精品解析：江西省上饶市广信区2026年春九年级适应性考试数学试题卷

全区2026年春九年级适应性考试 数学试题卷 说明： 1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.不得使用计算器，按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6个小题，第小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 如图，数轴上点A表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴知：点A表示的数． 2. 如图所示的是收藏于江西省博物馆的南宋云头纹银杯，关于该物体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图都一样 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应运算法则计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故本选项运算错误． 选项B：，故本选项运算错误． 选项C： ，故本选项运算错误． 选项D：，故本选项运算正确． 4. 为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（ ） A. 随机抽取某一所初中的全体学生． B. 每个县区各推荐30名学生． C. 将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生． D. 在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生． 【答案】C 【解析】 【分析】抽样调查选取样本时，样本需要满足广泛性，随机性和代表性，能够准确反映总体的情况，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A仅随机抽取某一所初中的全体学生，样本范围过于局限，无法代表全市初中生的整体情况，∴ A不合适； ∵选项B每个县区采用推荐方式选取样本，样本不具有随机性，无法保证代表性，∴ B不合适； ∵选项C利用全市所有初中生的学籍信息随机抽取样本，每个学生都有被抽到的机会，样本具有广泛性，随机性和代表性，能够反映总体情况，∴ C最合适； ∵ 选项D仅在市区几所中学抽取样本，忽略了其他区域的学生，样本不全面，无法代表全市初中生的情况，∴ D不合适． 5. 如图，这是某物质熔化和凝固过程中温度（单位：） 随着时间（单位：）变化的图象，下列说法中，错误 的是（ ） A. 该物质在熔化和凝固过程中，最高温度为 B. 该物质在熔化和凝固过程中温度保持不变的时间为 C. 当时，温度随着时间的增大而减小 D. 加热前该物质的温度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题是关于物质熔化和凝固过程中温度 - 时间图象的分析题，需要结合图象，对每个选项所涉及的温度、时间等信息进行判断，主要考查对晶体熔化和凝固图象的理解，涉及到晶体的熔点、凝固点，以及不同阶段温度随时间的变化规律.本题考查了晶体熔化和凝固的温度 - 时间图象分析，包括晶体的熔化（吸热温度不变）、凝固（放热温度不变）过程，以及不同阶段温度随时间的变化趋势 .解题的关键是准确识别图象中不同阶段（熔化前、熔化时、熔化后、凝固前、凝固时、凝固后）对应的温度变化情况，通过图象上的点坐标（时间和温度）来计算持续时间、判断温度变化趋势等. 【详解】解：选项A ，观察图象，图象中的最高点对应的温度就是该物质在熔化和凝固过程中的最高温度，从图象中可以看到最高温度为，所以选项A正确 . 选项B，熔化过程：在熔化时，温度保持不变的时间段是从第分钟到第分钟，持续时间为分钟.凝固过程：凝固时温度保持不变的时间段是从第分钟到第分钟，持续时间为分钟. 那么熔化和凝固过程中温度保持不变的总时间应该是分钟，而不是分钟，所以选项B错误. 选项C，当时，观察图象的走向，是从左向右下降的，这表明温度随着时间的增大而减小，所以选项C正确. 选项D，当时，对应的温度就是加热前该物质的温度，从图象中可以看出此时温度为，所以选项D正确. 故选：B 6. 某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（ ） A. 贝拉 B. 艾米 C. 思睿 D. 尊者 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图象判断贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人的横、纵坐标的比值大小即可．利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图， 由图可得连接原点和四个点中的直线中，经过思睿的直线最陡， 这四款机器人中选一款生产效率最高的是思睿， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据的立方根是，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：0． 8. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 10. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母，然后通过去括号移项、合并同类项、化未知数系数为1来解不等式． 【详解】解：去分母得：， 去括号、移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为： 11. “即时零售”的兴起是近年来中国零售市场最大的变化之一．某平台的配送员从线下超市取货，先后到距离超市的地和距离地的地配送商品．从地赶往地时，因配送时间紧张，速度提高为从超市到地的倍，则从地到地比从超市到地用时少．设配送员从超市到地的速度是：，则可列分式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是找出的等量关系．根据“从地到地比从超市到地用时少”，列出等量关系式即可． 【详解】解：设配送员从超市到地的速度是，则从地到地的速度为， ， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明，，①如图1，过点作交于点，连接，证明四边形为矩形，②如图2，过点作交于点，此时是直角三角形，过点作于点，则，③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形，过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形，可得，设，则，再进一步解答即可. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ①如图1，过点作交于点，连接， ∵是直角三角形时， ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴，，为等腰直角三角形， ∴是直角三角形，， ∴， ②如图2，过点作交于点， 此时是直角三角形，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，而，则， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． ③如图3，以为直径作圆，与交于点，此时是直角三角形， 过点构造矩形，且与交于点，则为等腰直角三角形， ∴，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或或． 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关键. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）分别根据绝对值、算术平方根、乘方的定义进行化简，再进行有理数的加减运算即可求解； （2）先证明，进而证明，即可证明． 【详解】解：（1）； （2）略 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、乘方的意义，实数混合运算，平行线的性质与判定等知识，熟知相关定义并根据题意灵活应用是解题关键． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点分别在边上； （2）在图②中画的高线． 【答案】（1） 如下图所示： 线段即为所求； （2） 如下图所示： 线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点、矩形性质，先找到的中点，再连接即可； （2）根据网格线的特点，利用全等三角形性质构造过点的斜边等于的直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的中位线、高线的定义是解题的关键． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它蕴含了儒家思想的核心内容，是儒学认识论和方法论的集中体现，也是中国传统文化的重要组成部分．某校准备开展以“四书”为主题的校园文化黑板报活动，为公平起见，校团委制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并分别标上《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，各班班长转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的书名即为该班黑板报主题(当指针指在分界线上时不计次数，重转)． （1）随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于______事件；(填“随机”“不可能”或“必然”) （2）甲、乙分别是该校九（1）班、九（2）班的班长，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到的黑板报主题不同的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类和用列表或画树状图的方法求概率等知识，掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义选择即可； （2）根据题意画出树状图或表格，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 由题意可知：随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于随机事件； 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别用字母、、、表示， 树状图如图所示： 一共有16种等可能性，其中甲和乙选到的黑板报主题不同的可能性有12种， 故甲和乙选到的黑板报主题不同的概率是， 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC． （1）求∠B的度数； （2）若AB＝3，求的长． 【答案】（1）54° （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB ，利用∠B=∠OCB即可求出∠B； （2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长． 【小问1详解】 连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠CAD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°； 【小问2详解】 连接OE， ∵⊙O的直径AB＝3， ∴OA＝1．5， ∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌握弧长公式是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． （1）求，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点A在反比例函数图象上， ∴，解得， 将代入， ； 【小问2详解】 解：如图，过点C作轴于点F， ， ，， ， ， ，， ∵直线向上平移m个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点C， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键． 19. 【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． （1）求的长度； （2）若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． （）如图，过点D作，垂足为点G，证明四边形是矩形，可得，，结合．由，据此即可求解； （）求解，，可得，结合，进一步即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作，垂足为点G，   结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 20. “今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． （1）甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ （2）由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【答案】（1）甲、乙两商户每天分别生产小时和小时 （2）甲商户增加的生产时间为3小时 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时， 则：，解得：； 答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时； 【小问2详解】 设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：甲商户增加的生产时间为3小时． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示； B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 14和16 15 B型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中______，_______； （2）请计算表中c的值；（需要写出计算过程） （3）随着电商行业持续火爆，快速分拣工作量日益增大，该快递分拣站计划再购进一批智能机器人，你认为应该购进A型号机器人还是B型号机器人，请说明理由． 【答案】（1）20，15 （2）20 （3）B型号机器人， 理由如下： B型号的智能机器人每天可分拣的平均快递数量为20万件大于A型号的智能机器人每天可分拣的平均数量15万件，故应购进B型号的智能机器人． 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，众数和平均数，利用平均数做决策： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用平均数做决策即可． 【小问1详解】 解：B型号的智能机器人分拣快递数量为20（万件）的数量最多， ∴； A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的数据排序后，第5个数据和第6个数据均为15； ∴； 故答案为：20，15； 【小问2详解】 解：（万件）； 故答案为：20； 【小问3详解】 略 22. 定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数当时“影差”值为0． ①求、的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 【答案】（1）①；②；③ （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． （1）①根据题意可得经过，把代入二次函数即可解答； ②根据“影差”的定义得到新的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解答； ②根据题意列出不等式，结合二次函数的图象解不等式即可； （2）由点与点的“影差”相等，可得，代入二次函数可得，根据二次函数的“影差”最小值为，即可求得． 【小问1详解】 解：①根据题意可得经过， 把代入二次函数可得， ， 解得， 所以； ②二次函数的解析式为， 则该二次函数点“影差”为， 当时，该二次函数点“影差”有最大值为； ③根据题意可得， 即， 令，当时， ， 解得， 与轴的交点坐标为， ， 结合二次函数的图象，可得的解集为， 即二次函数点“影差”大于5时，； 【小问2详解】 解：令，可得， ， 点与点的“影差”相等， ， ， 把代入，可得 ， ， ，即， 二次函数， 二次函数的“影差”最小值为， 的最小值为， 则可得， 解得， 故的值为或． 六、（本大题12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】 （1）．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全区2026年春九年级适应性考试 数学试题卷 说明： 1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.不得使用计算器，按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6个小题，第小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 如图，数轴上点A表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图所示的是收藏于江西省博物馆的南宋云头纹银杯，关于该物体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图都一样 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某市教育局管辖的8万名初中生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（ ） A. 随机抽取某一所初中的全体学生． B. 每个县区各推荐30名学生． C. 将全市所有初中生的学籍信息输入电脑程序，在电脑中随机抽取500名学生． D. 在市区几所中学的体育课上，随机抽取40名学生． 5. 如图，这是某物质熔化和凝固过程中温度（单位：） 随着时间（单位：）变化的图象，下列说法中，错误 的是（ ） A. 该物质在熔化和凝固过程中，最高温度为 B. 该物质在熔化和凝固过程中温度保持不变的时间为 C. 当时，温度随着时间的增大而减小 D. 加热前该物质的温度为 6. 某科技公司生产了贝拉、艾米、思睿、尊者四款机器人，图中的横、纵坐标分别为机器人的固定投入量和实际产出量．该公司准备将其中一款机器人批量生产并投入市场，需从这四款机器人中选一款生产效率最高的，则应选择（注：）（ ） A. 贝拉 B. 艾米 C. 思睿 D. 尊者 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ______． 8. 因式分解： ______． 9. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 10. 不等式的解集是__________． 11. “即时零售”的兴起是近年来中国零售市场最大的变化之一．某平台的配送员从线下超市取货，先后到距离超市的地和距离地的地配送商品．从地赶往地时，因配送时间紧张，速度提高为从超市到地的倍，则从地到地比从超市到地用时少．设配送员从超市到地的速度是：，则可列分式方程为___________． 12. 如图，在矩形中，．点在边上，且，分别是边，上的点，且，是线段上的动点，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且．求证：． 14. 计算：． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中画的中位线，使点分别在边上； （2）在图②中画的高线． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它蕴含了儒家思想的核心内容，是儒学认识论和方法论的集中体现，也是中国传统文化的重要组成部分．某校准备开展以“四书”为主题的校园文化黑板报活动，为公平起见，校团委制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并分别标上《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，各班班长转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的书名即为该班黑板报主题(当指针指在分界线上时不计次数，重转)． （1）随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于______事件；(填“随机”“不可能”或“必然”) （2）甲、乙分别是该校九（1）班、九（2）班的班长，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到的黑板报主题不同的概率． 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC． （1）求∠B的度数； （2）若AB＝3，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． （1）求，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 19. 【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． （1）求的长度； （2）若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 20. “今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． （1）甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ （2）由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示； B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 14和16 15 B型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中______，_______； （2）请计算表中c的值；（需要写出计算过程） （3）随着电商行业持续火爆，快速分拣工作量日益增大，该快递分拣站计划再购进一批智能机器人，你认为应该购进A型号机器人还是B型号机器人，请说明理由． 22. 定义：在平面直角坐标系中一点，点的纵坐标与其横坐标的差（）称为点的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）二次函数当时“影差”值为0． ①求、的值． ②求此时该二次函数点“影差”最大值． ③求该二次函数点“影差”大于5时的的取值范围． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“影差”相等，求的值． 六、（本大题12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $