精品解析：云南昆明理工大学附属高级中学2025-2026学年下学期期中检测高一年级数学试题

昆明理工大学附属高级中学2025—2026学年下学期期中检测 高一年级数学试题卷 命题人：岳纯 审题人：李庆丽 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效. 2考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项，请将该选项对应的字母填涂在答题卡上.不选､多选､错选均不得分.） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 则. 2. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论． 【详解】的充要条件为，即或， “”是“或”成立的充分不必要条件， “”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断． 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量投影可得； 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且， 所以，且， 所以. 5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】上底边长，下底边长，侧棱， 由正四棱台性质可得： 如图，， 所以，再由勾股定理可得棱台的高：， 代入体积公式计算： . 6. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 7. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得出边长之比，求得三角形的三边长，然后由海伦公式计算面积． 【详解】解：周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：， 利用正弦定理整理得：c：a：b＝2：3：， 令， 所以c＝2k，a＝3k，b＝， 利用a+b+c＝2k+3k+k＝5+， 解得k＝1， 故c＝2，b＝3，b＝． 故． 故选：A． 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的周期为4，再根据所给解析式求出一个周期内的函数值之和，可求出结果. 【详解】为偶函数，所以， 令，可得，也即， 因此函数的对称轴为，且； 又因为为奇函数，因此，所以 所以，也即，； 可得，可知函数的周期为4， 又因为当时，（且），所以，可得； 又易知，由可得，可得; 所以； 因此则. 二､多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，请将正确选项对应的字母填涂在答题卡上.其中选全6分，部分选对得部分分，错选0分.） 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 复数的共轭复数为，故B错误； 为实数，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案. 【详解】由题意还图可得 对于A，由，则，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，，则两两异面，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，如下图： 由分别为的中点，则， 所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面， 易知，，则面积为，故D正确. 故选：BCD. 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 且的图象恒过定点_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 13. 已知满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用两角差余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用二倍角余弦公式及弦化切计算求解. 【详解】因为， 所以，则， 则. 故答案为：. 14. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围. 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 四､解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分） 15. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【小问1详解】 ， 因不共线，故，故. 【小问2详解】 , 故 . 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦二倍角公式辅助角公式先化简，然后利用正弦型函数单调性求解即可； （2）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 令， 解得，即的单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，则， 因为，所以，则，解得， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以． 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得：，， ，又，. 【小问2详解】 由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明如下： 连接，因为点分别为棱的中点，则， ∵在正方体中且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四点共面； （2）证明如下： 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， ∴，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：； （3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 由（1）知，， 所以 . （3）. 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为. 则. 又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成， 所以，则. 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令， 则. 因为，所以，即. 令. 因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明理工大学附属高级中学2025—2026学年下学期期中检测 高一年级数学试题卷 命题人：岳纯 审题人：李庆丽 （全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效. 2考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好. 第I卷（选择题，共58分） 一､单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项，请将该选项对应的字母填涂在答题卡上.不选､多选､错选均不得分.） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A. -18 B. -12 C. 6 D. 12 5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二､多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，请将正确选项对应的字母填涂在答题卡上.其中选全6分，部分选对得部分分，错选0分.） 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 且的图象恒过定点_________． 13. 已知满足，则________． 14. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 四､解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分） 15. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 17. 已知的内角的对边为，且. （1）求角； （2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：； （3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $