山东德州市齐河第一中学2025-2026学年高二下学期5月份模拟数学试题

**基本信息** 高二年级5月数学模拟卷聚焦数列与概率统计，通过环境保护竞赛、博物馆参观等真实情境设计解答题，考查数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|数列（1、3）、概率（2、5）|结合“孙子定理”（8题）考查传统文化与数列综合| |多选题|3/18|等差数列（9）、独立事件（10）|踢毽子传球模型（11题）体现递推思想| |填空题|3/15|期望计算（12）、数列求和（13）|“好数”定义（14题）创新考查数列前n项和| |解答题|5/77|数列通项与求和（15）、正态分布（16）、线性回归（18）、概率模型（19）|环境保护竞赛（16题）结合频率分布直方图与正态分布，博物馆参观（18题）融合线性回归与离散型随机变量，体现数学语言表达现实世界|

2025-2026学年下学期高二年级5月模拟 数学学科试题答题卡 2026.05 注意事项： 1、 考生答题前，在规定的地方准确填写考号和姓名。 2、 选择题作答时，须用2B铅笔填涂，如对答案进行修改，用橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卷。 3、 在答题卷对应题号指定的答题区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。 班级： 姓名： 考号： 座号： 选择题（请用2B铅笔填涂，单选每题5分，多选每题6分，共58分） 1、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 9、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 得 分 填空题．【每题5分】(15分) 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学 答题卡 第1页 （共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 16．(15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 得 分 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.（15分） 19．(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学 答题卡 第2页 （共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．(17分) 得 分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级5月份模拟 数学学科试题 2026.05 命题人： 审核： 班级：________________姓名：________________考号：________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每个小题只有一个选项符合题目要求。 1.已知数列满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 2.设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A. B． C． D． 3.在等比数列中，，，则（    ） A．36 B． C． D．6 4．下列说法正确的有（    ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 5.某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 6.等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A．26 B． C． D．24 7．甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（    ） A． B． C． D． 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（    ） A．26 B．36 C．38 D．46 二、本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．事件与事件互为独立事件 11.踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，设X为抽到男生的人数，则E(X)为__________． 13.数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 14.已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 16．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：   (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 17.设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 18．某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； (2)国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设X为4人中从2号门出馆的人数，求X的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级5月模拟 数学学科试题参考答案 2026.05 一、单选题 1.B 2.D 3．D 4. D 5．C【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，设小明答对试题为事件，则， ，，，，， 由全概率公式得：. 6．A【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且，即，整理可得，解得或（舍去），可得，令，解得， 所以数列的前6项和为. 7．D【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为，所以． 8．C【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，， 因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，， 而，则数列是等差数列， 于是，， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，取得最小值38. 二、多选题 9．BD【详解】由，得或，即或，显然，故B正确；则，故A错误；对于C，当时，有，此时，等差数列为递增数列，则，故C错误；对于D，当时，有，解得，则，故D正确. 10.ABD 【详解】， 所以，A正确；，B正确；，C错误；，D正确． 11．BCD【详解】由题意知，故A错； 由题意的可能取值为0,1，， 所以，故B对， 由题意知第次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为，所以，故C对，由，得到，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，故D对， 三、填空题 12. 13. 14．6108 【详解】依题意，数列的前项和 ，由正整数为数列的“好数”， 得，且为正整数，由，得，由，得，即，而数列是递增数列，，因此，在内所有的好数之和为. 四、解答题 15．【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 时也成立，所以． 设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且， 所以， 则，所以，所以． （2） 16.【详解】（1）预赛成绩在范围内的样本量为：， 预赛成绩在范围内的样本量为：， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则， 又， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 故． （2）， ，则，又，故， 故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人， 因为，故小明有资格参加复赛. 17．【详解】解：（1）由题意知：当时，，代入得：， 所以，由得：，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，，当时， 当时，也符号上式，所以 （2） 由（1）得：， 所以 ，显然单调递增，所以由题意得：，即，又，所以的取值范围为． 18．【详解】（1）依题意，，而，，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从2号门出馆”为事件A，“甲从1号门进馆”为事件B， “甲从2号门进馆”为事件C，“甲从3号门进馆”为事件D. 由题意可得，，， ，. 由全概率公式得： . 同理乙、丙、丁从号门出馆的概率也为， 为人中从号门出馆的人数，则， ，， ，， ， 故X的分布列为： ，. 19．【详解】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 . （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则，所以， 令，所以， 两式相减：， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ，即， 同理：，， ，， 累加有，所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $