21.2.3 三角形的中位线-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

数学 八年级下册（人教版） 21.2.3 三角形的中位线 知识梳理①形成联系 -卡多多 【知识点】 ◎连接三角形两边 的线段叫作三角形的中位线 ©三角形的中位线 三角形的第三边，并且等于第三边的 1.如图21.2-12，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC的中点， 连接AE,DE.下列线段中，是△ABC的中位线的是（) A.DE B.AE C.CE D.AD B 2.如图21.2-13，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成 图21.2-12 一个△ABC,跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E,F分别为AB, AC的中点)，若EF=35cm,则点B距离地面的高度为() A.80 cm B.70 cm C.60 cm D.50 cm 图21.2-13 3.下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明. 三角形中位线定理：三角形的中位线平 方法一 方法二 行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 证明：如图2，延长DE 证明：如图3，过点E 已知：如图1，△ABC中，D,E分别是边到点F,使EF=DE,连接作EF∥AB交BC于点F, AB,AC的中点求证：DE/BC,DE=号BC FC,DC,AF. 过点A作AG∥BC交直线EF 于点G 图1 图2 图3 图21.2-14 函 四边形 第二十一章 例题点拨Q素养导向 【例】如图21.2-15，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. 图1 图2 图21.2-15 ()如图1，BE的延长线与AC边相交于点D,求证：EF=(AC-AB). (2)如图2，写出线段AB,AC,EF的数量关系，并证明你的结论. 【点拨】(1)先证明AB=AD,根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED,根据三角形 的中位线定理即可解决问题.(2)根据等腰三角形的三线合一及三角形的中位线定理即可解 决问题， 夯实四基达标闯关 1.如图，为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离，在地面上 确定点O,分别取OA,OB的中点C,D,量得CD=12m,则A,B之 间的距离是(） 0 A.48m B.24m C.12m D.6m 第1题图 55 口数学 八年级下册（人教版） 2.如图，在△ABC中，AB=BC=10,BD平分∠ABC交AC于点D, 点F在BC上，且BF=4,连接AF,点E为AF的中点，连接DE,则 DE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，DE为△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F, 第2题图 若EF=2,BC=10,则AB的长为() A.5 B.6 C.8 D.9 4.如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N, 若AB=7,MN=3,则AC的长为() A.14 B.13 C.12 D.11 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在四边形ABCD中，P是对角线AC的中点，E,F分别为AD,BC的中点， AB=DC,∠PEF=18°，则∠EPF的度数为 6.如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O.若BC=8,则OD= 7.如图，在△ABC中，中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.连接DF, FG,EG,DE.求证：DF=EG 第7题图 5® 四边形 第二十一章 能力提升坤综合拓展 8.如图，点E为口ABCD的对角线AC上一点，AC=9,CE=2, 连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF的长为() A号 B.5 c号 D.7 第8题图 9.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，EF⊥AC于 点F,G为EF的中点，连接DG (1)求EF的长. (2)求DG的长 E 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024广安)如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC的 中点，若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度数为() A.45° B.50° C.60° D.65 11.(2025·资阳)三角形的周长为48cm,则它的三条中位线组成 的三角形的周长是() 第10题图 A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm ⑦参 考答案 8.2 21.2.2平行四边形的判定（第二课时） 9.证明：四边形ABCD是平行四边形，BC∥ 【知识点】平行相等 AD,BC=AD=5,.∠D=∠FCE.E是CD的中点 【例】(1)证明：.△ABC是等边三角形， ∠D=∠FCE, ∠ABG=60°.∠EFB=60°，∴.∠ABC=∠EFB DE=CE,在△ADE和△FCE中， DE=CE, .EF∥DC.EF=DC,.四边形EFCD是平行四 ∠AED=∠FEC, 边形 △ADE≌△FCE(ASA),.∴FC=AD=5,'BF=BC+FC=5+ (2)解：连接BE,如 5=10. 图所示.BF=EF,∠EFB= 21.2.2平行四边形的判定（第一课时） 【知识点】平行相等相等互相平分 60°，.△EFB是等边三角 1.C2.A3.C 形，EB=EF,∠FBE=60° .DC=EF,EB=DC·.△ABC D 【例1】c 是等边三角形，∴.∠ACB= 例题答图 【例2】证明：AC⊥BE,AC⊥DF, ∠BEO=∠DFO=90°.在△BE0与△DFO中， 60°，AB=AC,∴.∠ABE=∠ACD.在△MEB和△MDC EB=DC. ∠EOB=∠FOD. ∠BEO=∠DFO,.∴.△BEO≌△DFO(AAS) 中， ∠ABE=∠ACD,∴.△AEB≌△ADC(SAS), AB=AC. BE=DF, .AE=AD=6. .E0=FO,BO=D0.又.AF=CE,.∴AF-FO=CE- E0,,AO=C0.又：BO=D0,四边形ABCD是 1.B2.C3.C4.1或95.BE=DF 6.证明：四边形ABCD是平行四边形，AB∥ 平行四边形 CD,AB=CD.CD=DE,AB=DE,.四边形ABDE是 1.C2.C3.B4.两组对边分别相等的四边形 平行四边形 是平行四边形5.2 7.①② 6.证明：AB∥CD,.∠ABO=∠CDO,在△ABO 8.(1)证明：选择①或②，证明如下：选择①， I∠ABO=∠CD0, ∠B=∠AED,.BC∥DE.AB∥CD,.四边形BCDE 与△CD0中，B0=D0, .△ABO≌△CDO 为平行四边形.选择②，AE=BE,AE=CD,BE=CD. ∠AOB=∠COD. AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形. (ASA),.OA=OC,四边形ABCD是平行四边形. (2)解：由(1)可知，四边形BCDE为平行四 7.证明：(1)AD∥BC,.AF∥EC.又AE∥ CF,.四边形AECF是平行四边形 边形，DE=BC=10.AD⊥AB,.∠A=90°，·AE= (2)由(1)知，四边形AECF是平行四边形，则 VDE-AD-V10-8=6,即线段AE的长为6. ∠EAF=∠FCE,∠AEC=∠AFC.:∠BAE=∠DCF, 21.2.3三角形的中位线 ∠AEC=∠B+∠BAE,∠AFC=∠D+∠DCF,.∠BAD= 【知识点】中点平行于一半1.A2.B ∠DCB,∠B=∠D,.四边形ABCD是平行四边形 3.证明：选择方法一.·在△ABC中，E是 ∠EAO=∠DCO, 边AC的中点.AE=CE.在△AED和△CEF中 8.证明：在△AOE和△COD中 ∠DOC=∠EOA, AE=EC, AO-CO. ∠AED=∠CEF,∴.△AED≌△CEF(SAS),∴.CF= .△AOE≌△C0D(ASA),.0D=0E.A0=C0,.四 DE-EF 边形AECD是平行四边形. AD,∠DAE=∠FCE,∴.CF∥AB.点D是边AB 9.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 的中点，∴AD=DB,∴.CF=DB,.四边形DBCF为 AB∥CD.即AB∥DE.·.AE∥BD..·.四边形ABDE 是平行四边形. 平行四边形，DF=BC,DF∥BCDB=号DF (2)解：EF LBC,∴.∠EFC=90°.AB∥EC,∴. ∠ECF=∠ABC=60°，∠CEF=30°.CF=V5,.CE= DE-BC.DE//BC. 2CF-2V5.·.四边形ABCD和四边形ABDE都是平行 选择方法二.FG∥AB,AG∥BF,.四边形 四边形，AB=CD=DE,.CE=2AB,AB=V5 ABFG为平行四边形，AB=GFD,E分别是边 10.D AB,AC的中点，DB=号AB,EG=号AG=AE 数学 八年级下册（人教版） AG∥BC,.∠G=∠EFC,∴.△AEG≌△CEF: EC=2.EF⊥AC于点F,∠C=60°，∴.∠FEC=30°， (AAS),.AG=CF,EG=EF,..BD=EF..BD// ∠DEF∠EFC90P,fC=EC=l,放EF=V2TF EF,.四边形BDEF为平行四边形，.DE=BF, DE∥BF.在△ABC中，E是边AC的中点，AE V3. CE.AG∥BF,∴∠AGE=∠CFE,即在△AEG和 (2)G为EF的中点，EG=Y5,DG= ∠AGE=∠CFE, △CEF中， ∠AEG=∠CEF,∴.△AEG≌△CEF 、 vc-24于Y 2 AE=CE, 10.D11.B (AAS),∴AG=CF.又AG=BF,∴AG=CF=BF, 21.3特殊的平行四边形 BFBC,DE=BC.DE=号BC,DE∥BC 21.3.1矩形（第一课时） 【例】证明：（1)如图1,4E⊥BE, 【知识点1】直角 【知识点2】直角相等1.A2.C3.B ∠AED=∠AEB-90°，.∴.∠BAE+∠ABE-90°，∠DAE+ 【知识点3】一半C ∠ADE=90°.∠BAE=∠DAE,∴.∠ABE=∠ADE, ∴AB=AD.AE⊥BE,BE=DE.BF=FC,EF= 【例1】D 【例2】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， IDC=1(AC-AD)=1(AC-AB). .AD∥BC,∠ABE=90°，∴.∠DAF=∠AEB.,DF⊥ AE,∴.∠DFA=90°，.∠ABE=∠DFA.在△MDF ∠AFD=LEBA, 和△EAB中 ∠DAF∠AEB,∴.△ADF≌△EAB AD-EA, 图1 (AAS),..AF=EB. 2)结论：F号(M-AG (2)解：四边形ABCD是矩形，BC=5, CD=3,AD=BC=5,AB=CD=3,∠B=90°.AD= 理由如下：如图2，延 4E,ME=5,.BE=VA-AB2=V52-3=4.由 长AC交BE的延长线于点P (1)知，AF=BE,∴AF=4,.EF=4E-AF=5-4=1, AE⊥BP,∴.∠AEP=∠AEB= 即EF的长是1. 90°，.∠BAE+∠ABE=90, 【例3】D解析：如 ∠PAE+∠APE=90°..∠BAE= B 图，连接AFAB=AD,F ∠PAE,∴∠ABE=∠APE, 图2 是BD的中点，AF⊥BD. ∴AB=APAE⊥BP,BE=PE 例题答图 在Rt△MCF中，∠AFC= -G.(AP-AC)-(AB-AC). 90°，E是AC的中点，EF 2 3,4C=2EF6.故选D. 例3题答图 1.B2.B3.B4.B5.144°6.2 7.证明：BE,CD都是△ABC的中线，DE是 1.B2.A3.B4.C5.V106.V27.4 △ABC的中位线，DE∥BC,DE=BCE,G分别 8.(1)证明：：AE⊥BD,CF⊥BD,∠AEF= ∠CFE=∠AEB=∠DFC=90°，.AE∥CF四边形ABCD 是0B,0C的中点，fc∥BC,FG=BC,DE∥FG 是矩形，，AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=LFDC.在△ABE ∠ABE=∠FDC, 且DE=FG,.四边形DEGF是平行四边形，.DF=EG. 和△CDF中， ∠AEB=∠DFC,..△ABE≌△CDF 8.B AB-CD, 9.解：(1)连接DE,: (AAS),AE=CF,.四边形AECF为平行四边形 在边长为4的等边三角形ABC (2)解：四边形ABCD是矩形，AC=2AO. 中，D,E分别为AB,BC的中 .AE 1BO,BE =EO,.AO=AB=1,.AC=2,..BC= 点，DE是△ABC的中位线， DE=2,且DE∥AC,BD=BE= E VAC2-AB=V22-12=V3. 第9题答图 9.(1)解：：四边形ABCD是矩形，.∠BAD= 68