学易金卷：高二数学下学期第三次月考（苏教版，范围：苏教版选择性必修第二册第6～8章）

**基本信息** 试卷聚焦苏教版选择性必修第二册第6~8章，通过志愿者分配、食堂套餐选择等生活情境及三棱锥外接球、四棱锥截面等立体几何问题，考查空间向量、概率统计等核心知识，体现数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高二阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量位置关系、二项式系数、排列组合（志愿者分配）、条件概率（套餐选择）|基础与中档题结合，第5题分类计数考查逻辑推理，第8题条件概率体现数学应用| |填空题|3题/15分|随机变量、排列（合影站队）、三棱锥外接球轨迹|综合性强，第14题结合体积与外接球求轨迹，考查空间观念| |解答题|5题/77分|选派方案设计、立体几何证明与夹角、二项式定理应用、概率统计（体能测试）、四棱锥综合题|分层设计，19题三问递进考查二面角、线面角及面积范围，培养数学表达与创新意识|

■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A C B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 2．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 3．设，，，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 6．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 7．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 8．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（   ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 11．点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（   ） A．当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是 D．设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，，则________. 13．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. (1)项目组有多少种不同的选派方案？ (2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. (1)求奇数项的二项式系数和； (2)，且，若能被20整除，求的值； (3)求的值. 18．（17分） 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. (1)求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； (3)若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 19．（17分） 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 2．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 3．设，，，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 6．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 7．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 8．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（   ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 11．点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（   ） A．当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是 D．设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，，则________. 13．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. (1)项目组有多少种不同的选派方案？ (2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. (1)求奇数项的二项式系数和； (2)，且，若能被20整除，求的值； (3)求的值. 18．（17分） 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. (1)求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； (3)若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 19．（17分） 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第二册第6~8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 2．展开式中的二项式系数和为512，则展开式常数项为（   ） A．84 B．28 C．28 D．84 【答案】D 【详解】因为展开式中所有二项式系数和为，所以，解得， 二项展开式的通项为， 令，即， 所以展开式中的常数项为 . 3．设，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，，， 所以，所以. 4．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 5．育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有种. 6．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 【答案】B 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 7．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 8．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求出,再由求出，最后利用即可求解. 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A根据排列组合数计算判断；B举反例说明即可；C应用组合数的性质得，再应用裂项相消法计算判断；D根据组合数公式分析判断. 【详解】A：由，故A正确； B：例如，则，即，故B错误； C：由，且， 所以，故C正确； D：因为，故D正确； 10．某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目．在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择．设事件“甲选打球”，“甲选唱歌”，“乙选跳舞”，则（   ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】BD 【详解】对于A，甲可以同时选打球和唱歌，，故与不互斥，故A错误， 对于B，先从4个项目中选择个给其中一个人，有种选法， 再将这个项目与另外两个项目全排列，分给甲、乙、丙3名学生，有种排法， 根据分步乘法计数原理可得总的样本数为种, 甲只选唱歌，此时从剩下个项目给乙、丙，有种； 甲只选唱歌和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给乙、丙，共有种，故，故B正确， 对于C，乙只选跳舞，此时从剩下个项目给甲、丙，有种； 乙选跳舞和另外一个项目有种，此时从剩下个项目给甲、丙，有种，故， 甲选唱歌且乙选跳舞，此时有种情况，， ，故与不相互独立，故C错误， 对于D，，故D正确. 11．点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（   ） A．当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是 D．设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知C错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知D正确. 【详解】对于A，当点在面上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长， 所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确， 对于B，因为,故与所成角等于与所成角，连接，易知为等边三角形，如下图： 与夹角为，当为中点时，,夹角为，故夹角的取值范围为,B正确， 对于C，易知与平面所成的角均为，如下图所示： 只需保证点在线段上运动即可， 当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可， 此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧， 因此可知点的运动轨迹长度为，即C错误； 对于D，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图： 易知,设, 则 由，得，故, 的长度， 代入，得，当时，最小，最小值为，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，，则________. 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 13．某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 【答案】 【分析】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位，先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数，利用间接法可得结果. 【详解】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位， 先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，将甲和乙捆绑，则甲、乙两人可排在号或号或号或号位， 所以甲、乙必须相邻的排法种数为， 接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数， 则甲、乙排在号或号位，有种排法， 丙、丁排在号或号位，有种排法， 或者丙、丁排在号或号位，甲、乙排在号或号位，剩余两人有种排法， 此时不同的排法种数为种， 由间接法可知队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数为种. 14．在三棱锥中，已知，，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则动点的轨迹长度为____________． 【答案】 【分析】先根据外接球的体积求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积求得点到平面的距离，得到点在平行于平面的平面上，然后求得外接球球心到平面的距离，进而得到外接球球心到点所在的平面的距离，得到点的轨迹是圆即可. 【详解】如图所示，设三棱锥外接球的半径为， 则由外接球的体积为，解得． 因为，，，所以， 所以，所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上． 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为， 即，所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得， 所以点的轨迹为以为半径的圆，故动点的轨迹长度为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 从包含3名工程师和5名数据分析师的团队中，选派4人组成一个项目组，要求项目组中工程师不少于1人，数据分析师不少于2人. (1)项目组有多少种不同的选派方案？ (2)现将项目组4人分配到“算法开发”和“模型测试”两个不同岗位，每岗至少1人，且工程师不能都去同一个岗位，求有多少种不同的分配方案. 【答案】(1)60 (2)660 【分析】（1）结合题意分选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师两种情况求解即可； （2）结合（1）分两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师， 若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 综上：项目组有60种不同的选派方案. （2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师， 若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师， 若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 综上：有种不同的分配方案. 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17．（15分） 已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. (1)求奇数项的二项式系数和； (2)，且，若能被20整除，求的值； (3)求的值. 【答案】(1)2048 (2)19 (3)25 【分析】（1）使用二项式系数的性质求解； （2）使用二项式定理求解； （3）将展开后求导，使用赋值法求解. 【详解】（1）因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得， 所以奇数项的二项式系数和为：. （2）由（1）知，则， 由二项式定理可得， 除了第一项外，其余各项都能被20整除， 若能被20整除，则能被20整除， 又因为，且，所以，解得. （3），求导得 ，令，则 ，， 所以. 18．（17分） 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. (1)求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； (3)若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）随机变量的取值为，，，，，，，分别计算概率，利用期望公式即可求解； （3）分为最后一个学生为高一学生和最后一个学生为高三学生两种情况，分别求出符合题意的排序情况，再求出总的排序情况，根据古典概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件：第号学生为高一学生， 则 . （2）根据题意，随机变量的取值为，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 9 10 所以. （3）①若最后一个学生为高一学生，有种方法， 先将全部高三学生排在此高一学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高一学生一个一个地排入，共有种方法. 综上所述， 共有种方法； ②若最后一个学生为高三学生，有种方法， 先将全部高一学生排在此高三学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高三学生一个一个地排入，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）有种方法， 所以所要求的概率为. 19．（17分） 如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，； (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再结合二面角为钝角的条件计算即可； （2）通过设参数表示点的坐标，利用向量法计算线面角，即可判断存在性并求线段比例； （3）用参数表示的坐标，再表示面积即可求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以，则， 所以； （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以 设， 则， 到的距离为， 所以的面积为 ， 对固定的，关于在上二次函数， 可以趋近一条直线，所以面积无最小值， 当时，面积取得最大值， 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C B C B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 13．128 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题意可得，选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师或2名工程师和2名数据分析师， 若选派4人中可以有1名工程师和3名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 若选派4人中可以有2名工程师和2名数据分析师，此时有种不同的选派方案； 综上：项目组有60种不同的选派方案.（6分） （2）若选派4人中有1名工程师和3名数据分析师， 若3名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若3名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 若选派4人中有2名工程师和2名数据分析师， 若2名数据分析师分配到同一岗位，结合题意，此时有种不同的分配方案， 若2名数据分析师按照分配到两个不同的岗位，此时有种不同的分配方案； 综上：有种不同的分配方案.（13分） 16．（15分） 【解析】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面.（7分） （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得， 所以奇数项的二项式系数和为：.（3分） （2）由（1）知，则， 由二项式定理可得， 除了第一项外，其余各项都能被20整除， 若能被20整除，则能被20整除， 又因为，且，所以，解得.（9分） （3），求导得 ，令，则 ，， 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设事件：第号学生为高一学生， 则 .（4分） （2）根据题意，随机变量的取值为，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 9 10 所以.（10分） （3）①若最后一个学生为高一学生，有种方法， 先将全部高三学生排在此高一学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高一学生一个一个地排入，共有种方法. 综上所述， 共有种方法； ②若最后一个学生为高三学生，有种方法， 先将全部高一学生排在此高三学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高三学生一个一个地排入，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）有种方法， 所以所要求的概率为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以，则， 所以；（5分） （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且.（10分） （3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以 设， 则， 到的距离为， 所以的面积为 ， 对固定的，关于在上二次函数， 可以趋近一条直线，所以面积无最小值， 当时，面积取得最大值， 故.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $