第2章 有理数的运算 培优滚动练-【零障碍导教导学案】2025-2026学年七年级上册数学（人教版·新教材）

第二章 有 一有理数的加法 1.已知a=8,|b=2 (1)当a,b同号时，a+b= (2)当a,b异号时，a+b= 2.如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数， 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都 相等.若前m个格子中所填整数之和是2024， 则m的值为 9a 6c-5 1 3.某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民 路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规 定向南为正，向北为负，单位：km): 第1批 第2批 第3批 第4批第5批 5km -2 km -4 km -3 km 10 km (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什 么方向？距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.2L,则在这个过 程中共耗油多少升？ (3)接送完第几批客人后出租车离公司最远？ 数学·七上·RJ 理数的运算 三有理数的减法 4.计算：1-(+2)+3-（+4)+5-（+6)+…+ 2023-（+2024)= 5.(1)问题发现： 观察下列等式： @1k2=1-2 ②28=号方 ③1=11 33x4=3-4: … 猜想并写出第n个式子的结果：n十1) ;(直接写出结果) (2)类比探究： 将(1)中的三个等式左右两边分别相加得： 1.11 1x2+2×3+3×4 1-安+分号+5 1-4 桑 类比该问题的做法，计算： 1 1 12+2kg+3女4+…+ n(n+1) LZA·培优滚动练 三有理数的乘法 6.若四个互不相等的整数的积为6，则这四个整 数的和是 A.-1或5 B.1或-5 C.-5或5 D.-1或1 7.已知a=5,b=7 (1)若ab<0,求a-b的值； (2)若a-b|=-(a-b),求ab的值 8.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b= 4ab,如2*3=4×2×3=24. (1)求3*(-4)的值； (2)求(-2)*(6*3)的值. 数学·七上·RJ 四有理数的除法 9.已知数a,b,c的大小关系如图，下列说法： ①ab+ac>0;②-a-b+c<0;③la+lh+ a b l=-l:④1a-c=-a+c;⑤若x为数轴上 c 任意一点，则|x-b+x-a的最小值是a- b,其中正确的有 () b 0 a 上 A.2个 B.3个C.4个D.5个 10.若三个非零有理数a,b,c满足a+b+c= a b 1,则abc三 abc 山计算：(0)（居0+石-） 解法1：原式 -（动[层++(0] =()÷(8-2)-0x3=0 解法2：原式的倒数为 居-品+合)(0) -8-0+6-号引x(-0) -号×(-30)-0×(-30)+6x(-30）- 号x(-30) =-20+3-5+12=-10. 故原式=品 请阅读上述材料，选择合适的方法计算： 〔0)合是+号-》 LZA·培优滚动练 五有理数的乘方 12.计算：-3-【(-3)2-2×子-85]÷( 13.阅读材料： 求值：1+2+22+23+24+…+220 解：设S=1+2+22+23+24+…+220,将等式 两边同时乘2，得 2S=2+22+23+24+…+220+221, 将下式减去上式，得2S-S=21-1, 即S=1+2+22+23+24+…+220=221-1. 请你仿照此法计算： (1)1+2+22+23+…+210; (2)1+3+32+33+34+…+3m. (其中n为正整数) 数学·七上·RJ 14.把一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折 痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得 到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得 到3条折痕，第三次对折后可得到7条折痕， 那么第10次对折后可得到的折痕比第9次对 折后可得到的折痕多 条。 第一次对折 第二次对折 第三次对折 15.观察一组算式： =2×3 2 2+ 3 3+ 3 3 =32× 8 8 .4 +54×15…,， 对于10+分=10×号(a,6均为正整数)，则 a+b= 16.观察下列各式： 12=1×2×3 6 12+22=2×3×5 6, 12+22+32=3×4×7 6 12+22+32+42=4×5×9 6, (1)根据你发现的规律，计算： 12+22+32+42+52= (2)请用一个含n的算式表示这个规律： 12+22+32+…+n2= (3)根据发现的规律，请计算算式512+522+…+ 992+100的值.（写出必要的解题过程) LZA·培优滚动练 六科学记数法 17.请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全 国13亿人口一天就能节约 千克大 米.（结果用科学记数法表示，已知1克大米约 有52粒) 18.太阳光照射到地球表面所需的时间约是 5×102s,光的速度约是3×108m/s.那么地球 与太阳之间的距离约是 m.（结果 用科学记数法表示) 19.已知一个U盘的内存为10GB,平均每个视频 的内存为512MB,平均每首音乐的内存为 10.24MB,平均每篇文章的内存为10.24KB. 现该U盘已存16个视频，50首音乐.若该U盘 的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章 的最多篇数（用科学记数法表示）. (注：已知1GB=1024MB,1MB=1024KB) 七近似数 20.车工小王加工了两根轴，当他把轴交给质检员 验收时，质检员说，“不合格，作废！”小王不服 气地说：“图纸要求精确到2.60m,一根为 2.56m,另一根为2.62m,怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.60m,原轴的范围是 多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检 员故意刁难？ 数学·七上·RJ 21.我们把用四舍五入法对非负有理数x精确到 个位的值记为<x>.如<0>=<0.48>=0， <0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<2.5>= <3.12>=3. 解答下列问题： (1)填空： ①若<x>=6,则x的取值范围是 ;(精确到十分位) ②若<>-号，则：的值是 (2)若m为正整数，求证：<x+m>=<x>+ m恒成立. LZA·培优滚动练 八重点压轴题 22.足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员在球 门前来回跑动.如果以球门线为基准，向前跑 记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守 门员的跑动情况记录如下（单位：m): +10,-2,+5,-6,+12,-9,+4,-14 (假定开始计时时，守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离是多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m (不包括10m),则对方球员极可能挑射破 门.请问在这段时间内，对方球员有几次 挑射破门的机会？ 23.观察下列等式并解答问题， 第1个等式a女3=了×-分》： 1111 第2个等式：a,=35=2×(3-5 第3个等式5文日×传-》 1=1×1-1) 第4个等式：a4=7x9=2×(7-9: (1)按发现的规律分别写出第5个等式和第6 个等式 数学·七上·RJ (2)求a1+a2+a3+a4+…+a1o的值. 24.对于有理数a,b,n,d,若a-n+b-n=d, 则称a和b关于n的“清湾值”为d.例如， |2-1+3-1=3,则2和3关于1的“清湾 值”为3. (1)-3和5关于1的“清湾值”为 (2)若a和2关于1的“清湾值”为4，求a 的值 (3)若a和a1关于1的“清湾值”为1，a1和 a2关于2的“清湾值”为1，a2和a3关于3 的“清湾值”为1，…，a和a1o关于100的 “清湾值”为1. ①ao+a1的最大值为 ②a1+a2+a3+…+a1om的值为 (用含a。的式子表示) LZA·培优滚动练 九中考热点一综合实践与活动：《填幻方》 25. :用： 如图1所示的图案叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6， 素材1 7,8,9.每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15 田 田 ·8 图1 ◆0000000002 把1~9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及任意一 8 素材2 条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国 o%o 古代的“洛书”（如图2）.洛书是世界上最早的“幻方” 图2 问题解决 把1~9这九个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意 2 6 填3阶幻方 一列及任意一条对角线上的数之和都相等 任务1 (正整数) (1)你发现行、列、对角线3个数的和是定值吗？ (2)如图3，哪些位置的数可以马上确定 4 图3 应用幻方 > 任务2 如图4是仅可以看到部分数值的“九宫格”，求其中x的值 求x的值 图4 将-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入幻方的 9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线 填3阶幻方 任务3 上的3个数的和相等. 0 (整数) (1)你发现行、列、对角线3个数的和有什么要求？ (2)如图5，哪些位置的数可以马上确定 图5 ⑦ 如图6，小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，-2，-3,3,4， 6,-7,8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上 任务4 填“幻圆” 的4个数字之和都相等，他已经将4,6，-7,8这四个数填 入圆圈，则图中a+b的值为 图6 数学·七上·RJ9LZA·培优滚动练 26.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一.例：212=2×102+1×10+2；计算 机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1这两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转 化为十进制数为1×24+0×23+0×22+1×22+0=16+2=18，将一个十进制数转化为二进制数， 一般按照“除以2取余数”的方法，直至商为0，然后将余数从高位往低位写，即可得到其二进制数 如图1所示的是将十进制数46转化为二进制数的过程，最终得到46=(101110)2· 46 余数低位 0 0 高位 46=(101110), 图1 图2 (1)【计算】根据以上信息，将十进制数“212”转化为二进制数是 (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图2是远古时 期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一.根据 图示，可以知道孩子已经出生 天； (3)【延伸】在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统.如 图3所示的是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字 从左到右依次记为a,b,c,d,可以将其转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×2+c× 21+d×2°.如图3中第一行数字从左到右依次为1,0,0,1，序号为1×23+0×2+0×2+1× 2°=9（其中2°=1），表示该生为9班学生.下列识别图案表示6班学生的是 图3 A B C D 数学·七上·RJ10LZA·培优滚动练 2双【探究-1计第号+安+宁+…+ n 如图1，第1次分割，把边长为1的正方形二等分，其中阴影部分的面积为} 第2次分割，把上次分割图中的空白部分继续二等分，阴影部分的面积之和为2+2 第3次分割，把上次分劃图中的空白部分继绞二等分，阴影部分的面积之和为+是+为 ..... 第n次分割，把上次分割图中的空白部分二等分，所有阴影部分的面积之和为}++十 2+2+2+… 2 最后空白部分的面积是 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 1 2 2 2 2 2 2 图1 根据第n次分割图可得等式：2+2+2+…+ 1.11 1 【深究=计算写+安安+ 3n 第1次分割 第2次分割 第3次分割 第n次分割 3 3 =3 2 33 图2 如图2，根据第次分刻图可得等式：号+号+景+ 2 3 两边同除以2，得+1+1」 1 号+3+3+… 3分 【解决问题】计算： 1,11,,1 4+4+4+…+ 111 1 5= 5+5+5+…+5 【新广减用1计9。+9g+9g++9g 数学·七上·RJ11LZA·培优滚动练培 第一章有理数 1.C2.B3.E 4.解：(1)-50.3<-27.8<138.1<162< 188, 所以星期日赚的最多，星期二赚的最少 188-(-50.3)=238.3(元). 答：差距是238.3元 (2)458-(-27.8)-(-50.3)-162 138.1-188 =458+27.8+50.3-162-138.1-188 =536.1-488.1=48(元). 答：星期五与星期六这两天一共是盈 余了，盈余了48元 (3)设星期五的盈亏数为x元，则星期 六的盈亏数为(x+62)元 依题意，得x+x+62=48, 解得x=-7. 所以-7+62=55（元）. 答：星期五的盈亏数为-7元，星期六 的盈亏数为55元. 5.解：如图所示. -0.6, -8 -2 负数集 整数集 +2.1. 9 r.0.3 1.010010001… 0.4 0年年 整数集 正数集 6.120 7.(1)-3(2)①-4②2d+1 8.506.5 9.解：(1)如图所示 (2)数b与其相反数相距20个单位长 度，则表示b的点到原点的距离为 20÷2=10,且b在原点左侧， 所以b表示的数是-10，-b表示的数 是10. (3)因为表示-b的点到原点的距离 为10，而表示数a的点与表示数b的 相反数的点相距5个单位长度，且由 (1)可知，a在-b的左侧， 所以表示a的点到原点的距离为 10-5=5. 所以a表示的数是5，-a表示的数是-5. 优滚动练参考答案 10.(1)±2(2)b(3)5 (2)(15|+|-2|+1-4|+|-3|+ 11.B |10)×0.2=4.8(L). 12.(1)±2或0(2)±3或±1 答：在这个过程中共耗油4.8L 13.D14.C (3)接送完第一批客人后距离公司5km, 15(1号或-号 (2)2026或-2024 接送完第二批客人后距离公司 |5+(-2)1=3(km), (3)2 接送完第三批客人后距离公司 |5+(-2)+(-4)|=1(km), 16.解：(1)8 接送完第四批客人后距离公司 (2)解x-3=2,得x=5或x=1. |5+(-2)+(-4)+(-3)|=4(km), 所以x表示的有理数为5或1. 接送完第五批客人后距离公司 (3)①因为代数式|x-4|+ |5+(-2)+(-4)+(-3)+10|=6(km). |x+1的值为表示数x的点到表示 答：接送完第五批客人后出租车离公 数4和-1的点的距离之和， 司最远 所以当点P在表示数4和-1的这 4.-1012 两点之间时，代数式|x-4|+ 1 |x+1有最小值5，没有最大值. 5.解：(1) nn+l ②设表示数-1的点为A,表示数4 的点为B. （②)原式=1-+分号+写 代数式|x-4|+x+1|=7可看成数 11 …+ 轴上点P与点A,B的距离之和为7. nn+l 从数轴上可得A,B两点间的距离是 1、1 n+1 5个单位长度 n 因为(7-5)÷2=1， n+l' 所以当点P在点A的左边一个长度单 6.D 位，或在点B的右边一个长度单位时， 7.解：因为|a=5,|b|=7, |x-4|+|x+1|=7. 所以a=±5，b=±7. 所以点P表示的数为-2或5， (1)因为ab<0,所以a,b异号 即x的值为-2或5. 当a=5,b=-7时， 17.解：素材一：39.5 |a-b|=|5-(-7)1=12: (1)不一样理由如下： 当a=-5,b=7时， 因为这6位同学的年龄不一样，所以 a-b|=|-5-7|=12 标准体重不一样 综上所述，|a-b|=12. (2)①-1.5；②+3；③+4；④+0.7； (2)因为|a-b|=-(a-b), ⑤-0.7；⑥+2.8. 所以a-b≤0. (3)体重最大的是学生⑥，体重最小 当a=5,b=7时，a·b=5×7=35; 的是学生①. 当a=-5,b=7时， (4)大多数同学的体重超过标准体 a·b=-5×7=-35, 重，建议同学们在饮食方面注意控制 综上所述，ab=±35. 高热量食物的摄入，在体育锻炼方面 8.解：(1)3*(-4) 要加强运动，保持健康的生活习惯。 =4×3×(-4) (答案不唯一，合理即可) =-48. 第二章有理数的运算 (2)因为6*3=4×6×3=72！ 1.(1)±10(2)±6 所以(-2)*(6*3) 2.1210或1214 =(-2)*72 3.解：(1)5+(-2)+(-4)+(-3)+ =4×(-2)×72 10=6(km). =-576. 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在 9.B10.-1 公司南边6km处， 11.解：原式的倒数为 数学·七上·RJ65LZA·参考答案 (传是+号-)() 故轴长为2.56m与2.62m的产品 不合格 =(传是+号)x(-2) 所以是小王加工的轴不合格. =-7+9-28+12 21.(1①5.5≤<65②0，，2 =-14. (2)证明：设x=n+a,其中n为x的整 故原式=4 数部分(n为非负整数)，a为x的小数 12.解：原式 部分(0≤a<1), 分两种情况： =-27-(9-4×号-85)x4 当0≤a<分时，有<x>=n, =-27-(9-1-8.5)×4 =-27-(-0.5)×4 因为x+m=(n+m)+a, =-27+2 这时(n+m)为(x+m)的整数部分， =-25. a为(x+m)的小数部分 13.解：(1)设S=1+2+22+23+24+… 所以<x+m>=n+m. +20, 因为<x>+m=n+m, 则2S=2+22+23+24+…+2101, 所以<x+m>=<x>+m. 所以2S-S=21-1.所以S=210-1. 当2≤a<1时，有<x>=n+1, 所以1+2+22+23+2+…+210= 210-1. 因为x+m=(n+m)+a, 这时(n+m)为(x+m)的整数部分， (2)设S=1+3+32+33+3+…+3, a为(x+m)的小数部分， 则3S=3+32+33+34+…+3+1, 所以<x+m>=n+m+1. 所以3S-S=3+1-1, 因为<x>+m=n+1+m=n+m+1, 即25=3-1=号(3-1. 所以<x+m>=<x>+m. 所以1+3+32+33+34+…+3”= 综上所述，<x+m>=<x>+m. 2g-10. 22.解：(1)+10-2+5-6+12-9+4-14 =0(m). 14.2°15.109 答：守门员最后正好回到球门线上 16.解：(1)55 (2)第一次10，第二次10-2=8， (2)n(n+1)(2n+1) 第三次8+5=13，第四次13-6=7， 6 第五次7+12=19，第六次19-9=10， (3)512+522+…+992+1002 第七次10+4=14，第八次14-14=0， =(12+22+…+992+1002)-(12+ 19>14>13>10>8>7>0. 22+…+492+502) 答：守门员离开球门线的最远距离是 =100×101×201_50×51×101 6 6 19m. 101×(20100-2550) (3)由(2)得第一次10=10，第二次 6 8<10,第三次13>10，第四次7<10， =295425. 第五次19>10，第六次10=10，第七 17.2.5×1018.1.5×10 次14>10，第八次0<10. 19.解：(10×1024×1024×0.9-512× 答：对方球员有三次挑射破门的机会 1024×16-10.24×1024×50)÷10.24 23.解：(1)第5个等式为 =5.12×10(篇). 答：还可以存文章的最多篇数是 4g文如安×（日）力 5.12×104 第6个等式为 20.解：(1)近似数2.60m是精确到 am3x(信-) 0.01m, 所以原轴长x的范围是 (2)原式 2.595m≤x<2.605m. 分×(-写)+分x (2)我认为是小王加工的轴不合格 理由如下： (号）)2×（兮） 因为原轴长的范围是2.595m≤x< 2.605m, …+×（(2x10 数学·七上·RJ66LZA·参考答案 1 2×100+1 11】 .+199201】 =×1-20） 3州 24.解：(1)8 (2)依题意，得|a-1|+|2-1=4, 则|a-1=3. 所以a的值为4或-2. (3)①3 ②5050+100a或5250-100a 25.解：任务1：(1)是.行、列、对角线3 个数的和均为定值15. (2)因为行、列、对角线3个数的和均 为15， 所以马上可以确定的是第一行第二个 数，第二行第一个数以及中间的数， 这些位置的数分别为15-2-6=7， 15-2-4=9,15-4-6=5. 任务2：依题意，得8+x=2+7, 解得x=1. 任务3：(1)任意行、列、对角线3个 数的和均为0. (2)因为行、列、对角线3个数的和均 为0，且中间的数为0， 所以各横行、竖列以及对角线上的另 外两个数互为相反数. 所以马上可以确定的是两条对角线 上的数，分别为两组奇数相反数. 任务4：-5 26.(1)11010100(2)56(3)C 27.解：探究一1-2 1 探究二1-分分23 1 解决间题：写3文 1 1 1 44×5 拓广应用： 原式 =1- 9+1-g+1- 93 +…+1 11,1 1 =n-（9+g+g+…+ (11 =n-（88×9° 1 41 =n-8+8×9 第三章代数式 1.解：3支球队比赛的场数： 2×3×(3-1)=3；