精品解析：2026年河南省决胜中招模拟试卷（五）数学

2026年河南决胜中招模拟试卷（五） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 某网站消息：年月日至日，全国乘用车市场零售量为万辆，较上月同期增长．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是某博物馆收藏的石鼓，下面关于石鼓的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将如下三个成语书写在三张无差别的卡片上，卡片置于暗箱中摇匀后，随机抽取两张，两张卡片上的成语都是不可能事件的概率为（） A. B. C. D. 9. 李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的值可以是________．（写出一个即可） 12. 某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．这名学生会炒的菜品数量的众数为________． 13. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 14. 如图所示，在中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，点为矩形的对角线上异于，的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接，．若，，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2 已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： （1）依据题意，可得________，________； （2）已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； （3）若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 18. 如图，的顶点O与原点重合，边在x轴的正半轴上，且点，，反比例函数的图象经过对角线的中点P． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，已知线段的垂直平分线分别交于点D，E，求的值． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 某校园创业社团为参加“校园文创义卖节”，设计了基础款和限定款两种风格的卡通徽章用于义卖．每套基础款卡通徽章的成本比每套限定款卡通徽章的成本低元，采购套基础款卡通徽章与套限定款卡通徽章的总费用为元． （1）求每套基础款和每套限定款卡通徽章的成本价； （2）该社团决定将基础款、限定款卡通徽章的销售单价分别定为元和元．此次义卖计划共售出套卡通徽章，且基础款卡通徽章的销售量不少于限定款卡通徽章的，那么此次义卖的总利润最高是多少元？ 21. 河南登封嵩岳寺塔（图）是中国现存最古老的砖塔．某校研学小组借助斜坡测量塔的高度，如图，坡长，坡角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） （1）________度，________度； （2）求嵩岳寺塔的高度（结果精确到）．（参考数据：） 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值； （3）连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围． 23. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为点，的度数为． （1）【问题解决】如图，若，则的度数为________，的值为________； （2）【问题探究】如图，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图，若，，交于点，点在线段上，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南决胜中招模拟试卷（五） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 某网站消息：年月日至日，全国乘用车市场零售量为万辆，较上月同期增长．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：万． 3. 如图所示的是某博物馆收藏的石鼓，下面关于石鼓的三视图的描述，正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义，分别确定该几何体的主视图、左视图和俯视图的形状，然后进行比较即可． 【详解】解：该石鼓形状近似圆柱， ∴其主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆， ∴石鼓的主视图和左视图相同． 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直尺的对边， ∴． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式即可判断根的情况． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得 ． ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式通分、除法法则和约分的知识求解即可． 【详解】解：先对括号内的式子通分： ，， ∴原式 ． 7. 如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 将如下三个成语书写在三张无差别的卡片上，卡片置于暗箱中摇匀后，随机抽取两张，两张卡片上的成语都是不可能事件的概率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断三个成语所代表的事件类型，确定不可能事件的个数，然后利用列举法求出从三张卡片中随机抽取两张的所有可能结果数，以及两张都是不可能事件的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设三张卡片分别为（画饼充饥）、（守株待兔）、（水中捞月）， 由“画饼充饥”和“水中捞月”在现实中无法实现，属于不可能事件，“守株待兔”可能发生也可能不发生，属于随机事件， 则不可能事件的卡片有、两张从三张卡片，随机抽取两张，所有可能出现的结果如下：，，，，，， ∴共有种等可能的结果其中两张卡片上的成语都是不可能事件的结果有，，共种， ∴两张卡片上的成语都是不可能事件的概率． 9. 李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 10. 你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图2所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图象逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：由图2可知，当时，，故A正确； 对于选项B：由图3可知，当时，，故B正确； 对于选项C：结合图2和图3可知，和均随的增大而增大，故C正确； 对于选项D：由图3可知，与的关系不是线性的，因此每增加，的增加量都是不同的，故D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数列出不等式，求解得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一）． 12. 某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图．这名学生会炒的菜品数量的众数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形统计图求出各部分所占的百分比，占比最大的数据即为众数． 【详解】解：由图可知，学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为； 学会炒4道菜品的人数所占比例为：； ∵， ∴学会炒道菜品的人数最多， ∴这名学生会炒的菜品数量的众数为． 13. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别探究分子和分母随序号的变化规律，归纳总结即可得到第个式子的表达式． 【详解】将已知式子按顺序从1开始编号： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， 当时，第4个式子为， ... 依此类推，可得第个式子为． 14. 如图所示，在中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出，再由勾股定理求出，从而求得，，．即可由阴影面积求解． 【详解】解：由弧长公式得，， 解得． 在中，，， ∴． ∴， ， ． ∴阴影面积． 【点睛】本题考查弧长公式，勾股定理，不规则图形的面积，扇形的面积，三角形的面积，求出是银题的关键． 15. 如图，点为矩形的对角线上异于，的一个动点，过点作于点，点为点关于的对称点，连接，．若，，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据矩形性质和勾股定理求出的长，由轴对称性质可得，，分和两种情况进行讨论，利用同角的余角相等证明，列出比例式求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，点为点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 设，则， 当时，如图所示： ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，此时点在的延长线上， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 本题依次计算有理数乘方、化简绝对值、计算二次根式乘法，最后进行加减运算即可得到结果； （2）本题先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2 已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： （1）依据题意，可得________，________； （2）已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； （3）若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）3，3 （2）中位数为8.5 补全条形统计图为： （3） 优秀率高的年级平均成绩不一定高，理由如下： 七年级的优秀率为：，八年级的优秀率为：， 此时七年级的优秀率高； 七年级的平均成绩：；八年级的平均成绩：， 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出八年级得分9分和8分的人数，即可补全条形统计图，再由中位数的性质求解中位数； （3）分别计算两个班级的优秀率和平均成绩，即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的平均数为8.5， ∴第5个数据为8，第6个数据为9， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得，八年级得9分的人数为， ∴八年级得8分的人数为， 由条形统计图可得第5个数据为8，第6个数据为9， 故中位数为； 【小问3详解】 解：略． 18. 如图，的顶点O与原点重合，边在x轴的正半轴上，且点，，反比例函数的图象经过对角线的中点P． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，已知线段的垂直平分线分别交于点D，E，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合平行四边形的性质可得，进而可得，将的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案． （2）由勾股定理及线段垂直平分线的定义可得，再结合已知条件证明，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 四边形为平行四边形， ， ∵， ， 点为的中点， ， 反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 如图，连接， 由题意得，为的中点，， ∴ ，， 轴，， 由勾股定理得，， 为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，即， 解得， ． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作的切线． （2） 证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校园创业社团为参加“校园文创义卖节”，设计了基础款和限定款两种风格的卡通徽章用于义卖．每套基础款卡通徽章的成本比每套限定款卡通徽章的成本低元，采购套基础款卡通徽章与套限定款卡通徽章的总费用为元． （1）求每套基础款和每套限定款卡通徽章的成本价； （2）该社团决定将基础款、限定款卡通徽章的销售单价分别定为元和元．此次义卖计划共售出套卡通徽章，且基础款卡通徽章的销售量不少于限定款卡通徽章的，那么此次义卖的总利润最高是多少元？ 【答案】（1）每套基础款卡通徽章成本为元，每套限定款卡通徽章成本为元； （2）此次义卖的总利润最高是元． 【解析】 【分析】（）设每套基础款卡通徽章的成本为元，则每套限定款卡通徽章的成本为元，根据题意得 ，然后解方程即可； （）设售出基础款卡通徽章套，则售出限定款卡通徽章套，总利润为元，则总利润 ，然后求出，再通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每套基础款卡通徽章的成本为元，则每套限定款卡通徽章的成本为元， 根据题意，得 ， 解得， 则， 答：每套基础款卡通徽章成本为元，每套限定款卡通徽章成本为元； 【小问2详解】 解：设售出基础款卡通徽章套，则售出限定款卡通徽章套，总利润为元，基础款单套利润为（元），限定款单套利润为（元）， ∴总利润 ， 根据题意，基础款销售量不少于限定款的，可得， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，取得最大值， 将代入得（元）， 答：此次义卖的总利润最高是元． 21. 河南登封嵩岳寺塔（图）是中国现存最古老的砖塔．某校研学小组借助斜坡测量塔的高度，如图，坡长，坡角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） （1）________度，________度； （2）求嵩岳寺塔的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1），； （2）嵩岳寺塔的高度约为． 【解析】 【分析】（）由题意得，，，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理即可求解； （）过点作的延长线于点，延长，交于点，证明四边形是矩形，则，，然后通过解直角三角形的有关计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作的延长线于点，延长，交于点， 在中，，， ∴， 由题意得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：嵩岳寺塔的高度约为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值； （3）连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法直线解析式为，设，则，可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）利用待定系数法求出平移前线段的解析式为，可得平移后线段的解析式为，由二次函数的对称性可得点的对称点为，再分别求出当线段经过和时对应的值，结合图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴设，则， ∴ ， ∴当时，取最大值为； 【小问3详解】 解：设平移前线段的解析式为， 代入得， 解得：， 平移前线段的解析式为， ， 抛物线对称轴为， 点关于对称轴的对称点， 线段向右平移个单位长度， 平移后线段的解析式为， 当平移后线段经过，则， 解得：， 当平移后线段经过，则， 解得：， 结合图象得，若线段与抛物线无交点，的取值范围为或． 23. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为点，的度数为． （1）【问题解决】如图，若，则的度数为________，的值为________； （2）【问题探究】如图，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图，若，，交于点，点在线段上，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） 的值不会发生变化，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，则有，通过角平分线定义可得平分，，设，则，再由解直角三角形即可求解； （）延长交的延长线于点，证明，所以，再证明，所以，从而可得； （）过点作，分别交，于点，，则有四边形是矩形，所以，，然后证明，所以，又点是的中点，得，是中位线，根据中位线定理可得，再证明，所以，设，则，所以，，由勾股定理得，即，解得，再通过线段的和与差即可求出线段的长为． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图，过点作，分别交，于点，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴，是中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设则， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴， ∴线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $