， (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.CD= .∠EAC=∠BAE-∠OAB=70°-55°=15° AB=3.CF=-4,DF=5,.CD+CF2=DF2,.△CDF是直 (2)证明：如图，在 OB上截取OH=OE,连接 角三角形，∠DCF-90P,San=-DFXGE=-号CxCD, CH,在△AOE和△COH H :CE=CxCD=4x3-12.由(1)得，EF=BC,四边形 DF 5 5 0A=0C, 中 ∠AOE=∠COH,.. 第9题答图 BCEF是矩形，LBC=-0,BF-CB=号，BC= OE=OH, △AOE≌△COH(SAS),.∠AEB=∠CHO,AE=CH.. VaF-Ve号9.r9 ∠AEB=∠ABD=∠ABF,AB=AE,∴AB=CH.BF= 8.解：(1)四边形EGFH是平行四边形.理由如 2OE,.BF=HE,.△ABF≌△CHE(SAS),.∠AFB= 下：由题意，得AE=CF=t.:四边形ABCD是矩形， ∠CEH=90°，.∴.CE⊥BD. AD∥BC,AD=BC,.∠GAE=∠HCFG,H分别是 10.C 11.(1)证明：在矩形ABCD中，AB=CD,∠B= AD,BC的中点，AG=AD,CH=2BC,AG=CH, ∠BAE=∠CDF. ∴.△AEG≌△CFH(SAS),.EG=FH,∠AEG=∠CFH, ∠C=90,在△ABE和△DCF中，AB=CD, ∴.∠FEG=∠EFH,.∴EG∥HF,.四边形EGFH是平行 ∠B=∠C=90° 四边形. △ABE≌△DCF(ASA). (2)如图1，连接GH,由 (2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF,.AE=DF= (I)得AG=BH,AG∥BH,∠B= 13..AB=12,..BE=VAE2-AB =5. 90°，.四边形ABHG是矩形， ..GH=AB=6. 21.3.1矩形（第二课时） ①如图1，当四边形EGFH 图 【知识点】平行四边形相等直角1.B 是矩形时，EF=GH=6.AE=CF=t, 2.A3.C .EF=10-2t=6,.t=2. 【例1】4 ②如图2，当四边形EGFH 【例2】(1)证明：四边形ABCD是平行 是矩形时，，EF=GH=6,AE=CF= 四边形，DF∥EB,AB=CD.又CF=AE,DF= t,.EF=+t-10=2t-10=6,t=8.综 BE,四边形ABCD是平行四边形.DE⊥AB,上，四边形ECFH为矩形时t=2 图2 ∴.∠DEB=90°，∴.四边形BFDE是矩形 或t=8. 第8题答图 (2)解：AF平分∠DAB,DC∥AB,. 9.(1)证明：0是AC的中点，.OA=0C.0B= ∠DAF=∠FAB,∠DFM=∠FMB,∠DAF=∠DFA.:OD,.四边形ABCD是平行四边形.LABC=90°，∴ DF=5,∴AD=FD=5.AE=CF3,DE⊥AB∴DE= 平行四边形ABCD是矩形. VAD-AE=4,.矩形BFDE的面积是DFDE= (2)解：记AB=a,BC=b,△A0B的周长为l1, △BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l,.l2-l= 5x4=20. 1.D2.A3.C4.CD=BE(或∠ADB=90°或 BC-ABb-2,4-24B+BC)-2a6)=28,6-=2, CE⊥DE)5.3 b+a=14, 6.（1）证明：：AD∥BC,EC=AD,.四边形 /6, .AB=6,BC=8,.AC=VAB+BC2=10 b=8, AECD是平行四边形.又∠D=90°，.四边形AECD 是矩形. 10.(1)证明：，D,E分别为AB,AC的中点， (2)解：AC平分∠DAB,.∠BAC=∠DAC. DE是△ABC的中位线，.DE∥BC.DG=FC,.四边 形DFCG是平行四边形.又，DF⊥BC,.∠DFC=90°， AD∥BC,∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ACB,BA= .平行四边形DFCG是矩形. BC=5..EC=2,.BE=3. (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90°.∠B=45°， 数学 八年级下册（人教版） △BDF是等腰直角三角形，BF=DF-3.DG=FC=5, .,BC=BF+FC=3+5=8.由(1)可知，DE是△ABC的中 位线，四边形DFCG是矩形，DE=BC-4,CG=DF 3,∠G=90°，.EG=DG-DE=5-4=1,∴.CE=VCC+EG =V3+1P=V10.E为AC的中点，AC=2CE= 2V10. 图1 21.3.2菱形（第一课时） 【知识点】邻边四条边垂直对角1.A (2)①当∠EFB=90°时，如图2，：∠EFB=90°， 2.D3.30° S菱形A@m=10×DF=80,DF=8,:AF=VAD2-DF= 【例1】55 V100-64=6,∴BF=4.AC垂直平分BD,.DE=BE. 【例2】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， BE2=EF2+BF,∴EF+42=(8-EF)2,得EF-3.在△AEF ∴.BA=BC,∠ABD=∠CBD.在△ABE和△CBE中， 中，AE=V6432=3V5. BA=BC, ∠ABD=∠CBD、..△ABE≌△CBE(SAS),.AE= BE=BE, CE. (2)解：设∠BAP=Q.,△ABE≌△CBE,. ∠BAP=∠BCE=Q..AE=PC,AE=CE,PC=CE, 图2 ∠0E=∠C号(180-∠B0E)=0-4 ∠CPE是△ABP的一个外角，∠ABC=45°，· ②当∠BEF=90°时，如图3，连接BD交AC于点 O,当E在AO上时，则△EDB是等腰直角三角形， ∠GPE=LABC+LBAP,.90°-1a=45°+a,a= BD=4V5,:.0E=2V5,.AE=2V5.当E在0C上 30°，.∴∠BAP=Q=30° 时，同理可求AE=6V5. 1.C2.C3.A4.C5.A6.4.8 7.证明：四边形ABCD是菱形，AB=AD,∠B= ∠B=∠D, ∠D.在△ABE和△ADF中， ∠AEB=LAFD,.△ABE≌ AB=AD, △ADF(AAS),∴BE=DF B 8.(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD∥ 图3 BC,BC=AD,∴∠D=∠ECF,∠DAE=∠FE是CD 的中点，.DE=CE,.△ADE≌△FCE(AAS),AD= ③当∠FBE=90时，如图4，AE=BE+AB2,AE. CF,∴.BC=CF OB=BABE,.AE2=BE2+100,2V5 AE=10BE,.AE= (2)解：由(1)知BC=CF,BC=AB=2,BF= 5V5. 2BC=4.AE⊥AB,.∠BAF=90°，∴AF=VBF-AB2 2 =2V3,Sa=号ABAf-2V3. 0 9.B10.V3+1 11.解：(1)如图1，连接BD,交AC于点O.: B 四边形ABCD是菱形，：B0=D0,A0=号AC=4V5, 图4 第11题答图 AC⊥BD,.0D=VAD2-A02=V102-(4V5)2=2V5, :BD-4V5x8V5x4V5-80. 综上所述，AE的长为3V5或2V5或5V5或 6V5. 70