21.2.2 平行四边形的判定 同步练习 2025-2026学年人教版 八年级数学下册

21.2.2《平行四边形的判定》同步练习 一、单选题 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则 下列正确的是() D A.AD=BC B.ZABD=ZBDC C.AB=AD D.∠A=∠C 2.如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,若AC=3,BD=5,则 四边形OCED的周长为() A.4 B.6 C.8 D.16 3.如图，已知∠A0B,以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C,D两点， 分别以点C,D为圆心，大于CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠40B内一点R,连接OP, 过点P作直线PE‖OA,交OB于点E,过点P作直线PF∥OB,交OA于点F.若LAOB=60°， OP=6cm,则四边形PFOE的面积是() A E B A.123cm2 B.6v3cm2 C.3v3cm2 D.23cm2 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB, BC于点B,R,分别以E,F为圆心，以大于)EF长为半径作弧，两烈在∠ABC内交于点P,作 射线BP,交AD于点G,交CD的延长线于点H.若AB=AG=4,GD=5,则CH的长为() A.6 B.8 C.9 D.10 5.在如图所示的▣ABCD中，E,G分别为边AD,BC的中点，点F,H分别在边AB,CD上 移动（不与端点重合），且满足AF=CH,则下列为定值的是() D H A.四边形EFGH的周长 B.LEFG的大小 C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长 6.如图，E是线段AB上一点，ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分 别是CD,AB的中点，若AB=4,则下列结论错误的是() B A.PA+PB的最小值为3√5 B.PE+PF的最小值为2√3 C.△CDE周长的最小值为6 D.四边形ABCD面积的最小值为35 二、填空题 7.如图所示，在口ABCD中，E,F分别在BC,AD上，且AE∥CF,若AD=9,FD=4,则CE= 8.如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE, 小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 9.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件， 使 四边形ABCD是平行四边形. B 10.如图，在ABCD中，AB=6,BC=8,∠B=60°，点M在AD上，且AM=6,点N在BC上， 若MN平分四边形ABCD的面积，则MN的长度为 A M D 11.如图，护城河在CC处直角转弯，宽度保持4米，从A往B处，经过两座桥：DD,EE,.设 护城河是东西一南北方向，A,B在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可 使AD，D,E,EB的路程最短，则这个最短距离是米， D 4 C D 4 B 12.如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，LBAC=LDEB=∠AEF=90°，点E在 ABC内，BE>AE,连接DF交AE于点G,DE交AB于点H,连接CF,给出下面四个结论：① LDBA=LEBC;②LBHE=∠EGF;③AB=DF;④AD=CF.其中所有正确结论的序号是 H G 三、解答题(4题) 13.如图，已知∠1=40°，∠B=50°，AB1AC,AD=BC. A D B (1)求证：AD‖BC; (2)求∠D的度数. 14.如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，AF=CE. F D E (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)连接EF,请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.（不需要说明理由） 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AC上，过点D作DE∥BC交AB于点E, 延长BC到点F,使CF=AD,连接CE,DF, (1)求证：四边形DFCE是平行四边形. (2)若LDCE=30°，AC=2,求FC的长. 16.如图，在△ABC中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线 于点E,连接AD,BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明. 参考答案 一、单选题 1.D 解：A.根据AB∥CD,AD=BC,不能判断四边形ABCD为平行四边形，故该选项不正确，不 符合题意； B.,AB∥CD,.LABD=∠BDC,不能判断四边形ABCD为平行四边形，故该选项不正确， 不符合题意； C.根据AB∥CD,AB=AD,不能判断四边形ABCD为平行四边形，故该选项不正确，不符合 题意； D.AB∥CD, .∴.∠ABC+∠C=180°， .LA=ZC .∴.∠ABC+∠A=180°， ∴.AD∥BC 四边形ABCD为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D. 2.C 解：，四边形ABCD是平行四边形， D0-pB=25,0c=4c=15, .DE∥AC,CE∥BD, ∴.四边形0CED是平行四边形， .∴.DE=OC=1.5,CE=OD=2.5, .周长为：2×1.5+2.5)=8， 故选：C 3.B 解：过P作PM⊥OB于M, 】 E M B 由作图得：OP平分∠AOB, ∠P0B=∠A0P=∠A0B=30°， ..PM =1OP=3cm 2 .0M=V0p2-PM2=3V5, PEIIOA,PF∥OB, ∴四边形PFOE为平行四边形，∠EP0=∠P0A=30°， .∴.∠POE=∠OPE, ∴OE=PE, 设OE=PE=x, 在RtAPEM中，PE2-MP2=EM2, 即：x2-32=(33-x, 解得：x=25, .Sa边形oEPr=0EPM=2V5x3=6V5(cm2. 故选：B. 4.C 根据题意的作图可得BH平分∠ABC, ∴∠ABH=∠CBH, .AB=AG, .ZABG ZAGB, ∴.∠CBH=∠AGB, ∴AD∥BC, AB∥CD, 四边形ABCD是平行四边形， .'CD AB=4. AB∥CD, ∴.LABH=LCHB, ,∠ABG=∠AGB,LAGB=∠HGD, ∴.∠HGD=LGHD, ∴.DH=GD=5, ∴.CH=CD+DH=4+5=9. 故选：C 5.C 解：连接EG, D H B 在ABCD中，E,G分别为AD,BC中点， ADI BC AD=BC,AE=AD,BG=BC, 2 2 AEI‖BG且AE=BG, ·四边形ABGE是平行四边形， .AB‖EG, 同理EG CD,且EG=AB=CD. .四边形DCGE是平行四边形， 则△GEF与aGEH的面积分别为ABGE与EGCD面积的一半， 四边形EFGH的面积=S.GEr+S,GEH, :四边形EFGH的面积始终为口ABCD面积的一半，是定值. 选项A:EF、FG等边长随F、H移动变化，周长不定，错误. 选项B:∠EFG随F位置改变，错误， 选项D:FH长度随F、H移动改变，错误. 综上，四边形EFGH的面积是定值， 故选：C. 6.A 解：如图所示， O D EF 延长AD,BC, 依题意∠QAD=∠QBA=60° .△ABQ是等边三角形， P是CD的中点， ∴.PD=PC, LDEA=∠CBA, ∴.ED∥CQ ∴.∠PQC=∠PED,∠PCQ=∠PDE, ∴.△PDE≌△PCQ .'PO=PE, ∴.四边形DECQ是平行四边形， 则P为E2的中点 如图所示， 设AQ,BQ的中点分别为G,H, 则GP=AE,PH=EB 当E点在AB上运动时，P在GH上运动， 当E点与F重合时，即AE=EB, 则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB=(AE+EB=2, 则△ADE≌△ECB, ∴C,D到AB的距离相等， 则CD∥AB, 此时PF= 2AD=√5 此时ADE和aBCE的边长都为2，则AP,PB最小， .PF=3 2=√5， PA=PB=V22+W=万 PA+PB=2√万， 或者如图所示，作点B关于GH对称点B,则PB=PB',则当AP,B三点共线时，AP+PB=AB Q B G 此时AB'=VAB2+BB=V42+(25=2W万 故A选项错误， 根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF=√3，则PE+PF=2V3，,故B选项正 确； △CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4, 即当CD最小时，△CDE周长最小， 如图所示，作平行四边形GDMH,连接CM, G D A B .∠GHQ=60°，∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=120 如图，延长DE,HG,交于点N, 则∠NGD=∠QGH=60°，∠NDG=∠ADE=60° ∴.△NGD是等边三角形， .'ND=GD HM 在△NPD与△HPC中， I∠NPD=∠HPC ∠N=∠CHIP=609 PD=PC ∴.aNPD≌aHPC ∴.ND=CH ∴.CH=MH ∴.∠HCM=LHMC=30 ∴.CM∥QF,则CM⊥DM, .△DMC是直角三角形， G 在△DCM中，DC>DM “当DC=DM时，DC最短，DC=CH=4B=2 .CD=PC+2PC ∴.△CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确： .'aNPD≌aHPC ∴.四边形ABCD面积等于S,ADE+S,EBC+S,DEc=S。ADE+S平行图边NEBH G P B ∴当aNGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C,H重合 四边形ABCD面积的最小值为3xN5x2=35,故D选项正确， 4 故选：A. 二、填空题 7.5 解：：四边形ABCD为平行四边形， AF∥EC, :AE∥CF, :四边形AECF为平行四边形， :CE=AF=AD-FD=5, 故答案为：5. 8.16 解：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, .∠AED=∠A'DE, 由折叠得：∠ADE=∠A'DE, AD=A'D,AE=A'E, ∴∠ADE=∠AED, :AD=AE :AD AE A'D=A'E, :AB-BE CD-A'D :A'C =BE, :四边形A'EBC是平行四边形， .C.IEBc=2(A'C+A'E】 =2(A'C+4'D) =2CD=16. 故答案：16. 9.AD∥BC(答案不唯一) 解：添加条件：AD∥BC, 证明：，AD∥BC, ∴.LDA0=LBC0, 在△AOD和△COB中， ∠DAO=∠BCO AO=CO ∠AOD=∠COB ∴.△DAO≌△BCO(ASA) .AD BC, .四边形ABCD是平行四边形. 故答案为：AD∥BC(答案不唯一) 10.219 解：如图，取AC中点O,连接MO并延长交BC于点N,过A作AG⊥BC于点G,过M作 MH⊥BC于点H,如图所示： A M D ▣ B NG CH LB=60°， .∴.∠BAG=90°-LB=30°， BG=4B=3, .'.AG=AB2-BG2 =33, ,'MN平分四边形ABCD的面积， .MN经过平行四边形ABCD的中心O, :在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8, .AD=BC=8,AD∥BC, .∴.∠AMO=∠CNO,∠MAO=∠NCO, 又A0=C0, .∴.△A0M≌△CON(AAS), ∴.AM=CN, ,AM=6, .CN=6, ∴.BN=BC-CN=2, .AG⊥BC,MH⊥BC, ∴.AG∥MH, 又.'AM‖GH, .∴.四边形AGHM是平行四边形， ..GH=AM =6,MH=AG=33, .NH=BG+GH-BN=3+6-2=7, .∴MN=VNH2+MH2=72+35=29, 即MN的长为219， 故答案为：219. 11.108 解：如图所示， 将点A向下平移至点F,使AF的长等于河宽，将点B向右平移至点G,使BG的长等于河宽： 连接GF,与河岸相交于点E,D;过点D作DD'⊥CD于点D,过点E作EE'⊥CE于点E,则 四边形BGE'E和四边形AFD'D都是平行四边形， ∴.BE=GE,AD=D'F, 当G,E,D,F四点共线时，GE'+DE'+D'F有最小值，即此时AD,DE,EB的路程最短， ,A,B在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米， .点G与点F的东西距离为64-4=40米，南北距离为84-4=80米， .点G与点F的距离为V602+802=100米， .∴这个最短距离是100+4+4=108米， 故答案为：108. 12.①③④ 解：，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,∠ABC=45°=∠DBE,AE=EF,DE=BE,LDEB=∠AEF=LBAC=90°， .'∠DBA=∠DBE-∠ABE,LEBC=LABC-∠ABE,∠AEB=∠AED+∠DEB,∠FED=∠AEF+∠AED, ∴.∠DBA=∠EBC,∠AEB=∠FED,故①正确； ∴.△AEB≌△FED(SAS), ∴.AB=DF=AC,∠ABE=∠FDE,∠BAE=∠DFE,故③正确； ∠ABE+∠BHE=90°，∠EFD+∠EGF=90°，LBAE+LEAC=90°，BE>AE, ∴.∠BHE≠LEGF,LEGF=LEAC;故②错误； ∴.DF∥AC, DF=AC, ∴.四边形ADFC是平行四边形， ∴.AD=CF,故④正确； 故答案为①③④ 三、解答题 13.(1)证明：.AB1AC, ∴.∠BAC=90°， .∴.∠ACB=90°-∠B=90°-50°=40°， .∠1=40°， ∴.LACB=∠1， .AD‖BC. (2)解：由(1)得AD∥BC, 又AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠D=LB=50°， ∴.∠D的度数为50°. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D, .AF CE, ∴.AD-AF=BC-CE即DF=BE, 在△ABE与△CDF中， (AB=CD ∠B=∠D, BE=DF ∴.△ABE≌aCDF(SAS; (2)添加AF=BE(答案不唯一) 如图所示，连接EF, A ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,即AF∥BE, 当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形. 15.(1)证明：：∠ACB=90°，AC=BC, .∴∠A=∠B=45o(等边对等角). :DE∥BC, :LADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）. ∠A=∠AED, AD=DE(等角对等边). FC=AD, :DE FC 又：DE∥FC, :四边形DFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. (2)解：设AD=DE=FC=x, :DC=AC-AD=2-x, 在Rt△DEC中，LDCE=30°， :EC=2DE=2x(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半) :DE2+DC2=EC2(勾股定理)， ∴x2+(2-x)=(2x),解得x=3-1,x2=-5-1（舍去)， FC=V3-1. 16.(1)证明：，点0为AB的中点 0A=0B, .AE∥BC ∴.∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BD0, 在△AEO和△BD0中 ∠EAO=∠OBD ∠AEO=∠BDO OA=OB ..△AEO≌△BDO(AAS), ∴.AE=BD .AE∥BD .四边形AEBD是平行四边形； (2)证明：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形， 理由如下： AB=AC,点D是BC边上的中点， .∴.AD⊥BC即∠ADB=90°， 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， ∴.四边形AEBD是矩形.