19.3 二次根式的加法与减法 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

19.3 二次根式的加法与减法 数学　八年级下册 二次根式的加减法 数学　八年级下册 合并同类二次根式 同类二次根式相加减可类比合并同类项： 探究 合并同类项 合并同类二次根式 举例 3x＋2x＝(3＋2)x＝5x 3 ＋2 ＝(3＋2) ＝5 法则 字母及指数不变，系数相加 根式不变，系数相加 数学　八年级下册 1. 计算： (1)3 ＋4 ＝ ； (2)－ ＋2 ＝ ； (3)－ － ＝ ； (4)3 －5 ＋ ＝ . 数学　八年级下册 2. 计算： (1)3 － ＝ ； (2) ＋2 ＝ ； (3)－4 ＋6 ＝ ； (4) ＋3 －2 ＝ . 数学　八年级下册 探究： ＋ ＝2 ＋ ＝3 . 同类二次根式： 　后，被开方数相同的二次根式，如 和 . 化成最简二次根式 数学　八年级下册 3. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 ( ) A. B. C. D. B 数学　八年级下册 4. 下列与 是同类二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 5. 与最简二次根式4 是同类二次根式，则a＝ . B 4 数学　八年级下册 二次根式的加减 6. (新教材P13思考改编)计算： (1) ＋ ；　　 (2) －3 . 解：原式＝2 ＋3 ＝5 . 解：原式＝ ×2 －3×3 ＝ －9 ＝－8 . 数学　八年级下册 7. (新教材P13例1改编)计算： (1) ＋ ；　　 (2) － . ＝7 . 解：原式＝4 +3 解：原式＝5×5 －2×4 ＝25 －8 ＝17 . 数学　八年级下册 二次根式加减方法总结：先化成 ，再合并　 . 8. (2025·中山期末)计算： － ＋2 . 最简二次根式 同类二次根式 解：原式＝4 －3 ＋ ＝2 . 数学　八年级下册 9. (2025·花都区期末)计算： ＋ － － . 解：原式＝2 ＋2 － －3 ＝ － . 数学　八年级下册 二次根式加减的应用 10. (新教材P14例3)有一块长为7. 5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如图的方式，在这块木板上 截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的 正方形木板？( ≈1. 41) 数学　八年级下册 解：能. ∴在这块木板上可以截出两个面积分别为8 dm2和18 dm2的正方形木板. ∵ ＝2 ， ＝3 ， ∴两个正方形的边长之和为 ＋ ＝5 (dm). ∵ <5，5 <7. 5， 数学　八年级下册 11. (新教材P14 T3改编)如图，两个圆的圆心相同，它们的 面积分别是100π和81π. 求圆环的宽度d. 解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r. 依题意，得πR2＝100π，πr2＝81π. ∴R＝ ＝10，r＝ ＝9. ∴圆环的宽度d＝R－r＝1. 数学　八年级下册 12. (2025·惠阳期中改编)下列各式中，与 是同类二次根 式的是 ( ) A. B. C. D. 3 B 数学　八年级下册 13. (新教材P14 T1改编)下列计算正确的是 ( ) A. 2 － ＝1 B. ＋ ＝ C. ÷ ＝4 D. × ＝ D 数学　八年级下册 14. 计算： (1) － ＝ ； (2) ＋ ＝ . 数学　八年级下册 15. (1)(2025·阳春期末)数学活动课上，要用铁丝围一个长 为 cm，宽为 cm的方框，则需铁丝的长度 为 ； (2)(2025·惠州期末)已知最简二次根式 与 可以 合并，则a＝ . 3 8 cm 数学　八年级下册 16. (2025·惠州期末)计算： ÷ － × ＋ . 解：原式＝ － ＋2 ＝4－ ＋2 ＝4＋ . 数学　八年级下册 17. 如图所示，大正方形的面积为48 cm2，它的四个角是面 积为3 cm2的小正方形. 现将四个角剪掉，制作成一个无 盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积. (结果保留 根号) 解：依题意 ，得大正方形的边长为 ＝ 4 (cm)，小正方形的边长为 cm. ∴这个长方体盒子的体积为(4 －2 )2×＝12 (cm3). 数学　八年级下册 二次根式的混合运算 数学　八年级下册 1. 化简： (1) ＝ ；　(2) ＝ ； (3)3 ＝ ； (4)8 ＝ ； (5) ＝ . 数学　八年级下册 2. 计算： (1) ＋ ＝ ，2 － ＝ ； (2)3 ×2 ＝ ， ÷ ＝ ； (3)( ＋1)( －1)＝ ， ( ＋ )2＝ . 2 数学　八年级下册 二次根式的混合运算 3. (新教材P15例4)计算： (1)( ＋ )× ；　　(2)(4 －3 )÷2 . 解：(1)原式＝ × ＋ × ＝4 ＋3 . (2)原式＝4 ÷2 －3 ÷2 ＝2－ . 数学　八年级下册 4. (新教材P15 T1改编)计算： (1) × ； 　 (2)( ＋ )÷2 . 解：(1)原式＝3 × － × ＝9－1＝8. (2)原式＝3 ÷2 ＋4 ÷2 ＝ ＋2＝ . 数学　八年级下册 5. (新教材P16 T3(4))计算： ÷ . 解：原式＝4 ÷3 ＋ ÷3 ＝ ＋ . 数学　八年级下册 6. (新教材P15例5改编)计算： (1)( ＋3)( －5)；　 (2)(2 － )2. 解：(1)原式＝ × － ×5＋3× －3×5 ＝2－5 ＋3 －15＝－2 －13. (2)原式＝ －2×2 × ＋ ＝12－4 ＋5＝17－4 . 数学　八年级下册 利用乘法公式求代数式的值 7. (新教材P16 T5改编)已知a＝ ＋2，b＝ －2，求代 数式a2b＋b2a的值. 解：∵a＝ ＋2，b＝ －2， ∴ab＝( ＋2)( －2)＝( )2－22＝7－4＝3， a＋b＝ ＋2＋ －2＝2 . ∴原式＝ab(a＋b)＝3×2 ＝6 . 数学　八年级下册 8. (新教材P16 T5(2))已知x＝ ＋1，y＝ －1，求x2－y2 的值. 解：∵x＝ ＋1，y＝ －1， ∴原式＝(x＋y)(x－y) ＝( ＋1＋ －1)[ ＋1－( －1)] ＝4 . 数学　八年级下册 9. 已知a＝ ＋2，b＝ －2，则a＋b＝ ，a－b＝ ， ab＝ . 10. 化简 － ( ＋2)的结果是 ( ) A. －2　 B. －2　 C. 2　 D. 4 －2 4 －1 A 数学　八年级下册 11. (2025·东莞期中改编)计算： ( －1)( ＋2)－ . 解：原式＝( )2＋2 － －2－ ＝3＋2 － －2－ －1 ＝0. 数学　八年级下册 12. 已知一个长方形的长为a＝ ＋ ，宽为b＝ － . (1)该长方形的面积为 ，周长为 ； (2)求a2＋b2的值. 1 解：(2)由(1)得a＋b＝4 ÷2＝2 ，ab＝1， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2 )2－2×1＝22. 数学　八年级下册 13. (新教材P20 T5改编)已知x＝ －1，则代数式x2＋2x－ 3的值为 . 14. (新教材P16 T7改编)已知a＋ ＝ ，则a－ 的值为 . 1 ± 数学　八年级下册 15. (新教材P16 T6)已知边长分别为( ＋ )m，( － )m 的两个正方形的面积分别为S1，S2. (1)求S1＋S2的值. (2)用一根长为20 m的铁丝，能否围成这两个正方形？ 数学　八年级下册 解：(1)依题意，得S1＝( ＋ )2＝(7＋2 )(m2)， S2＝( － )2＝(7－2 )(m2). ∴S1＋S2＝7＋2 ＋7－2 ＝14(m2). ∴用一根长为20 m的铁丝能围成这两个正方形. (2)这两个正方形的周长之和为 4( ＋ )＋4( － )＝8 (m). ∵8 ＝ < ＝20， 数学　八年级下册 16. 【古代数学文化】我国古代的《洛书》记载了世界上最 早的幻方——“九宫格”. (1)在图1的方格中，若要使每一横行、竖列、斜对角线 的3个实数分别相乘都得到同样的结果，则a＝ ， b＝ ； 6 数学　八年级下册 (2)我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中 提出“幻圆”的概念. 在图2的“幻圆”中，若内、外两个圆 周上的四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和 都相等，则a－b＝ . 数学　八年级下册 $