8 2024年邢台市、邯郸市中考数学一模试卷改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 29　 　 8 2024 年邢台市、邯郸市中考数学一模试卷改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. - 1 7 表示 ( A ) A. -7 的倒数 B. -7 的相反数 C. 7 的倒数 D. 7 的相反数 2. 如图,已知 A、B 两个城镇之间有两条线路,线路①:隧道公路线段 AB;线路②:普通公路折线段 AC-CB,我们知道,线路①的路程比线路②的路程小,理由既可以是两点之间,线段最短,还可以是( D ) A. 垂线段最短 B. 直角三角形,斜边大于直角边 C. 两点之间,直线最短 D. 三角形两边之和大于第三边 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在边长为 1 的正方形网格图中,以 O 为位似中心,作线段 AB 的位似图形,若点 D 是点 B 的对应 点,则点 A 的对应点是 ( D ) A. 点 C B. 点 F C. 点 E D. 点 G 4. 下列选项中,一定相等的一组是 ( A ) A. a(b+c)与 ab+ac B. 3a2 -a2 与 3 C. -2 1 3 与-2+ 1 3 D. 22 +0. 52 与 2. 52 5. 如图,有甲、乙两个四边形,分别标出了部分数据,则下列判断正确的是 ( A ) A. 甲是矩形 B. 乙是矩形 C. 甲、乙均是矩形 D. 甲、乙都不是矩形 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,若 x 是整数,且满足 2x-1>0, -2x+4>0,{ 则 x 落在 ( B ) A. 段④ B. 段③ C. 段② D. 段① 7. 图①所示的几何体是由 8 个大小相同的小正方体组合而成,现要得到一个几何体,它的主视图与左视 图如图②,则至多从图①中拿走这样的小正方体多少个不影响图②的主视图与左视图 ( C ) 第 7 题图 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种,且应用广泛,某红外线遥控器发出的红外线波长约为 9. 4×10-7 m,则下列说法正确的是 ( C ) A. 9. 4×10-7 +10 = 9. 4×10-6 B. 9. 4×10-7 -1. 4 = 8×10-7 C. 9. 4×10-7 是 8 位小数 D. 9. 4×10-7 是 7 位小数 9. 嘉淇在化简分式 m m-1 - 1 m+1 时,解答过程如下: 　 m m-1 - 1 m+1 = m(m+1) (m-1)(m+1) - m-1 (m+1)(m-1) …(第一步) =m(m+1) -(m-1)…(第二步) =m2 +m-m+1…(第三步) =m2 +1…(第四步) 已知嘉淇的解答过程是错误的,则他开始出现错误的步骤是 ( B ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 10. 综合实践课上,嘉嘉画出∠AOB,如图①,利用尺规作图作∠AOB 的平分线 OP. 其作图过程如下: (1)如图②,在射线 OA 上取一点 D(不与点 O 重合),作∠ADC= ∠AOB,且点 C 落在∠AOB 内部; (2)如图③,以点 D 为圆心,以 DO 长为半径作弧,交射线 DC 于点 P,作射线 OP,射线 OP 就是∠AOB 的平分线. 第 10 题图 在嘉嘉的作法中,判断射线 OP 是∠AOB 的平分线过程中不可能用到的依据是 ( D ) A. 同位角相等,两直线平行 B. 两直线平行,内错角相等 C. 等边对等角 D. 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 11. 嘉淇在判断一元二次方程 4x2 -12x+m= 0 根的情况时,把 m 看成了它的相反数,得到方程有两个相等 的实数根,则原方程 4x2 -12x+m= 0 根的情况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 两根之积为 3 C. 有两个相等的实数根 D. 两根之和为-3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 30　 12. 题目:“如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ABC = 90°,以点 A 为圆心,以小于 AB 的长度为半径作 ☉A,P 是☉A 上一点,连接 BP. 将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BP′,连接 PP′. 当∠APB 为 何度数时,PP′与☉A 相切,切点为 P?”对于其答案,甲答:∠APB = 135°;乙答:∠APB = 60°;丙答: ∠APB= 45°. 则下列判断正确的是 ( B ) A. 只有甲答案对 B. 甲,丙答案合在一起才完整 C. 乙,丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 第 12 题图 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 第 16 题图 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 15,16 小题第一空 1 分,第二空 2 分) 13. 一个不透明的盒子中装有 3 个黑棋和若干个白棋,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸 到黑棋的概率是 1 4 ,则盒子中棋子的总个数是 . 14. 若 ? × 8 = 4,则“?”是 . 15. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,P,Q 点分别是 BC,CD 的中点,点 M 从点 P 出发,沿 PB→BA→AF→ FE→ED→DQ 向终点 Q 运动,在运动过程中,若 MP=PQ. (1)则点 M 在边 上; (2)若 AB= 2,则 MQ= . 16. 如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,△ABC 的顶点均在格点上,将△ABC 向右平 移 1 个单位长度得到△A′B′C′. (1)△ABC 的面积为 ; (2)阴影部分的面积为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 某仓库 5 月份前 6 天,每天粮食相对于前一天变化(单位:袋)如图,其中增加粮食记作“ +”,减少粮食 记作“ -” . 第 17 题图 (1)通过计算说明前 6 天,仓库粮食总共的变化情况; (2)在 1~ 7 号中,如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半,求 7 号这天仓库粮食变 化情况. 18. (本小题满分 8 分) 如图①、图②均由边长为 1 的小正方形按照一定的规律排列而组成的. 第 18 题图 设图①中第 n(n>1)个图形有小正方形的个数为 t甲,图②中第 n(n>1)个图形有小正方形的个数为 t乙. (1)请用含 n(n>1)的代数式表示 t甲、t乙,并求当 n= 6 时,t甲+t乙 的值; (2)比较 t甲 和 t乙 的大小,并说明理由. 解:(1)由题图①可知,t甲 =2+3(n-1)= 3n-1,由题图②可知,t乙 =n(n+1), 当 n=6 时,t甲+t乙 =3n-1+n(n+1)= n2+4n-1=62+4×6-1=59; (2) t甲< t乙 .理由如下:∵n>1,∴ t甲-t乙 =3n-1-n(n+1)= -n2+2n-1=-(n-1) 2<0,∴ t甲< t乙 . 19. (本小题满分 8 分) 温室内,经过一段时间育苗,随机抽取一些种苗并对它们的株高进行测量,把测量结果制成如图尚不 完整的扇形统计图与条形统计图,若种苗株高的平均数或中位数低于 12 cm,则需要对育苗方法进行 调整. (1)在扇形统计图中,m= ; (2)求抽取的种苗株高的平均数和中位数,并判断是否需要对育苗方法进行调整; (3)若再随机抽取 n 株种苗,对其高度进行测量,并与前面抽取的种苗株高合在一起,发现中位数变 大,求 n 的最小值. 第 19 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 31　 　 20. (本小题满分 8 分) 方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形,△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上. (1)如图①,在方格纸上画出一条裁剪线,沿裁剪线把△ABC 剪成 2 个图形,把 2 个图形进行无缝无重 叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等),使拼接后的新图形是中心对称图形(只看新图形的轮 廓,不看图形内部拼接线),新图形的顶点都在方格纸上的顶点上; (2)如图②,在方格纸上画出两条裁剪线,沿裁剪线把△ABC 剪成 3 个图形,把 3 个图形进行无缝无重 叠拼接(即新图形面积与原图形面积相等),使拼接后的新图形既是轴对称图形又是中心对称图 形(只看新图形的轮廓,不看图形内部拼接线),新图形的顶点都在方格纸上的顶点上(画出一个 即可) . 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 生产甲,乙两种产品需要 A,B 两种化工原料,具体数据如下: A 种化工原料(g) B 种化工原料(g) 1 件甲产品 300 150 1 件乙产品 100 200 现生产甲产品 x 件,乙产品 y 件,恰好用完 A 种原料 20 000 g,用去 B 种原料若干. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)已知生产甲,乙两种产品均能售出,设每件甲产品的利润为 w 元(w 为整数),每件乙产品的利润 为 20 元,若 B 原料不超过 26 500 g,销售总利润为 4 050 元且 x 为整数,求 w 的值. 22. (本小题满分 10 分) 我们学习利用尺规作图平分任意一个角,而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难 题,之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具———三分角器. 如图①是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等; DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长. 三分角器的使用方法如图②所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当 放置三分角器,使 DB 经过∠MEN 的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点 为 F,则 EB,EO 就把∠MEN 三等分了. 根据该操作过程,回答问题: (1)直线 DE 与半圆 O 的位置关系是 ,依据是 　 ; (2)求证:∠1 = ∠2 = ∠3; (3)若被测量的∠MEN= 3α,AB=m,则 DB 的长度至少为 (用含有 α,m 的代数式表示),才能 保证该三分角器能够三等分该角. 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 32　 23. (本小题满分 11 分) 在直角坐标系中,抛物线 y=ax2 +bx+1(a,b 是常数,a≠0)与 y 轴相交于 A 点. (1)若抛物线经过点(1,6),( -2,3),求 a,b 的值; (2)已知 3a+b= 0,若-1≤x≤2,则 y 有最大值 9,求 a 的值; (3)①求 A 点坐标; ②已知 a<0,t≠0,若抛物线经过( -2,m),( -3,n)和( t,1),且 1<n<m,求 t 的取值范围. 24. (本小题满分 11 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=AC= 9,BC= 12,点 E 是 BC 的中点,将 BE 绕点 E 顺时针旋转得到 B′E,过点 E 作∠BEB′的平分线,交平行四边形 ABCD 的边 AB 于点 P,连接 B′P. (1)连接 AE,求证:△ABE≌△ACE; (2)在旋转过程中,求点 B′与点 D 之间的最小距离; (3)在旋转过程中,若点 B′落在△ABC 的内部(不包含边界),求 AP 的取值范围; (4)已知 B′E 与边 AB 交于点 H,若∠EHB= 90°,直接 ∙∙ 写出点 B′到 AD 的距离. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 时,有 4k+b′= -2, 2k+b′= 3 2 ,{ 解得 k= - 7 4 , b′= 5, { ∴ 直线 l′:y = - 74 x+ 5;∴ k 的取值范围是- 7 4 ≤k≤- 3 4 . 23.解:(1)3. 5,y= -5(x-3. 5) 2 +11. 25;【解法提示】由表 格可知,图象过点( 3,10),( 4,10),∴ h = 3 +4 2 = 3. 5, ∴ k= 11. 25,∴ y= a( x- 3. 5) 2 + 11. 25,将(4,10)代入 得 10 =a(4-3. 5) 2 + 11. 25,解得 a = - 5,∴ y = - 5( x- 3. 5) 2 +11. 25. (2)<;【解法提示】y= -5(x-3. 5) 2 +11. 25 中,当 y = 0 时,有 0 = -5(x-3. 5) 2 +11. 25,解得 x= 5 或 x= 2(不合 题意,舍去),∴ d1 = 5;y = - 5x 2 + 40x- 68 中,当 y = 0 时,有-5x2 + 40x - 68 = 0, 解得 x = 2 15 5 + 4 或 x = -2 15 5 +4( 不合题意, 舍去), ∴ d2 = 2 15 5 + 4 > 5, ∴ d1 <d2 . (3)y= -5x2 +40x-68 = -5(x-4) 2 +12, ∴ B(4,12), ∴ c= 12, ∴ y= -5t2 +12, 当 t= 1. 4 时,y= -5×1. 42 +12 = 2. 2>0, 即她当天的比赛能成功完成此动作. 24.解:(1)DE=BD+CE,理由如下: ∵ ∠BDA= ∠BAC= ∠AEC= 90°, ∴ ∠BAD+∠EAC= ∠BAD+∠DBA= 90°, ∴ ∠DBA= ∠EAC, ∵ AB=AC, ∴ △DBA≌△EAC(AAS), ∴ AD=CE,BD=AE, ∴ DE=AD+AE=BD+CE; (2)DE=BD+CE 仍然成立,理由如下: ∵ ∠BDA= ∠BAC= ∠AEC=α, ∴ ∠BAD+∠EAC= ∠BAD+∠DBA= 180°-α, ∴ ∠DBA= ∠EAC, ∵ AB=AC, ∴ △DBA≌△EAC(AAS), ∴ BD=AE,AD=CE, ∴ DE=AD+AE=BD+CE; (3) △FBD 与△ACE 的面积之和为 4. 【解法提示】 ∵ ∠BAD<∠CAE,∠BDA= ∠AEC = ∠BAC,∴ ∠CAE = ∠ABD, 在 △ABD 和 △CAE 中, ∠ABD= ∠CAE, ∠BDA= ∠CEA, AB=AC, { ∴ △ABD≌△CAE(AAS),∴ S△ABD = S△CAE,设△ABC 的 底边 BC 上的高为 h,则△ABF 的底边 BF 上的高为 h,∴ S△ABC = 1 2 BC·h = 12,S△ABF = 1 2 BF·h,∵ BC = 3BF,∴ S△ABF = 4, ∵ S△ABF = S△BDF + S△ABD = S△FBD + S△ACE = 4,∴ △FBD 与△ACE 的面积之和为 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8. 2024 年邢台市、邯郸市中考数学一模试卷改编 1. A　 2. D　 3. D　 4. A　 5. A　 6. B　 7. C　 8. C　 9. B 10. D　 11. A 12. B　 【解析】当 P 在 AB 的左侧时,如解图①所示, ∵ ∠PBP′= 90°,PB = P′B,∴ ∠BPP′ = 45°,当 PP′是 ☉A 的切线时,AP⊥PP′,∴ ∠APP′ = 90°,∴ ∠APB = 90°+ 45° = 135°;②当 P 在 AB 的右侧时,同理可得 ∠BPP′ = 45°, 当 PP′是 ☉A 的切线时, AP ⊥ PP′, ∴ ∠APP′= 90°,∴ ∠APB = 90°- 45° = 45°;∴ 甲,丙答 案合在一起才完整. 图① 　 　 图② 第 12 题解图 13. 12　 14. 2 第 15 题解图 15. (1)AB;(2) 3　 【解析】 (1)由点 M 的移动的路线可知, 当 MP = PQ 时,点 M 在边 AB 上,且点 M 是 AB 的中点;(2)如解图,连接 AD,取 AD 中点 O,连接 OF,由正六边形的性 质可知, AD∥BC, O 为正六边形 ABCDEF 的中心, ∠AOF = 360° 6 = 60°,∵ OA = OF,∴ △AOF 是正三角形,∴ OA = OF = AF= 2,∴ AD= 2OA = 4,∵ 点 Q 是 CD 的中点,点 M 是 AB 的中点,∴ MQ 是梯形 BCDA 的中位线,∴ MQ = 1 2 (BC+AD)= 1 2 ×(2+4)= 3. 16. (1)5;(2) 9 5 　 【解析】(1)△ABC 的面积为 3×4- 1 2 × 1×4- 1 2 ×2×3- 1 2 ×2×2 = 5;(2)如解图,设 AB 与 A′C′ 的交点为 E,BC 与 A′C′的交点为 F,根据格点可得四 边形 AA′CD 是 矩 形, 对 角 线 AC, A′D 交 于 点 G, ∵ △ABC,△A′B′C′的顶点均在格点上,∴ 点 G 和点 H 是两个相邻格点的中点,∴ BH = 2-0. 5 = 1. 5,BG = 3- 0. 5 = 2. 5,由平移的性质可知,A′C′∥AC,∴ △BEF∽ △BAC,∴ S△BEF S△ABC = ( BH BG ) 2 = ( 1. 5 2. 5 ) 2 , ∵ S△ABC = 5, ∴ S△BEF = 9 5 ,即阴影部分的面积为 9 5 . 第 16 题解图 17.解:(1)-4+2-6+5+3-7 = -7(袋), 答:前 6 天,仓库粮食总共减少 7 袋; (2)设 7 号仓库粮食变化 x 袋, 由题意得-4+2-6+5 = 1 2 (3-7+x), 解得 x= -2. 答:7 号仓库粮食减少 2 袋. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 18.解:(1)由题图①可知,t甲 = 2+3(n-1)= 3n-1, 由题图②可知,t乙 =n(n+1), 当 n= 6 时,t甲 +t乙 = 3n-1+n(n+1)= n 2 +4n-1 = 62 +4× 6-1 = 59; (2) t甲 <t乙 . 理由如下: ∵ n>1, ∴ t甲 -t乙 = 3n-1-n(n+1) = -n2 +2n-1 = -(n-1) 2 <0, ∴ t甲 <t乙 . 19.解:( 1) 20;【解法提示】 ∵ m% = 100% - 25% - 10% - 10%-35% = 20%,∴ m= 20. (2)抽取种苗的总株数为 14÷35% = 40, 株高为 12 cm 的种苗株数为 40×25% = 10, 株高为 13 cm 的种苗株数为 40×10% = 4, ∴ 抽取的种苗株高的 平均数为 14×10+8×11+10×12+4×13+4×14 40 =11. 4(cm), ∵ 从小到大排列抽取的 40 个数据中,处于第 20,21 个 株高为 11 cm,11 cm, ∴ 中位数为11 +11 2 = 11(cm), ∵ 种苗株高的平均数和中位数均低于 12 cm, ∴ 需要对育苗方法进行调整; (3)从小到大排列抽取的 40 个数据中,发现处于第 22,23 个株高分别为 11 cm,12 cm, 因此最少再抽取 4 株种苗, 且株高均大于或等于 12 cm,就会使第 22,23 个株高恰好位于中间位置, 此时中位数为 11+12 2 = 11. 5(cm), 因此 n 的最小值为 4. 20.解:(1)当裁剪线为△ABC 的中位线,且至少有一个端 点在格点处时符合要求, 如解图 ① 所示,DF 为符合要求的裁剪线, 四边形 BCDE 为符合要求的新图形; (2)由(1)可知,再过点 A 作 DF 的垂线,以此垂线段 为裁剪线可拼出符合要求的图形, 如解图②所示,DF 和 AE 为符合要求的裁剪线,四边 形 BCHP 为符合要求的新图形. 图① 　 　 　 图② 第 20 题解图 21.解:(1)由题意得 300x+100y= 20 000, ∴ y= -3x+200, ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 3x+ 200( 0≤x< 200 3 ); (2)依题意得 wx+20y= 4 050, ∵ y= 200-3x, ∴ w= 60+50 x , ∵ 150x+200y= 150x+200(200-3x)≤26 500, ∴ x≥30, ∵ x,w 为整数, ∴ x= 50,此时 w= 60+50 50 = 61. 22. (1)解:相切,经过半径的外端,并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线; (2)证明:如解图,连接 OF, 第 22 题解图 ∵ AB=BO,DB⊥AO 于点 B, ∴ EA=EO, ∴ ∠1 = ∠2, ∵ EB,EF 分别切半圆 O 于点 B 和 F, ∴ OB⊥EB 于点 B,OF⊥EF 于点 F,OB=OF, ∴ ∠2 = ∠3, ∴ ∠1 = ∠2 = ∠3; (3 ) 解: m tanα . 【解法提示 】 ∵ DB ⊥ AO 于 点 B, ∴ ∠ABE= 90°,∵ ∠MEN= 3α,∠1 = ∠2 = ∠3,∴ ∠1 = α,∵ 在Rt△ABE 中,∠1 = α,AB =m,tanα = AB BE ,∴ BE = m tanα ,即 DB 的长度至少为 m tanα . 23.解:(1)∵ 抛物线 y=ax2 +bx+1 经过点(1,6),(-2,3), ∴ 6 =a+b+1, 3 = 4a-2b+1,{ 解得 a= 2, b= 3,{ ∴ a,b 的值分别为 2,3; (2)∵ 3a+b= 0, ∴ b= -3a, 则抛物线为 y=ax2 -3ax+1, ∵ y=ax2 -3ax+1 =a(x- 3 2 ) 2 +4 -9a 4 , ∴ 抛物线顶点坐标为( 3 2 ,4 -9a 4 ), ①当 a>0 时,抛物线开口向上, 3 2 -(-1)>2- 3 2 , ∴ 当 x= -1 时,y=a+3a+1 = 4a+1 为最大值, 即 4a+1 = 9, 解得 a= 2; ②当 a<0 时,抛物线开口向下, ∴ 当 x= 3 2 时,y= 4 -9a 4 为最大值, 即 4-9a 4 = 9,解得 a= -32 9 , 综上所述,a= 2 或 a= -32 9 ; (3)①∵ 抛物线 y=ax2 +bx+1 与 y 轴交于点 A,当 x = 0 时,y= 1,∴ A 点坐标为(0,1); ②∵ ( t,1),(0,1)均在抛物线上, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 ∴ 抛物线 y=ax2 +bx+1 的对称轴为直线 x= - b 2a = t 2 , ∵ 抛物线经过(-2,m),(-3,n), ∴ m= 4a-2b+1,n= 9a-3b+1, ∵ 1<n<m, ∴ 1<9a-3b+1<4a-2b+1, ∴ -3a<-b<-5a, ∵ a<0, ∴ -3a 2a >- b 2a >-5a 2a , ∴ - 3 2 > t 2 >- 5 2 , ∴ -5<t<-3. 24. (1)证明:连接 AE,如解图①. ∵ E 为 BC 的中点, ∴ BE=CE, 在△ABE 和△ACE 中, AB=AC, BE=CE, AE=AE, { ∴ △ABE≌△ACE(SSS); 第 24 题解图① (2)解:当点 B′落在 ED 上时,点 B′与点 D 之间的距离 最小,连接 AE,如解图①, ∵ AB=AC= 9,BE=CE, ∴ ∠AEB= ∠AEC= 90°, ∵ BC= 12, ∴ BE=CE= 6, ∴ AE= 92 -62 = 3 5 , ∵ 将 BE 绕点 E 顺时针旋转得到 B′E, ∴ B′E=BE= 6, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC= 12, ∴ ∠DAE= ∠AEB= 90°, ∴ DE= AD2 +AE2 = 122 +(3 5 ) 2 = 3 21 , ∴ B′D=DE-B′E= 3 21 -6, ∴ 点 B′与点 D 之间的最小距离为 3 21 -6; (3)解:当点 B′落在 AB 上时,连接 AE,如解图②, 第 24 题解图② ∵ BE=B′E,EP 平分∠BEB′, ∴ ∠EPB= 90°, 又由(2)得∠AEB= 90°, ∵ ∠B= ∠B,∠EPB= ∠AEB= 90°, ∴ △EPB∽△AEB, ∴ EB AB =BP BE , ∴ 6 9 =BP 6 , ∴ BP= 4, ∴ AP=AB-BP= 9-4 = 5; 当点 B′落在 AC 上时,连接 BB′交 EP 于点 F,如解图③, 第 24 题解图③ ∵ BE=B′E, ∴ ∠EBB′= ∠EB′B, ∵ EP 平分∠BEB′, ∴ ∠EFB= 90°, ∵ BE=EC, ∴ B′E=EC, ∴ ∠EB′C= ∠B′CE, ∵ ∠EBB′+∠EB′B+∠EB′C+∠B′CE= 180°, ∴ ∠EB′B+∠EB′C= 90°, ∴ ∠EFB= ∠BB′C= 90°, ∴ EP∥AC, ∵ E 是 BC 的中点, ∴ AP=BP= 1 2 AB= 9 2 , ∴ 若点 B′落在△ABC 的内部(不包含边界),则 AP 的 取值范围为 9 2 < AP<5; (4)解:点 B′到 AD 的距离为 3 5 -4. 【解法提示】延长 B′P 交 BC 于点M,延长 PB′交 DA 的延长线于点 N,连 接 AE,如解图④,∵ BE = B′E,∠BEP = ∠B′EP,EP = EP,∴ △BEP ≌ △B′EP ( SAS), ∴ ∠EB′P = ∠EBP, ∵ ∠EB′P+∠B′PH= 90°,∠B′PH = ∠BPM,∴ ∠EBP+ ∠BPM= 90°,∴ ∠BMP= 90°,∵ 四边形 ABCD 是平行 四边 形, ∴ AD∥BC, ∴ ∠BMP = ∠MNA = 90°, 又 ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 MNAE 是矩形,∴ MN = AE = 3 5 , ∵ S△ABE = 1 2 AB · EH = 1 2 AE · BE, ∴ EH= AE·BE AB = 3 5 ×6 9 = 2 5 , ∴ BH = BE2 -EH2 = 62 -(2 5 ) 2 = 4, ∵ BE = B′E, ∠BEH = ∠B′EM, ∠BHE= ∠B′ME = 90°, ∴ △BEH≌ △B′EM ( AAS), ∴ B′M=BH= 4,∴ B′N=MN-B′M = 3 5 - 4,即点 B′到 AD 的距离为 3 5 -4. 第 24 题解图④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12