精品解析：河北省邯郸市第二十五中学2025-2026学年九年级下学期数学学情调研试题

2026年初三下学期数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义即可得到答案. 【详解】解：选项A是轴对称图形，但不是中心对称图形； 选项B和C,既是轴对称图形又是中心对称图形； 选项D是中心对称图形，但不是轴对称图形． 故选：A. 2. 下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ）． A. 的倍 B. 与的积 C. 个相加的和 D. 个相乘 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 3. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是， 故选： 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则求解即可； 【详解】解：A. ，原选项计算错误； B. ，原选项计算错误； C. ，原选项计算错误； D. ，原选项计算正确； 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由两直线平行，同位角相等可知， 若，则． 6. 已知,则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析. 【详解】A在不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，故A错误； B在不等式的两边同时乘以3，不等号的方向不变，故B错误； C在不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向改变，故C正确； D在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，故D错误. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，（1）在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变； （2）在不等式的两边同时乘以或除以（不为零的数）同一个正数，不等号的方向不变； （3）在不等式的两边同时乘以或除以（不为零的数）同一个负数，不等号的方向改变. 7. 如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负的． 【详解】解：由数轴可知，． A、二次根式有意义的条件是，则当时，其无意义； B、二次根式有意义的条件是，即，正确； C、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义； D、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义． 8. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（    ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】A 【解析】 【详解】解：俄罗斯稀土储量为1000万吨吨吨， ∵中国稀土储量是俄罗斯的4.4倍， ∴中国稀土储量为吨． 9. 设是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 对所求代数式变形得： ， 将代入得： 原式 ， 故选C 10. 化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据临界点求出直线解析式即可解答． 【详解】解：如图所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 如图3所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 综上，． 12. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第二象限， ∵第二象限的点，点，点，……，， ∴点． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根的定义求出的值，再根据有理数减法法则计算得到最终结果． 【详解】解： 14. 已知：如图，，，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形相似的性质得即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解： 的面积为6． ＞， 把代入 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 16. 我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，利用正多边形的性质可得，，，利用圆周角定理可得，，即得，进而得到，即得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理、锐角三角函数求出半径即可求解． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接，过作于，如图，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，即的半径为， ∴的长． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 下面是小明同学解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为，得．⑤ （1）聪明的你知道小明的解答过程在________（填序号）处出现了错误，出现错误的原因是违背了__________． A．等式的基本性质；B．等式的基本性质；C．去括号法则；D加法交换律． （2）请你写出正确的解答过程 【答案】（1）①；B；（2） 【解析】 【分析】（1）根据去分母法解方程的过程及要求判断； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【详解】（1）根据解方程的步骤可知：在①处出现了错误，1没有乘以6， 故选：B； （2）， 3（3x+1）=6-2(2x-2)， 9x+3=6-4x+4， 13x=7， . 【点睛】此题考查解一元一次方程，按照正确的解方程的步骤计算是解题的关键. 18. 任意给定一个非零数，按下列程序计算． （1）请用含的代数式表示计算程序，并给予化简． （2）当输入的数时，求输出结果． 【答案】（1）运算程序为，化简后的结果为； （2）当输入的数时，输出结果是． 【解析】 【小问1详解】 由题意可得， 计算程序为：， ， 【小问2详解】 当时，输出结果为： ， 即当输入的数时，输出结果是． 19. 如图，，点在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，等边对等角，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，可得，，结合题意可证． （2）根据等边对等角和三角形全等的性质可得，再结合三角形内角和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有　 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）200、144； （2）补全图形如下： （3）被选中的2人恰好是1男1女的概率． 【解析】 【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得； （2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人）， 扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× ＝144°， 故答案为200、144； （2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人）， （3）画树状图为： 或列表如下： 男 女1 女2 女3 男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男） 女1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女） 女2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣ ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． （1）求散热架的高度； （2）垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）由，即可求出的长； （2）如图1，过B作交的延长线于H，由得到，求出，据此解答即可． 【小问1详解】 解：如图2，在中， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，过B作交的延长线于H， ， ， ， ， 如图2，， 垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了． 22. 如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． （1）当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； （2）当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①连接，交于点， ② （2） 【解析】 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：①如图， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分； ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点． 23. 综合与实践 【情境】现有矩形纸片，，，要在该纸片上找一点P，使得．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以为弦的圆弧上，试作出此圆弧． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的思路如下： ①作的平分线； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 如图2，淇淇的思路如下： ①作线段的垂直平分线，与交于点E，与交于点F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图1中，______，并求的半径； （2）根据淇淇的作图过程，请说明图2中的； 【拓展】结合以上活动经验，进一步解决下面的问题． （3）在纸片中找一点Q，且，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧不写作法，保留作图痕迹； （4）在（3）的基础上，连接，直接写出长的最小值． 【答案】（1）90；的半径为 （2） 证明：连接，如图， 为的垂直平分线， ， 以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O， 为的直径， ， 为的圆心角，为的圆周角， ； （3） 如图，劣弧即为所求． （4） 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，求出，即可求出结论； （2）连接，得出，，进而说明求出结论； （3）先分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点M，交于点N，即可得出图形； （4）连接，交于点Q，过点O作于点E，于点F，证明四边形为矩形，再求出，即可求出结论． 【小问1详解】 解：四边形为矩形， ， ，分别为，的平分线， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 的半径为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：1.分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点O， 2.以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点M，交于点N， 则劣弧即为所求． 【小问4详解】 解：连接，交于点Q，如图， 则此时的长取得最小值， 过点O作于点E，于点F， 则， 由作法可知：的半径为4，为等边三角形， ，， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 长的最小值为． 24. 某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据平移的性质，设抛物线的解析式为：代入，即可求解； ②由①可知抛物线解析式为：令，解方程，即可求解； （3）根据题意且解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意抛物线的顶点为， 则抛物线的表达式为 将点代入得：， 解得 所以抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：①根据平移的性质，设抛物线的解析式为： 由于抛物线经过点，则 解得： ②由①可知抛物线解析式为： 令，则 解得：或（舍去） 点B的横坐标为 【小问3详解】 解：根据题意且解 即且 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三下学期数学学情调研 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（    ）． A. 的倍 B. 与的积 C. 个相加的和 D. 个相乘 3. 如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知,则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（    ） A. B. C. D. 8. 稀土是加工制造、国防军工等不可或缺的原料．据有关数据表明：全球已知的稀土总储量约为亿吨，俄罗斯的稀土储量有1000万吨，而中国是俄罗斯的倍，则中国的稀土储量用科学记数法表示为（    ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 9. 设是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 10. 化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. ________． 14. 已知：如图，，，，，则______． 15. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 16. 我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰《九章算术注》中指出，“周三径一不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立了计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法，如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 下面是小明同学解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为，得．⑤ （1）聪明的你知道小明的解答过程在________（填序号）处出现了错误，出现错误的原因是违背了__________． A．等式的基本性质；B．等式的基本性质；C．去括号法则；D加法交换律． （2）请你写出正确的解答过程 18. 任意给定一个非零数，按下列程序计算． （1）请用含的代数式表示计算程序，并给予化简． （2）当输入的数时，求输出结果． 19. 如图，，点在上． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有　 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率． 21. 一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． （1）求散热架的高度； （2）垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 22. 如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． （1）当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； （2）当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 【情境】现有矩形纸片，，，要在该纸片上找一点P，使得．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以为弦的圆弧上，试作出此圆弧． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的思路如下： ①作的平分线； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 如图2，淇淇的思路如下： ①作线段的垂直平分线，与交于点E，与交于点F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图1中，______，并求的半径； （2）根据淇淇的作图过程，请说明图2中的； 【拓展】结合以上活动经验，进一步解决下面的问题． （3）在纸片中找一点Q，且，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧不写作法，保留作图痕迹； （4）在（3）的基础上，连接，直接写出长的最小值． 24. 某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； （3）在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $