第11章因式分解 单元训练2025-2026学年青岛版数学七年级下册

第11章因式分解综合专练 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列从左到右的变形，是因式分解的是() A.(x+4)x-4=x2-16 B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.a'b+ab2=ab(a+b) D.41=+到 2.(x+y-z)x-y+z与(y+z-x)(z-x-y)的公因式是() A.x+y-z B.x-y+z C.y+Z-x D.不存在 3.下列各式：①-x2-y2,②1-d2b2,③a2+b+b2;④x2+2y+y:⑤x2-x+ 4,可 以用公式法分解因式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.若x2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b),那么a+b的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.如果a-b=3,ab=10,那么a2b-ab2的值是() A.-30 B.-13 C.13 D.30 6.将a4-2a2+1分解因式，所得结果正确的是() A.a2a2-2+1 B.a2-2j(a2+1 C.(a2-1) D.(a-1)2(a+1)2 7.计算--}0〔-0)的雀是() A.202 2022 B删 C.011 4042 D. 8.小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y, x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将 (x2-y2)a2-(x2-y2)b2彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.我爱美B.中国美 C.我爱中国 D.中国美丽 9.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc-b2+ab的值是() A.2 B.-2 C.15 D.-15 试卷第1页，共3页 a 4+3a22 b2 10.若a,b,c为实数，则方程组 9+26=4解的情况为() c2+112 A.恰有1组解B.恰有2组解 C.有无数组解 D.无实数解 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.己知m-n=3,则m2-n2-6n=· 12.若M(3x+4y)=6x2-7xy-20y2,则M= 13.在括号内填入适当的单项式，使多项式x2-y2+x+()能因式分解，共有种填法. 14.如果x2+ax-6可分解为x+b)(x+2),则b= 15.若a,b,x,y满足ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,则y的值 为 16.设a,b,C,d都是正整数，且，，c-a=19,则d+b=_ 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由. (1)a2-2a+1=aa-2+1; (2)x2+5x-6=(x-1)(x+6): 3)m+4=m1+4 （m 18.把下列各式分解因式： (1)-9m2n+27mn2-18mn; (2)9a2(x-y)2-3a(y-x)3: (3)2x+y)(2y-x-2xx-2y): (4)am-2n+(3a+2b)(m-2n. 19.完成下面各题： (1)若二次三项式x2-5r+6可分解为(x-2)(x+a,求a的值. (2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为2x-1)(x+c),求b、c的值. 试卷第1页，共3页 20.因为(x+a(x+b)=x2+(a+b)x+ab,又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3,利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式：x2-11x+18; (2)分解因式：x2-2x-15. 21.用简便方法计算： (1)10.12-2×10.1×0.1+0.01: (2)2022+202×196+982. 22.阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：x2+4x+3. 解：原式=x2+4x+4-4+3 =(x+2)2-1 =(x+2+10(x+2-1) =(x+3)(x+1). 上述因式分解的方法称为配方法， 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)x2-6x-7; (2)9x2+12x-5. 23.对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： x2-2ar-3a2=x2-2ax+a2-a2-3a2=(x-a2-4a2=(x-a）2-(2a =（x-a+2ax-a-2a=(x+a)(x-3a,像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法.请用 以上方法分解因式： (1)x2+2ax-15a2: (2)x+x2+1. 24.若x满足（9-x)x-4)=4,求(4-x)+(x-9)的值. 解：设9-x=a,x-4=b,则9-x)(x-4=ab=4,a+b=(9-x+(x-4)=5. .(9-x2+(x-4)2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17 请仿照上面的方法求解下面问题： 试卷第1页，共3页 N R A H D M G B X (1)若x满足(5-x)x-2)=2,求(5-x)+x-2的值. (2)若x满足(6-x(3-x)=1,求代数式[(6-x+3-x]的值. (3)己知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点，且AE=3,CF=5,长 方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积. 试卷第1页，共3页 第11章因式分解综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 2．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 3．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 4．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 5．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 6．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 7．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 8．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【分析】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【详解】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 9．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 10．若a，b，c为实数，则方程组解的情况为（        ） A．恰有1组解 B．恰有2组解 C．有无数组解 D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查的是方程组的解法，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，分两种情况讨论：当时，方程有1组解；当时，方程化为，再把三个方程相加，结合完全平方公式进一步解答即可． 【详解】解：当时，方程有1组解； 当时， ∵，则， ∴， ∴三个方程相加：， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； 综上：方程有2组解； 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知，则______． 【答案】 9 【分析】利用平方差公式对原式分解变形，再代入已知条件化简整理，即可得到结果． 【详解】解： ， 将代入得， ∴原式． 12．若，则________． 【答案】 【分析】将原式因式分解即可求解． 【详解】解：将原式用十字相乘法因式分解：， 则． 13．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 _____种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 14．如果 可分解为， 则 ___________________________ 【答案】 【分析】本此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，负整指数幂，熟练掌握多项式乘多项式和负整指数幂的法则是解本题的关键． 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，再将a和b的值代入到中计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ∴ 解得，， ∴， 故答案为：． 15．若满足，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是整体代换的思想． 由得到，，代入中得，同理由得到，，代入中得，再联立方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．① ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．② 得． 16．设，，，都是正整数，且，，，则______． 【答案】 【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解． 【详解】解：设，（，为正整数）， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为质数，，，为正整数， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 18．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 20．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 【答案】(1)) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 22．阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 23．对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 24．若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)28 【分析】（1）设，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （2）设，，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （3）根据阴影部分的面积，设，，得，，把化为，代入有关的值计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $