精品解析：北京市朝阳区北大附中朝阳未来学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

25-26北大附中朝阳未来学校高一数学第二学期 期中考试 2026.4.21 1.本次考试用时共90分钟； 2.本次考试共4道大题，21道小题，满分100分；其中选做题10分，卷面超过100分，按100分计成绩； 3.请将答案写在答题卡的相应位置. 一、选择题：（单选题，本大题共48分，12个题，每小题4分） 1. 与相等的角度是（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 中心角为的扇形，它所含的弧长为，则它的半径为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 集合中角终边所处位置是（ ） A. 轴 B. 轴 C. 非负半轴 D. 非负半轴 6. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的图象的一个对称中心坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是第三象限角，化简（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 11. 在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共20分，5个小题，每小题4分） 13. 已知向量，满足：，，，则（1）__________；（2）__________. 14. 化简__________. 15. 在中，，，，则： （1）__________； （2）在上投影的数量=__________. 16. 已知，且，则__________. 17. 已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共32分，3个大题，18题9分，19题11分，20题12分） 18. 如图，以为始边作角与，角终边过点. （1）求值； （2）求的值； （3）若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 19. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.网格纸上小正方形的边长为1. （1）直接写出， （2）求； （3）求，. 20. 已知函数. （1）补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 （2）写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （3）直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： （4）设函数，求函数的值域 四、选做题（满分10分） 21. 设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. （1）求的值； （2）求证：为周期函数，并求出其一个周期； （3）求函数解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26北大附中朝阳未来学校高一数学第二学期 期中考试 2026.4.21 1.本次考试用时共90分钟； 2.本次考试共4道大题，21道小题，满分100分；其中选做题10分，卷面超过100分，按100分计成绩； 3.请将答案写在答题卡的相应位置. 一、选择题：（单选题，本大题共48分，12个题，每小题4分） 1. 与相等的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由诱导公式，再求值即可得解. 【详解】解：， 故选：A. 【点睛】本题考查了诱导公式及三角函数求值问题，属基础题. 3. 中心角为的扇形，它所含的弧长为，则它的半径为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，故. 5. 集合中角终边所处位置是（ ） A. 轴 B. 轴 C. 非负半轴 D. 非负半轴 【答案】B 【解析】 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 6. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用角的分类及充分不必要条件定义求解. 【详解】“角为钝角”可以推出“角为第二象限角”， 取，为第二象限角，但不是钝角， “角为第二象限角”不能推出“角为钝角”， 所以“角为钝角”是“角为第二象限角”的充分不必要条件. 7. 函数的图象的一个对称中心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由的对称中心为， 令，解得， 则函数的图象的对称中心坐标是， 时，函数的一个对称中心坐标为． 8. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据诱导公式，可得. 而，因此，即. 9. 已知是第三象限角，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及所在象限计算即可得. 【详解】， 由是第三象限角，则，故. 10. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数，图像关于轴对称，故A错误， 因为当时，，故选项BC错误， 选项D中的图象，符合以上要求. 11. 在Rt中，是斜边上的高，如图，则下列等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助数量积公式计算可得A、B、C；借助等面积法计算可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：由，则， 又，， 则，故D正确. 12. 如图，已知四边形，，，是的中点，，若，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，结合题中已知条件得出，，，，通过，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】解：令，因为，，， 所以，， 又因为是的中点，，所以，，， 故可得，， 所以 ， 当时，取得最小值， 二、填空题：（本大题共20分，5个小题，每小题4分） 13. 已知向量，满足：，，，则（1）__________；（2）__________. 【答案】 ①. 0 ②. -7 【解析】 【分析】根据向量数量积的性质及运算律求解. 【详解】（1）； （2）. 14. 化简__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 15. 在中，，，，则： （1）__________； （2）在上投影的数量=__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用数量积定义计算求解，再应用投影数量计算求值. 【详解】在中，，，，则； 在上投影的数量为. 16. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助与的关系计算即可得. 【详解】， 由，则，故， 故. 17. 已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. 三、解答题：（本大题共32分，3个大题，18题9分，19题11分，20题12分） 18. 如图，以为始边作角与，角终边过点. （1）求值； （2）求的值； （3）若角与的终边分别与单位圆相交于点，，且.求的值.] 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求解即可； （2）利用齐次式法求解即可； （3）利用三角函数的定义可求得，结合图形与已知可得，利用诱导公式求解即可. 【小问1详解】 因为角终边过点，所以. 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为角终边过点，所以， 所以， 因为，结合图形可得， 所以，， 所以. 19. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.网格纸上小正方形的边长为1. （1）直接写出， （2）求； （3）求，. 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【小问1详解】 由图可知，， 由向量模长公式； 将，，，代入向量夹角余弦公式得 . 【小问2详解】 由于， 则. 【小问3详解】 根据模长公式：； 根据点积公式：. 20. 已知函数. （1）补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 （2）写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； （3）直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： （4）设函数，求函数的值域 【答案】（1）答案见解析 （2）将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度 （3）单调增区间为，对称轴方程为 （4） 【解析】 【分析】（1）借助五点法计算及画图即可得； （2）利用三角函数平移与伸缩变换的性质即可得； （3）结合正弦型函数性质计算即可得； （4）结合三角恒等变换公式将化简后，结合值域计算即可得. 【小问1详解】 补全表格如下： 0 简图如下： 【小问2详解】 将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度， 再将横坐标变为原来的，即可得到该函数的图象； 或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的， 再向左平移个单位长度，即可得到该函数的图象； 【小问3详解】 令，解得， 即该函数的单调增区间为； 令，， 即该函数图象的对称轴方程为； 【小问4详解】 ， ， 则， 当时，，则， 当时，； 当时， ； 综上可得：函数的值域为. 四、选做题（满分10分） 21. 设函数定义域为，对一切，均满足：，且（实数、为非0常数）. （1）求的值； （2）求证：为周期函数，并求出其一个周期； （3）求函数解析式. 【答案】（1） （2） 令，则， 则，即， 则，故， 则，故为周期函数，且为其一个周期； （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）令代入计算可得，再变形计算即可得其周期； （3）令，可得，结合（2）中所得，可得，即可得函数解析式. 【小问1详解】 令，则， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，则， 由（2）知，故， 则， 即，即， 令，，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $