精品解析：云南昆明市安宁市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

安宁一中高一年级2025-2026学年度下学期期中考试 数学试卷 （试卷满分150分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知全集为，集合，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确集合的元素，再求出集合的补集，最后求交集即可得到答案. 【详解】已知全集为，集合，所以； 因为集合，则或. 所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，利用充分必要条件进行判断即可. 【详解】由解得或， 则“或”不一定推出“”，充分性不成立； “”一定推出“”，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： 3. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的几何意义得，再由复数、共轭复数的定义及复数的运算，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内对应点坐标为，则，所以， 则，所以的虚部是. 4. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，，， 所以. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 即有． 故选：C． 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及两角和与差的余弦公式求解即可. 【详解】由题意得，所以， 即，又， 所以，，所以． 8. 如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，其中少选得部分分，错选得0分） 9. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得对应的点，即可根据向量相等得，进而可判断A，根据复数模长公式即可求解B，根据共轭即可求解C，根据复数的除法运算即可求解D. 【详解】如图，由题意得，，， 由于,则，，A正确． ，B正确． ，C错误． ，D正确． 故选：ABD 10. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期 B. C. 函数为奇函数 D. 的图象关于对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】观察图象求得周期即可判断选项A；观察图象求得，，进而求出，即可判断选项B；化简即可判断选项C；令，求出图象的对称中心即可判断选项D. 【详解】由图象可得，．故A错误； 又，，故，所以． 则，所以． 解得，又．所以， 故． 所以．故B正确； 为奇函数．故C正确； 令，得， 所以的图象关于对称．故D正确． 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 若，则当B，O，P三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设， 所以， 当时，的最小值为2，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 13. 如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ______；图形的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空由直观图求出原图梯形的相关长度，计算可得. 【详解】根据题意，直观图梯形中，，， 还原原图可得： 则原图中，，，，， 则其面积. 故答案为：；. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【详解】设中点为，在和中，分别使用余弦定理可得 ①， ②， 又，所以， 联立①②可得③， 又在中，根据余弦定理有即④， 联立③④可得，所以． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得； （2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 解：由题意， 因为，则，得， 则，所以； 【小问2详解】 由已知，又，， 所以，得， 则，， ，， 故与的夹角的正弦值为． 16. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】（1）对称轴； （2） ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变形化简可得，再利用整体法求对称轴及值域； （2）先由三角函数平移变换得到，再整体代入求单调区间即可． 【小问1详解】 由题意得 ， 令，，则 ， 所以对称轴为 ， 因为，所以，所以， 则的对称轴为 ，在上的值域； 【小问2详解】 向右平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到， 令， 解得， 所以的单调递增区间为 ． 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 18. 在中，,设，． （1）用，表示，； （2）若，向量的夹角为，求的模长； （3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1）； （2） （3） 因， 而由（1）知，则， 又共点，故，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算结合图形即可求解； （2）利用向量的数量积的定义与运算律计算即得； （3）利用条件表示出，推得即可得证. 【小问1详解】 ； ； 【小问2详解】 依题意，，由（1）得， 则； 【小问3详解】 略 19. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形． （1）求弧长和扇形的面积； （2）设，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用弧长和面积公式计算求解； （2）根据扇形的几何性质，结合三角形和矩形的几何性质和正方形面积公式列出面积表达式，利用倍角公式化简得出正弦型函数，利用正弦函数的性质求最大值． 【小问1详解】 已知扇形的圆心角为，半径为， 由弧长公式得， 扇形的面积． 【小问2详解】 设，在直角三角形中，， 四边形是矩形， ， ，解得， ， 当，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安宁一中高一年级2025-2026学年度下学期期中考试 数学试卷 （试卷满分150分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知全集为，集合，，则（） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. i B. 1 C. D. 4. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分，其中少选得部分分，错选得0分） 9. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 10. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期 B. C. 函数为奇函数 D. 的图象关于对称 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 若，则当B，O，P三点共线时， 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 13. 如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形中， ______；图形的面积为______． 14. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的正弦值． 16. 已知函数. （1）求的对称轴和在上的值域； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 17. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 18. 在中，,设，． （1）用，表示，； （2）若，向量的夹角为，求的模长； （3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线． 19. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形． （1）求弧长和扇形的面积； （2）设，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $