21.2.3《 三角形的中位线》同步练习 - 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.2.3《三角形的中位线》同步练习 一、单选题 1.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.若DE=4,则BC的长为() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图，点D,E,F分别是△ABC各边上的中点，LA=70°，则LEDF=() A.20° B.40° C.70° D.110 3.三角形的周长为48cm,则它的三条中位线组成的三角形的周长是() A.12cm B.24cm C.28cm D.30cm 4,如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆心，大于号BC的长为半径画弧， 两弧相交于E,F两点，EF和BC交于点O:②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D :③分别以点D,C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两孤相交于点M,连接AM,AM和CD 交于点N,连接ON若AB=9,AC=5,则ON的长为() 0八1 TM A.2 B. C.4 n.9 5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,对角线AC,BD交于点O,点P是AB的中点，连接 DP,点E是DP的中点，连接OE,则OE的长是() E A.1 B. 2 C.2 D.4 6.如图，四边形ABCD是矩形，AB=√0，AD=4√2，点P是边AD上一点（不与点A,D重合）， 连接PB,PC.点M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,DN,点E在边AD上， ME∥DN,则AM+ME的最小值是() EP B A.25 B.3 C.32 D.42 二、填空题 7.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC的中点，连接DE.若DE=I2,则AB的长为 B 8.如图，在△ABC中，8C=6,点E是AC的中点，分别以点，B为圆心，以大于)4B的卡为 半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,连接DE,则DE的长是· M D 9.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且 LBFC=90°，若AC=4,BC=8,则DF的长是· E I0.如图，在菱形ABCD中，BD=6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,则菱形ABCD 的面积为 D E 11.如图，在oABCD中，对角线AC、BD交于点O,AC口AA,点E、F分别为BC、CD的中点， 连接AE、OF,若AE=4,则OF=一· A D B E 12.如图，四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直，AC=4,BD=6,则AD+BC的最小 值是 A 三、解答题 13.如图，△ABC的中线BD,CE交于点O,点F,G分别是OB,OC的中点. A G (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)当BD=CE时，求证：oDEFG是矩形. 14.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB,AE与CE 相交于点E.现有以下命题： 命题1：若连接BE交CA于点F,则S△cFB=2 SACEF. 命题2：若连接ED,则ED⊥AC. 命题3：若连接ED,则ED=BC. 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例. D 15.已知：如图：在△ABC中，D,F分别为边AB,BC的中点，∠AED=∠DFB,.求证： (1)△AED≌△DFB; (2)ZC ZEDF 16.如图1，在等腰Rt△ABC中，LABC=90°，AB=CB,点D,E分别在AB,CB上，DB=EB, 连接AE,CD,取AE中点F,连接BF. A B D 图1 图2 (1)求证：CD=2BF,CD⊥BF; (2)将aDBE绕点B顺时针旋转到图2的位置. ①请直接写出BF与CD的位置关系： ②求证：CD=2BF. 参考答案 一、单选题 1.D 解：根据题意，如图所示， D E B ,D、E分别为AB、AC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=8. 故选：D 2.C ,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点， ∴.DE,DF是△ABC的中位线 .DE∥AC,DF∥AB ∴.∠DEB=LA=70° .DF∥AB .∴.∠EDF=∠DEB=70°. 故选：C. 3.B 解：如图， B ,△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点， ∴DE-Bc,DF=4c,EF-4B, .△ABC的周长是48cm,即AB+AC+BC=48cm, DEF的周长是EF+DF+DE=4B+AC+BC)=×48=24cm, 故选B. 4.A 解：由作图可知EF垂直平分线段BC,AM垂直平分线段CD, .∴.0B=0C,DN=CN, :.ON=IBD, 2 .AB=9,AC=AD=5, ∴.BD=AB-AD=9-5=4, 0N=}x4=2. 2 故选：A. 5.C 解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OB=OD,即O为BD中点， E是PD的中点， ∴OE是△PBD中位线， :0E=P8, AB=8,点P是AB的中点， PB=AB=4,即OE=PB=2, 2 故选：C. 6.C 解：：四边形ABCD是矩形， :∠BAP=∠CDP=90°，AD∥BC, :点M,N分别是PB,PC的中点， &AM=BP,DN=CP,Mw=号8c,MN∥sc, 2 :AD∥BC,MN∥BC, :MN∥BC, 又：ME∥DN, :四边形MNDE是平行四边形， :ME =DN :AM+ME=AM+DN(BP+CP) 如图，作点C关于直线AD的对称点M,连接PM,BM, M D 了M B 则BP+CP=BP+PM, 当点B,P,M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM, 在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=2V10,BC=AD=4V2, BM=VBC2+MC2=42)+(21o=6V2, :AM+ME的最小值=BM=3V2, 故选C. 二、填空题 7.24 解：D,E分别是AC,BC的中点， DE是△ABC的中位线， .AB=2DE=2x12=24, 故答案为：24. 8.3 解：由作图方法可得MN垂直平分AB, .点D为AB的中点， 又，点E是AC的中点， ∴.DE是ABC的中位线， ..DE=BC=1x6=3, 2 21 故答案为：3. 9.6 】解：，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，AC=4, :.DE=14C=2, 2 :LBFC=90°，BC=8, EFBC4, ∴.DF=DE+EF=6, 故答案为：6. 10.12 解：E,F分别为AB,BC的中点， :.EF=1AC=2, 2 AC=4, 四边形ABCD是菱形， 菱形4CD的面积为BDx4C=×6x4=12, 故答案为：12. 11.4 解：AC☐ABA, ∴.∠BAC=90°， :点E为BC的中点， BC, .∴.BC=2AE=8, .口ABCD, .0B=0D, 又点F为CD的中点， ∴.0F=BC=4: 2 故答案为：4. 12.213 解：设AC,BD的交点为O,AB,BC,CD,DA的中点分别是P,2,R,S,连接PO,QR,RS,SP,OQ,OS,QS, .AC,BD互相垂直， “△AOD和△BOC为直角三角形，且AD,BC分别为斜边， .AD=20S,BC=200, ·AD+BC=2(OS+OQ), :当OS+O0最小时，AD+BC最小，再根据“两点之间线段最短”得OQ+OS≥QS, :当点0在线段QS上时，OQ+OS最小，最小值为线段S的长， P,Q分别为AB,BC的中点， ∴.PQ是△ABC的中位线， ∴PQ=)4C=2,P0∥4C, 同理QR=BD=3,QR∥BD, RS=AC=2,RS∥AC, 2 SP=BD=3,SP∥BD, 2 ∴.PQ∥AC∥RS,QR∥BD∥SP, :四边形PQRS是平行四边形， AC⊥BD,PQ∥AC,SP∥BD, .PQ⊥SP, ·四边形PQRS是矩形， 在Rt△PQS中，PQ=2,SP=3, ∴0S=VPg+Sp2=3, 00+0S的最小值为√3， :AD+BC的最小值为213. R B 故答案为：213. 三、解答题 13.(1)证明：，△ABC的中线BD,CE交于点O, .DE=BC,DE∥BC, 点F,G分别是OB,OC的中点， PG=58c,FG∥BC, DE=FG,DE∥FG, ∴.四边形DEFG是平行四边形； (2)证明：，四边形DEFG是平行四边形， E0-G0-EG DO-FO-DF .G是C0中点， ∴.G0=CG, .∴.E0=G0=C0=EC, 同理D0=BD, BD =CE, ∴E0=D0, ..EG=DF .四边形DEFG是平行四边形， oDEFG是矩形 14.解：命题1：若连接BE交CA于点F,则S△cFB=2S△cEr· 命题1是真命题，证明如下： 连接DE,交AC于O,如图所示： D :CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， :.CD=DA=DB=1AB, :AE∥DC,CE∥AB, ·四边形ADCE是平行四边形， .'DA=DC, :四边形ADCE是菱形， .AC⊥DE,且OA=OC,0E=OD, D为AB的中点， :DO是△ABC的中位线，则OD=BC, .S.=CF.BC.S.c=CF.OE,c25c 2 2 命题2：若连接ED,则ED⊥AC. 命题2是真命题，证明如下： 连接DE,交AC于O,如图所示： O D B :CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， :.CD=DA=DB=TAB, :AE∥DC,CE∥AB, :四边形ADCE是平行四边形， .DA=DC, :四边形ADCE是菱形， ·AC⊥DE; 命题3：若连接ED,则ED=BC. 命题3是真命题，证明如下： 连接DE,交AC于O,如图所示： E D B :CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， :CD=DA=DB=AB, :AE∥DC,CE∥AB, :四边形ADCE是平行四边形， :CE AD :CE DB :CE∥AB, :四边形BCED是平行四边形， :ED BC 15.(1)证明：，D,F分别为边AB,BC的中点， .DF是△ABC的中位线，AD=BD, .DF‖AC, .∠A=∠FDB, 又∠AED=∠DFB, .∴.△AED≌△DFB(AAS); (2)证明：，△AED≌△DFB, ∴.∠ADE=LB, ∴.DEBC, 又.DFIIAC, ∴.四边形CEDF是平行四边形， ∴LC=LEDF. 16.(1)证明：在△ABE和△CBD中， :AB=BC,LABE=∠CBD=90°，BE=BD, △ABE≌△CBD(SAS), AE=CD,∠FAB=LBCD. F是Rt△ABE斜边AE的中点， :AE =2BF, :CD =2BF, BF-LAE=AF, 2 .∠FAB=∠FBA. :ZFBA ZBCD :∠FBA+∠FBC=90°， .∠FBC+LBCD=90°. BF⊥CD; (2)解：①BF⊥CD; 理由如下：延长BF到点G,使FG=BF,连接AG,延长BE到M,使BE=BM,连接AM并延 长交CD于点N. :AF =EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB, .△AGF≌△EBF(SAS, .∠FAG=LFEB,AG=BE, AG∥BE, ∠GAB+∠ABE=180°， :∠ABC=∠EBD=90°， :∠ABE+∠DBC=180°， .∠GAB=LDBC. BE =BD :.AG=BD 在△AGB和△BDC中， AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB, △AGB≌△BDC(SAS), .∠ABG=LBCD. F是AE中点，B是EM中点， .BF是△ABM中位线， BF∥AN. .∠ABG=∠BAN=∠BCD, ∠ABC=∠ANC=90°， AN⊥CD. :BF∥AN, .BF⊥CD. 故答案为：BF⊥CD; DN ②证明： .△AGB≌△BDC, :CD=BG, :BG=2BF :CD =2BF.