精品解析：海南海口英雅盛彼德高级中学2025-2026学年第二学期高一下学期数学期中检测试题

2025-2026学年第二学期 海南海口英雅盛彼德高级中学高一下学期数学期中检测试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，所以， 又由集合，所以. 故选：C. 2. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. －1 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】由，可知，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出结果你 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：A. 3. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理求出，，从而得出结果. 【详解】因为，由正弦定理，得到，所以， 又因为，故，. 故选：B. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是 A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出． 【详解】由余弦定理得，则，即，所以. ∵ ∴是等边三角形. 故选D. 【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键． 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 6. 若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【分析】如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是. 故选：C. 7. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理及中点坐标公式求出的坐标，然后根据数量积的坐标公式求解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 由，，得，，． 因为，且点满足， 所以，从而． 又点为的中点，所以． 因此，， 故． 8. 若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移变换得到平移后的函数解析式，再利用函数关于轴对称的性质列出等式，进而求出关于的表达式，最后结合确定的最小值. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度所得函数为： ， 则图象关于轴对称， 即，则， 因为，所以当时，的最小值为. 二、多选题 9. 在等边三角形中，点D是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：在等边三角形中，因为点D是边的中点，所以，正确. B：因为两向量方向不同，所以错误. C：因为点D是边的中点，所以，正确. D：由为等边三角形，且点D是边的中点，所以，所以，正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 三、填空题 12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为A，B，C三点共线，所以，使得 ， 因为向量与不共线， 所以有，解得，. 13. 已知向量满足，则与的夹角大小为_______. 【答案】##60° 【解析】 【详解】设与的夹角为，向量夹角范围为 将两边平方得：   即 ， 所以， 又，所以. 14. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】. 四、解答题 15. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． 【小问2详解】 由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 16. 已知平面四边形的四个内角均小于，，，且． （1）若，求的面积； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出BD，由是等腰直角三角形，求出,利用面积公式求出的面积； （2）在中，根据正弦定理可得， ，利用两角和余弦公式求出. 【详解】（1）在中由余弦定理得：， 解得． ，． 由条件可知是等腰直角三角形， ，． 所以． （2）因为，所以， 在中，根据正弦定理得：，可得，从而， 所以 ． 【点睛】在几何图形中解三角形，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． 17. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，. （1）若，求，的值； （2）若，，求. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：在菱形中，是的中点，，则， 可得， 又因为，所以，. 【小问2详解】 解：因为，，所以，且， 因为，， 所以， 又因为，，所以. 18. 如图，是函数图象的一部分. （1）求函数的解析式. （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ①；② 【解析】 【分析】（1）根据最值可得；根据最小正周期可得，求得，由此可得解析式； （2）①将整体代入正弦函数单调递增区间中，即可构造不等式求得递增区间； ②根据正弦函数的图像求解即可. 【小问1详解】 由图像可知，函数最大值为，最小值为，且，得. ，所以周期. 又，，因此. 将最高点代入得：，则， 解得.因为，所以. 因此函数解析式为. 【小问2详解】 ①向右平移​个单位，则， 再纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），则. 令，解得. 因为，所以在上的单调递增区间为. ②当时，令​，则. 因为方程在区间上恰有两个不同的实数解， 则​在上恰有两个不同解. 由在的图象可知，当时，方程恰有两个不同解， 解得. 因此的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. （1）分别根据下列已知条件求； ①，； ②，； （2）记，，，且满足，，，求的最大值. 【答案】（1）①5；②0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义及向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用三角形面积公式及新定义分情况讨论，结合辅助角公式及三角函数有界性计算即可. 【小问1详解】 ①因为，，则； ②由，，即共线，所以. 【小问2详解】 设，由，得或， 当时， ， 当时，取得最大值； 当时， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期 海南海口英雅盛彼德高级中学高一下学期数学期中检测试题 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 4 B. 1 C. －1 D. －4 3. 已知分别为三个内角的对边，若，则满足此条件的三角形个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是 A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若向量、满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，且，．点在线段上，满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在等边三角形中，点D是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 三、填空题 12. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 13. 已知向量满足，则与的夹角大小为_______. 14. 已知，则__________. 四、解答题 15. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 16. 已知平面四边形的四个内角均小于，，，且． （1）若，求的面积； （2）若，求． 17. 如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，. （1）若，求，的值； （2）若，，求. 18. 如图，是函数图象的一部分. （1）求函数的解析式. （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. ①求函数在上的单调递增区间； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. （1）分别根据下列已知条件求； ①，； ②，； （2）记，，，且满足，，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $