第二十一章四边形 单元测试卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版八年级下册数学第二十一章四边形单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边的中点，连接．下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（本题3分）正五边形的每个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 7．（本题3分）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，的面积为4，则点到的距离为（   ） A．4 B．2 C．12 D．10 10．（本题3分）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为___________． 12．（本题3分）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 13．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则长为__________． 14．（本题3分）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是 ． 15．（本题3分）如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 16．（本题3分）如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 18．（本题8分）如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 19．（本题8分）如图，在中，点，分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的周长及矩形的面积． 20．（本题8分）已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 21．（本题9分）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，． (1)试判断四边形的形状并说明理由； (2)若，求证：． 22．（本题9分）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 23．（本题10分）小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 24．（本题12分）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点D出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当t为何值时，的长度为10？ (3)在P、Q运动过程中，四边形是有没有可能是菱形？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由． 第2页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B D B B B D 1．C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 2．C 【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴，， ∵点是边的中点， ∴． 3．A 【分析】由四边形是平行四边形，得，，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 4．D 【分析】多边形内角和公式为，正五边形边数，且正五边形每个内角相等， 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴正五边形每个内角度数为． 5．B 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 6．D 【分析】由菱形的性质可得，，，．由等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求出．根据，得出等式，变形后即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．B 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 9．B 【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知点 到 的距离等于点 到 的距离，即 的高，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设点 到 的距离为 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离，均为 ， ， ， ， ， ∴点 到的距离为2． 10．D 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 11． 3 【分析】依据三角形中位线定理，即可得到，，依据，即可得到． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 12． 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 13． 【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分得，，在中利用勾股定理即可求得长． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，， 在中， ， ∴． 14． 【分析】容易判断是的中位线，则，，同理，，结合可得，．由平行线的性质和三角形外角的性质可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 16． 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出、的长，最后求和即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，点为的中点， ， 在中，点为的中点， ， ． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，由得到，从而根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得到，，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18．(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先证明，再结合即可得证． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． 19．(1)见解析 (2)的周长为；矩形的面积为4 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即，证明，则可证明四边形是平行四边形，再由即可证明结论； （2）由矩形的性质得到，由勾股定理求出，则，据此可求出矩形的面积；求出，根据平行四边形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 20．(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论； （2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵点E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与相等的角为，，，． 21．(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)见解析． 【分析】（）四边形是平行四边形，得，证明，所以，同理可得，可证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是菱形； （）在上取点，使，则有，由四边形是平行四边形，则有，所以，又，则然后通过四边形是菱形，证明，，所以，可得，证明，所以，从而可证． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 23．(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)① ② 【分析】（1）利用折叠后，再利用矩形对边平行得到，求出答案． （2）由为对应点，可知直线是线段的垂直平分线． （3）①连，利用折叠的对称性得到，再利用勾股定理及等量代换求出答案． ②利用直角三角形的中线等于斜边的一半得出，再利用平行得出，证明，再利用新得的条件证，最后解出答案，最后解出答案． 【详解】（1）解：∵是由折叠所得， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图所示，点为所求点． （3）解：①如图所示，连， ∵矩形沿对折，， ∴， ∵矩形沿折叠，且点与点为对应点， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 又∵矩形， ∴，，， 设，则， 在和中， ，， ∴， 解得， 即． ②，理由如下： 如图所示，作线段的中点， 连接， ∵矩形，四边形由四边形折叠所得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为梯形， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵矩形沿线段对折，矩形沿折叠，且点为对应点， ∴，， 在 和中， ， ∴， ∴， 则， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题与直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键点在于理解折叠后的图形与原图形全等，得出新条件，最后利用勾股定理和三角形全等以及方程思想解决问题． 24．(1) (2)或 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，若四边形是平行四边形，则，即可得到答案； （2）过点作于点，，求出，即，即可得到答案； （3）四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足，则，此时，过点作于点，则，得到． 【详解】（1）解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， ， 点到达点需要，点到达点需要，且其中一个到达端点即停止， ， 若四边形是平行四边形，则， ， 解得； （2）解：过点作于点， 则， 在中，， ， ， ， ， 当时，； 当，； 和都在范围内， 答：当为或时，的长度为； （3）解：四边形不可能是菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则首先它是平行四边形，需满足， ， ， 此时， 过点作于点，则，， 在中，， ，即， 故四边形不可能是菱形． 答案第20页，共20页 答案第19页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $