精品解析：河南南阳市镇平县2026年春季期九年级中招模拟训练数学试卷（三）

2026年春期九年级中招模拟训练 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用“正数大于0，0大于负数”的比较规则即可得出结果． 【详解】∵ 是正数，根据实数大小比较规则，正数大于0，0大于所有负数， ∴ ， ∴ 最大的数是． 2. “强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 复 B. 兴 C. 有 D. 我 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 3. 长江年径流量约为960000000立方米，将数据“960000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，确定符合要求的和指数的值即可得到结果． 【详解】解：∵把原数变为时，小数点向左移动位，得到满足， ∴，即． 4. 如图，将一把含角的直角三角板如图放置，点在半圆上，斜边与半圆相交于点，长直角边与半圆相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，即可求解． 【详解】解：∵和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 一定有两个不相等的实数根 B. 一定有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 一定有两个实数根 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，根据判别式的符号判断根的情况，从而得到正确选项． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴判别式， ∵对任意实数，都有，即， ∴方程一定有两个实数根，其中当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程有两个不相等的实数根， 只有D选项符合结论． 6. 如图，四边形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 7. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意推知，结合相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据物理变化的定义判断出4种图案中属于物理变化的有2种，然后列出所有等可能的结果，找出抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵镁条燃烧生成氧化镁，面包发霉生成新物质，均属于化学变化；玻璃破碎、钢条折弯只是形状改变，均属于物理变化， ∴4张卡片中，属于化学变化的有2张，属于物理变化的有2张，设2张化学变化的卡片分别为，2张物理变化的卡片分别为 ， 从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果有：共6种， 其中抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的结果只有这1种， ∴抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为8的正方形的边在轴上，点为边的中点，将沿折叠，点的对应点落在轴上的点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作直线轴，交与点K，交与点H，则，，由正方形的性质得出，， 由折叠的性质得出，，设，，则，，最后由勾股定理建立方程组求解，再结合坐标的特点求解即可． 【详解】解：过点F作直线轴，交与点K，交与点H， 则，， ∵边长为8的正方形的边在轴上，点为边的中点， ∴，， 由折叠的性质得出，， 设，， 则，， 在中，， 即（1） 在中，， 即（2） 联立（1）（2）解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点H的横坐标为1.6， ∵点H和点F的横坐标相同，且在x轴负半轴上， ∴． 10. 如图1，在矩形中，点，分别为，的中点，点为线段上一动点，连接，，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，已知图象最低点的横坐标为2，若图象上点的横坐标为3，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，，设交于点，则四边形为矩形，可得当点，，三点共线时，取得最小值，为的长，由图2得：，，证明，可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如答图1，连接，，，设交于点G， 在矩形中，，，，， ∵点E，F分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，为的长， 由图2得：， ∵图象最低点的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 如答图2，当时，此时， ∴，，即点M的纵坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使为有理数的的值：__________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】若为有理数，可令为非负有理数的平方，找出满足条件的即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，当为非负有理数的平方时，为有理数． 取，此时，，是有理数，符合要求（答案不唯一）． 12. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 【答案】变小 【解析】 【分析】先求出6次成绩的平均数，再根据方差的计算公式计算6次成绩的方差，与原方差比较大小，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得，原次成绩的平均数为 ， 则次成绩的平均数为：， 则次成绩的方差为：， 因为， 所以方差变小． 13. 定义新运算：，则的运算结果是__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题意得，． 14. 如图1所示，半圆的直径的长度为2，是半圆的中点，将扇形向右平移至图2位置，两弧交于点，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点D，先求出，从而求出，再求出，可求出弧和线段以及围成的空白部分的面积，可求出，进而可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接，作于点D． ∵直径为2， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∴弧和线段以及围成的空白部分的面积是：， ∴， ∵， ∴ ∴． 15. 在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题利用直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形的定义分三种情况讨论，通过建立平面直角坐标系表示各点坐标，根据距离公式推导关系，舍去不能构成三角形的情况，计算得到的长． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，令，在轴上，在轴上， 设，， 由得，由中点坐标公式得 ， 由，根据两点间距离公式得：， 整理得，即， 又，故，即①， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时：，， 因此，解得， 代入，故，符合题意； 当时：，，因此，代入得， 此时，与 重合，无法构成三角形，舍去； 当时：，， 因此，即， 整理得， 解得（负值已舍），符合题意． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简计算： （1）计算：． （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了解学生对校园体育社团活动的满意度，某校学生会开展问卷调查，分别从篮球社团、羽毛球社团各随机抽取10名学生，统计他们对社团活动的满意度打分情况（满分10分）： 【数据收集】 篮球社团：10，8，8，7，7，8，8，7，8，9 羽毛球社团：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 篮球社团 8 a 8 0.8 羽毛球社团 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：________，________． （2）从平均数、中位数、众数、方差中，任选两个统计量，对两个社团活动的满意度得分情况进行比较，并做出评价． （3）若对社团活动的满意度评分大于或等于8分的学生占比65%及以上，则该社团可被评为“活力社团”．已知该校篮球社团有60名学生，羽毛球社团有40名学生，该校将两个体育社团合并为体育类综合社团参评，请通过计算说明体育类综合社团能否评为“活力社团”． 【答案】（1）8，9 （2）见详解 （3）能评为“活力社团”，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算和即可； （2）结合不同统计量的意义，对比两个社团的结果给出合理评价； （3）利用样本估计总体，计算综合社团达标人数的占比，和要求占比比较得出结论． 【小问1详解】 解： ，．理由： 将篮球社团得分从小到大排序为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10 ． 10个数据的中位数是第5个和第6个数据的平均数，因此 ． 统计羽毛球社团各得分出现的次数，出现次数最多，因此众数 ； 【小问2详解】 解：答案不唯一，如选取方差和中位数分析： 羽毛球社团方差为， ，因此篮球社团满意度得分波动更小，得分更稳定． 篮球社团中位数为． 羽毛球社团中位数为，，因此羽毛球社团的整体满意度更高； 【小问3详解】 解： 由样本数据，篮球社团10人中评分大于等于8分的有人，羽毛球社团10人中评分大于等于8分的有人． 由此估计篮球社团人中达标人数为 （人）， 羽毛球社团人中达标人数为 （人）． 综合社团总人数为 （人）， ∴总达标人数为  （人）， 达标占比为 ， ∵  ， ∴ 体育类综合社团符合评选要求． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，图中小正方形的边长均为1． （1）请建立适当的平面直角坐标系，使坐标原点为格点，且点在第一象限． （2）在（1）的条件下，反比例函数的图象经过点，求出反比例函数的表达式． （3）在（2）的条件下，作直线，直接写出直线的解析式，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一，正确即可） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系即可； （2）根据所建立的坐标系，确定点D的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求解； （3）利用待定系数法求解即可，画出两个函数的图象，观察图象即可确定范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）中坐标系可得， ∵反比例函数的图象经过点， 代入得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式， 把点D坐标代入得：，解得， ∴， 画出函数的图象如下： 由图象知，当时，． 19. 如图，中，为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，交射线于点，连接、．求证：四边形为菱形． 【答案】（1）解： （2）证明：∵， ∴， 又∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 由（1）知， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）按照尺规作线段的垂线的方法完成即可； （2）先利用证明，从而得，即可得四边形为平行四边形，再由对角线垂直即可得四边形为菱形． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 20. 如图1是郑州某海洋公园摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为，地面上的观察点到点的距离为，平面示意图如图2所示．当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】点A处的座舱到地面的距离约为． 【解析】 【分析】要计算A处到地面的距离，思路是连接半径，作垂线构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求出相关线段长度与角度，进而计算A到地面的垂直距离． 【详解】解：如图①，连接，，过点作，垂足为． 根据题意可知，． 在中，，，即， ， 在中，， ． 与相切， ， ． 在中，， ， ， ， ， 在中，． 答：点A处的座舱到地面的距离约为． 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 280 13 9 27.6 B 240 12 7.5 29.8 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 【答案】（1） 应选用A种食品2份，B种食品3份 （2） 应选用A种食品4份，B种食品2份 【解析】 【分析】（1）设未知数后根据总能量和总蛋白质的摄入量列二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）先根据总质量得到两种食品的总份数，设A食品的份数，根据蛋白质的要求列不等式得到A份数的取值范围，再列出总能量的一次函数表达式，根据一次函数的性质求出能量最低时的份数即可． 【小问1详解】 解：设应选用A种食品份，B种食品份， 根据题意列方程组得  解得 答：应选用A种食品份，B种食品份； 【小问2详解】 解：设选用A种食品份， 每份食品质量为，总质量为，总份数为， B种食品为份 由题意得，  解得， 设总能量为，则 ， 随的增大而增大， 当取最小值时，最小，此时， 答：应选用A种食品份，B种食品份． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）设二次函数图象与轴的正半轴交于点，于轴交于点．将一个含角的直角三角板（，）放置在平面直角坐标系中，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），函数图象如图： （3）点D的坐标为 或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先配方求出顶点坐标，再描点作出函数图象即可； （3）分两种情况讨论，当点在第四象限时，记为，过点作轴于点，利用解直角三角形求解，当点在第二象限时，记作，则，，则点关于点对称，即可求解． 【小问1详解】 解：∵当时，；当时，， ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴顶点为， 列表如下： … 0 1 4 … … 5 0 0 5 … 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：由题意得，分两种情况讨论： 当点在第四象限时，记为，过点作轴于点， 由（1）可得，，而 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 当点在第二象限时，记作，则， ∴点关于点对称， ∴点横坐标为，纵坐标为 ∴ 23. 综合与实践 已知在中，，平分交于点． （1）观察发现 如图①，当时，与的数量关系是__________； 如图②，当时，与的数量关系是__________； （2）问题解决 如图③，，，，求（用含，的代数式表示）． （3）拓展应用 在（2）的条件下，，将绕点旋转，点的对应点为点，连接，直接写出的长度（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）； （2） （3）的长度为m或 【解析】 【分析】（1）当时，过点作于点，可得，由平分，可得，可得，即可得结论；当时，可得，由平分，可得，在中，可得，即可得结论； （2）过点作于点，先证明，可得，由平分，可得，则，即可求解； （3）分顺时针、逆时针旋转两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴在中，． 【小问3详解】 解：如图，当绕点顺时针旋转得到时， 由旋转可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当绕点顺时针旋转得到时， 由旋转可得，，，，， 同理可得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级中招模拟训练 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. “强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 复 B. 兴 C. 有 D. 我 3. 长江年径流量约为960000000立方米，将数据“960000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一把含角的直角三角板如图放置，点在半圆上，斜边与半圆相交于点，长直角边与半圆相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 一定有两个不相等的实数根 B. 一定有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 一定有两个实数根 6. 如图，四边形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，均在网格线的交点上，点是与的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在数学活动课上，老师将4种生活图案制成如图所示的无差别卡片，将卡片置于暗箱中摇匀后随机抽取2张，抽中的2张卡片上的图案都是物理变化的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为8的正方形的边在轴上，点为边的中点，将沿折叠，点的对应点落在轴上的点处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点，分别为，的中点，点为线段上一动点，连接，，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，已知图象最低点的横坐标为2，若图象上点的横坐标为3，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使为有理数的的值：__________． 12. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 13. 定义新运算：，则的运算结果是__________． 14. 如图1所示，半圆的直径的长度为2，是半圆的中点，将扇形向右平移至图2位置，两弧交于点，则图中阴影部分的面积是__________． 15. 在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 化简计算： （1）计算：． （2）化简 17. 为了解学生对校园体育社团活动的满意度，某校学生会开展问卷调查，分别从篮球社团、羽毛球社团各随机抽取10名学生，统计他们对社团活动的满意度打分情况（满分10分）： 【数据收集】 篮球社团：10，8，8，7，7，8，8，7，8，9 羽毛球社团：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 篮球社团 8 a 8 0.8 羽毛球社团 8 8.5 b 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：________，________． （2）从平均数、中位数、众数、方差中，任选两个统计量，对两个社团活动的满意度得分情况进行比较，并做出评价． （3）若对社团活动的满意度评分大于或等于8分的学生占比65%及以上，则该社团可被评为“活力社团”．已知该校篮球社团有60名学生，羽毛球社团有40名学生，该校将两个体育社团合并为体育类综合社团参评，请通过计算说明体育类综合社团能否评为“活力社团”． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，图中小正方形的边长均为1． （1）请建立适当的平面直角坐标系，使坐标原点为格点，且点在第一象限． （2）在（1）的条件下，反比例函数的图象经过点，求出反比例函数的表达式． （3）在（2）的条件下，作直线，直接写出直线的解析式，并写出当时，自变量的取值范围． 19. 如图，中，为的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，交射线于点，连接、．求证：四边形为菱形． 20. 如图1是郑州某海洋公园摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为，地面上的观察点到点的距离为，平面示意图如图2所示．当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A，B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 280 13 9 27.6 B 240 12 7.5 29.8 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A，B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A，B两种食品各多少份？ 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （3）设二次函数图象与轴的正半轴交于点，于轴交于点．将一个含角的直角三角板（，）放置在平面直角坐标系中，直接写出点的坐标． 23. 综合与实践 已知在中，，平分交于点． （1）观察发现 如图①，当时，与的数量关系是__________； 如图②，当时，与的数量关系是__________； （2）问题解决 如图③，，，，求（用含，的代数式表示）． （3）拓展应用 在（2）的条件下，，将绕点旋转，点的对应点为点，连接，直接写出的长度（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $